1. Метод минимизации невязок.

Рассматривается следующая вспомогательная задача:

при ограничениях:

();

()

().

Эта задача получена путем введения искусственных переменных (невязок) () с требованием минимизации их суммы.

Для решения этой задачи можно использовать симплекс – метод, т. к. исходное допустимое базисное решение имеется:

()

().

Значение целевой функции не может превышать нулевой величины. Поэтому возможны два итога:

1) В результате решения вспомогательной задачи ЛП получено оптимальное значение =0. Соответствующее допустимое базисное решение имеет вид:

()().

Так как все искусственные переменные равны нулю, то решение вспомогательной задачи удовлетворяет условиям исходной задачи. Поэтому вектор является допустимым базисным решением исходной задачи.

2) В случае <0 исходная задача не имеет ни одного допустимого базисного решения, т. е. является неразрешимой.

Действительно, если хотя бы одно такое решение существовало, то оно должно было бы совпадать с допустимым решением вспомогательной задачи при дополнительных условиях , т. к. в постановке присутствует требованиепри минимизации их суммы.

Таким образом, при использовании метода минимизации невязок решение задачи ЛП разбивается на два этапа. На первом этапе решается вспомогательная задача для определения исходного допустимого базисного решения, на втором определяется оптимальное решение исходной задачи ЛП.

Пример использования метода минимизации невязок.

Пусть требуется решить следующую задачу ЛП:

при ограничениях:

Составим вспомогательную задачу вида:

при ограничениях:

Представим целевую функцию через другие переменные:

Для записи в симплекс таблицу перепишем это выражение как

Симплекс – таблица:

Номер итерации	F,и базовая переменная	Значения
1		-6	-3	-5	-3	-3
		3	1	3	2	2	1
		3	2	2	1	1		1
	F	0	-5	-3	-4	1
2		-1	-	0
		1		1
		1		0	-	-	-	1
	F	3	-4	0	-2	3	1
3		0	0	0	0	0	1	1
			0	1				-
			1	0	-	-	-
	F	6	0	0	-3	2	-1	3

в точке ():

Следовательно, () и должно быть решением исходной задачи, в этой точке, причемне достигнут.

Далее решается исходная задача по таблице.

2. Метод искусственного базиса.

Позволяет объединить оба этих этапа в одном за счет введения дополнительных переменных как в ограничениях, так и в целевую функцию. Вместо исходной канонической задачи ЛП рассматривается расширенная задача:

(n>m)

где M– достаточно большое положительное число,

при ограничениях:

();

();().

Для расширенной задачи исходное допустимое базисное решение очевидно:

();().

Значение целевой функции для этого решения .

Введение в целевую функцию коэффициентов – Mпри дополнительных переменных эквивалентно введению «штрафа» за включение в базисное решение переменных(). Поэтому числа –M, которые по абсолютной величине значительно больше остальных коэффициентов целевой функции, позволяютвыводить из базиса дополнительные переменные, заменяя их переменными исходной задачи. Поэтому метод имеет еще одно название – «больших штрафов».

Таким образом, если в результате решения расширенной задачи получено оптимальное решение вида:

();(),

где все дополнительные переменные равны нулю, то вектор дает оптимальный результат исходной задачи, для которой.

Если оптимальное решение расширенной задачи содержит хотя бы одну положительную дополнительную переменную, то исходная задача не имеет допустимых базисных решений, т. к. ее ограничения не совместимы.

Пример использования метода искусственного базиса.

Исходная задача:

при ограничениях:

Расширенная задача:

Представим целевую функцию в виде двух групп слагаемых (с множителем Mи без него):

Перепишем для записи в симплекс – таблицу в виде двух строк:

Симплекс – таблица:

Номер итерации	F,и базовая переменная	Значения
1		-6M	-3 M	-5 M	-3 M	-3 M
		0	-5	-3	-4	1
		3	1	3	2	2	1
		3	2	2	1	1		1
2		-M	- M	0	M	M
		3	-4	0	-2	3
		1		1	-2
		1		0
3		0	0	0	0	0
		6	0	0	-3	2
			0	1
			1	0	-	-
4		9	0	4	0	5
		1	0		1	1
		1	1		0	0

в точке (1,0,1,0) ит.к. значения переменных.