![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Общая постановка задачи оптимизации.
- •2. Примеры задач оптимизации в проектировании эвс.
- •3. Классификация задач оптимизации.
- •4. Выбор критериев оптимизации.
- •5. Способы вычисления весовых коэффициентов, учитывающих важность частных критериев.
- •1. Математическая постановка задачи лп.
- •2. Базисное решение задачи лп.
- •3. Геометрическая интерпретация задачи лп.
- •4. Симплекс – метод решения задачи лп.
- •5. Табличная форма симплекс – метода.
- •6. Выбор исходного допустимого базисного решения.
- •1. Метод минимизации невязок.
- •2. Метод искусственного базиса.
- •7. Двойственная задача лп.
- •8. Табличная форма двойственной пары задач лп.
- •9. Двойственный симплекс – метод.
4. Симплекс – метод решения задачи лп.
Является основным методом решения задач ЛП, представленных в канонической форме записи.
Разработан в 1949 г. американским математиком Дж. Данценгом.
Идея симплекс – метода заключается в следующем.
Сначала выбирается одно из допустимых базисных решений, соответствующее некоторой вершине многогранника.
Для этого свободные переменные приравниваются к нулю и решается система уравнений, образованная ограничениями.
Если при этом некоторые из базисных переменных окажутся отрицательными, то необходимо выбрать другие свободные переменные, т. е. перейти к новому базису.
Далее для полученного допустимого базисного решения проверяется: достигнут ли здесь экстремум целевой функции.
Если экстремум не достигнут, то осуществляется переход к ближайшему допустимому
базисному решению, соответствующему соседней вершине многогранника, для которой
значение целевой функции возрастает (при поиске max) или убывает (при поискеmin).
Рассмотрим метод на примере:
при ограничениях
Если ввести дополнительные слабые
переменные
:
;
;
;
;
.
Перепишем задачу в следующем виде
;
Общее число переменных m+n= 5, число уравнений в системе ограниченийm= 3. Следовательно, в каждом базисном решении имеется две свободных и три базисных переменных.
Выберем в качестве свободных переменные
и
.
Приравняем их нулю и получим базисное
решение:
;
;
;
;
.
Так как все переменные неотрицательны,
то это решение является допустимым
базисным решением, при котором значение
целевой функции.
Для полученного решения максимум целевой
функции Fне достигнут,
т. к. в выражении для целевой функцииобе свободные переменные
и
входят с отрицательным знаком. Поэтому,
увеличивая значение любой из них, можно
получить большее значение целевой
функцииF.
Но увеличивать значение свободной переменной можно только путем ее перевода в базисные. При этом необходимо одну из базисных переменных перевести в свободные.
Укажем способ, по которому производится выбор таких переменных.
Для перевода из свободных переменных
в базисную целесообразно выбрать
такую переменную, которая входит в
выражение для целевой функцииFс наибольшим по абсолютной величине
отрицательным коэффициентом. В данном
примере это.
При возрастании свободной переменной некоторые из базисных переменных начнут уменьшаться. Так как отрицательные значения переменных недопустимы, то в качестве новой свободной переменной следует выбрать такую базисную переменную, которая раньше других принимает нулевое значение.
При увеличении
для
уменьшаются значения переменных
и
.
Переменная
принимает нулевое значение при
;
переменная
при
.
Следовательно, свободной переменной
вместо
должна стать переменная
.
Общее правило выбора: для определения
базисной переменной, переводимой в
свободную, вычисляются отношения
свободного члена уравнения к коэффициентупри свободной переменной, переводимой
в базисные. При этомотрицательные
отношения не учитываются. В итоге
выбирается базисная переменная, входящая
в уравнение с наименьшим отношением.
В частности для второго уравнения:
для третьего :
- неустойчивость
для четвертого :
.
Таким образом, для перехода к новому допустимому базисному решению, увеличивающему значение Fнеобходимо перевести:
- из свободных в базисные;
- из базисных в свободные переменные.
Все уравнения задачи необходимо
переписать таким образом, чтобы в
последнем уравнении (где присутствует
)
коэффициент при
стал равным единице, а в оставшихся
строках – нулю.
Процедура, с помощью которой это достигается, называется сменой базиса и осуществляется следующим образом:
- уравнение, соответствующее базисной
переменной, переводимой в свободные
()
, делится на коэффициент при свободной
переменной, переводимой в базисные (
);
- для каждого из оставшихся уравнений
определяется коэффициент
при свободной переменной
,
переводимой в базисные. Далее полученное
на предыдущем шаге уравнение уменьшается
на коэффициент (-
)
и складывается с каждымi– м уравнением.
Продолжим пример:
После первого шага, называемого нормировкой:
После второго шага окончательно получаем:
Приравняв нулю свободные переменные получим новое допустимое базисное решение и значение целевой функции:
;
;
;
;
;F=8.
Максимум целевой функции также не
достигнут, т. к. в выражении для Fпеременнаявходит с отрицательным знаком. Поэтому
следует перевести из свободных в
базисные.
Чтобы определить базисную переменную,
переводимую в свободные, вычисляется
отношение свободных членов уравнений
к коэффициентам при
(справа от уравнений). Выбирается строка
с минимальным положительным отношением
(
).
Базисная переменная из этой строки (
)
переводится в свободные.
Выполняем схему базиса и получаем:
;
;
;
;
;F=10.
Полученное допустимое базисное решение
является решением задачи, т. к. при
увеличении любой свободной переменной
(,
)
значение целевой функции может только
уменьшаться. Это объясняется тем, что
коэффициенты при свободных переменных
в выражении дляFположительны.
Таким образом, в качестве критерия оптимальности можно рассматривать знаки коэффициентовпри свободных переменных в выражении целевой функции.
В случае задачи максимизации – это неотрицательные коэффициенты в выражении целевой функции; минимизации – неположительные.
С учетом сказанного общая схема решения задачи ЛП симплекс – методом имеет вид:
Начало
Выбор исходного
допустимого базиса
проверка
отличимости
решения
Нет Конец
Определение свободной переменной,
переводимой в базисные
Определение базисной переменной,
переводимой в свободные
Смена базиса