3. Классификация задач оптимизации.

1. По наличию ограничений.

Если область допустимых решений , то задача не является задачей оптимизации без ограничений или задачей безусловной оптимизации. При этом для характеристики экстремума целевой функции используют термин «безусловный».

Если , то имеет место задача оптимизации с ограничениями или задача условной оптимизации. При этом говорят об «условном экстремуме», а множество допустимых решений ограничивается системой уравнений вида или системой неравенств .

2. По количеству управляющих параметров , принадлежащих множеству допустимых решений - приn=1 задача одномерной оптимизации.

Здесь поиск экстремума целевой функции производится на некоторой кривой в интервале, т. е.,или,- приn>1 задача многопараметрической или многомерной оптимизации. Здесь производится поиск экстремума функции, определяемой на некотором множестве допустимых решений, т. е.,или,.

3. По количеству экстремумов целевой функции различают задачи унимодальной (одноэкстремальной ) и многоэкстремальной оптимизации.

Поясним эти понятия. В зависимости от вида целевой функции оптимальное решениеможет быть точкой локального или глобального минимума (максимума).

Вектор называется точкой локального (относительного) минимума, если для всех точек, принадлежащих- окрестноститочки, функцияне принимает меньшего значения:

для всех.

Замечание: - окрестностью точкиназывается множество точек вида:, где расстояние между точками евклидова пространства:

.

Вектор является точкой глобального (абсолютного) минимума, если ни в какой другой точкедопустимой области функцияне принимает меньшего значения:

для всех.

Таким образом, глобальный минимум- это наименьший из всех локальных минимумов.

Например:

- точки локального минимума,

- точка глобального минимума.

Понятия локального и глобального максимума выводятся аналогично.

Задачей унимодальной оптимизации является задача оптимизации вида ,или,, для которой целевая функцияимеет в области Х единственный локальный экстремум.

Если целевая функция имеет несколько локальных экстремумов, то это многозадачная задача оптимизации.

4. По количеству критериев оптимизации.

Различают задачи однокритериальной и многокритериальной (векторной) оптимизации.

В первом случае целевая функция единственна и имеет скалярный характер, во втором случае для совместного учета совокупности частных критериев обычно вводится векторный критерий оптимальности.

При этом минимизация эквивалентна одновременной минимизации

Поскольку частные критерии носят противоречивый характер, то оптимальное решение задачи векторной оптимизации в общем случае не является оптимальным ни для одного из частных критериев, но должно быть компромиссным для векторного критерия в целом.

Возможным подходом к поиску компромиссного решения задачи векторной оптимизации является ее сведение к задаче многопараметрической оптимизации с единственной целевой функцией, учитывающей влияние всех частных критериев на решение.

4. Выбор критериев оптимизации.

Целевая функция в задаче оптимизации обязательно должна быть скалярной, т. е. оптимизация конструкции или технологического процесса может выполняться только по одному критерию.

Однако задачи конструкторско- технологического проектирования обычно носят многоцелевой характер, т. е. имеется большое число частных показателей, характеризующих качество проекта (надежность, стоимость, быстродействие, потребляемая мощность и т. д.)

Поэтому обоснованный выбор критериев оптимизации представляет важную задачу. Рассмотрим математические методы , позволяющие учитывать многоцелевой характер задач оптимизации. Все эти методы выполняют свертывание векторного критерия в скалярный.

1. Метод обобщенного критерия.

Пусть имеется совокупность частных критериев качества ,.

На ее основе вводится скалярная функция от частных показателей вида .

Если все показатели измеряются по одной шкале, то возможно использовать аддитивный или мультипликативный критерий:

- аддитивный,

- мультипликативный,

где - вес (степень влияния) соответствующего критерия, устанавливаемый, например, в результате экспертных оценок.

После формирования обобщенного критерия задача оптимизации ставится как ,или,.

Если частные показатели качества измеряются по разным шкалам, то формируется обобщенный критерий, приведенный к единой шкале измерений (для случая):

, где.

Для такого критерия решение задачи минимизации обеспечивает максимизацию всех частных критериев, т. к. функциязадает относительные отклонения частных критериев от их максимально- возможных значений

Основной недостаток такого метода выбора критерия оптимизации заключается в субъективном определении значений , что может привести к улучшению одних частных показателей за счет ухудшения других.

2. Метод главного критерия.

Предполагается, что среди всех частных показателей можно выделить один, наиболее важный, который определяется обычно показателем ЭВС. Например, для бортовой аппаратуры - это надежность, для суперЭВМ- быстродействие, для микроЭВМ- стоимость и т. д.

Остальные частные критерии выступают в роли ограничений, т. е. Их значения не должны быть больше или меньше их предельно-допустимых значений.

Математически задача оптимизации формулируется следующим образом: найти при ограничениях

Такая задача оптимизации всегда корректна и является наиболее распространенной. Она называется однокритериальной задачей оптимизации.

3. Метод минимального (максимального) критерия.

В качестве функции выбирается худшее значение из частных критериев и решается задача максимизации, т. е.

- максимальный критерий.

Другими словами, для нескольких максимизируемых параметров выбирается наихудший, который должен быть максимальным.

Для максимального критерия наоборот- минимизируется наибольшее значение из всех частных показателей: .

4. Метод последовательных уступок.

Используется в том случае, если нельзя выделить главный критерий, но можно некоторым образом упорядочить показатели по степени их важности.

Предположим, что частные критерии расположены по убыванию важности.

Тогда сначала решается задача ; результат которой обозначается через.

Затем вводится некоторая уступка (ухудшение) в первом показателе и решается задачапри ограничении (дополнительном).

Максимальное значение показателя обозначаем черези назначаем уступкуРешаем задачу:

при дополнительных ограничениях.

Процесс продолжается для всех pкритериев качества.

Окончательный вариант решения находится как при ограничениях.

Сложность данного метода заключается в выборе значений , а также в определении степени важности критериев качества (порядка их следования при решении).

В качестве выводов укажем способы выбора критериев при автоматизированном проектировании ЭВС.

1. Если в т3 на проектирование сформулировано условие, что необходимо оптимизировать один из параметров проектируемого объекта при соблюдении ограничений на остальные параметры, то необходимо использовать метод главного критерия.

2. При наличии в т3 нескольких критериев оптимальности выбор аддитивного критерия целесообразен в тех случаях, когда существенные значения имеют абсолютные значения частных критериев при выбранном векторе решения

3. Если существенное значение имеет взаимное изменение абсолютных значений критериев при вариации вектора , то в этом случае рекомендуется применять мультипликативный критерий оптимизации.

4. Если задача предполагает достижение примерного равенства конфликтующих частных критериев, то оптимальное проектирование следует проводить по минимаксному или максиминному критерию.