Варламов Теориа елецтрических цепеи 2010

11. Длинные линии

11.1. Доказать, что в стоячей волне P = 0 .

11.2. Является длинной линия электропередачи длиной

L= 1000 км?

11.3.Доказать, что если идеальная длинная линия (однородная без потерь) нагружена на реактивное сопротивление jx, то в стационарном случае волна стоячая.

11.4.Доказать, что в идеальной длинной линии:

а) фазовая и групповая скорость совпадают; б) фазовая скорость не превышает скорость света.

11.5.Доказать, что идеальная длинная линия – линия без искажения сигнала.

11.6.Сколько надо поставить экспериментов, чтобы определить параметры длинной линии Zв, γ?

11.7.Доказать, что длинная линия – симметричный четырехполюсник.

11.8.Доказать, что идеальная длинная линия, нагруженная на реактивное сопротивление (на L или C), не может передавать энергию.

11.9.Согласовать нагрузку Zн = Zв / 4 с идеальной длинной линией с волновым сопротивлением Zв .

41

11.10.Найти длину короткозамкнутой идеальной длинной линии, при которой ее сопротивление будет носить: а) емкостной; б) индуктивный характер.

11.11.Доказать, что vф = ωβ , где β - волновое число.

11.12.Доказать, что медленная бегущая волна ( vф / c <1 ) при

прохождении через длинную линию сжимается ( λв < λ), а быстрая волна ( vф / c >1 ) – растягивается:

λв = vcф λ

11.13.Доказать, что групповая скорость в длинной линии

vгр = dω/ dβ не больше скорости света: vгр / c ≤1.

11.14.Доказать, что ток и напряжение в стоячей волне сдвинуты друг относительно друга на λв / 4 .

раметры идеальной длинной линии можно определить по опытам холостого хода и короткого замыкания.

11.16. Доказать, что с помощью четвертьволнового трансформатора можно согласовать с длинной линией только резистивные нагрузки.

42

что переходный процесс в идеальной длинной линии представляет собой суперпозицию падающих и отраженных бегущих волн.

44

12. Нелинейные цепи

12.1.Какие методы расчета электрических цепей: классический метод расчета переходных процессов; операторный метод расчета переходных процессов; метод комплексных амплитуд; метод контурных токов, метод узловых напряжения; метод эквивалентного генератора;

можно применять при расчете нелинейной цепи?

12.2.Дать определение нелинейной цепи.

12.3.В чем качественные отличия нелинейной цепи от линейной?

12.4.Доказать, что если в цепи рождается гармоника Фурье, не содержащаяся в спектре входного сигнала, то цепь нелинейна.

12.5.Нелинейный элемент – это не линейный элемент.

12.6.Как экспериментально проверить цепь на нелинейность?

12.7.Доказать, что нелинейный резистор с любой нелинейной ВАХ

u

i

45

12.11. Доказать, что 1) генерация гармоник нелинейным элементом – резонансный процесс, xнk = 0 ;

2)активное сопротивление нелинейного элемента на генерируемой гармонике отрицательно и равно по модулю активному сопротивлению линейного двухполюсника (см. эквивалентную схему цепи в задаче

12.10), rнk = −rлk ;

3)реактивное сопротивление нелинейного элемента на генерируемой гармонике равно по модулю и противоположно по знаку реактивному сопротивлению линейного двухполюсника, xнk = −xлk ;

4)активная мощность нелинейного элемента на генерируемой гармонике отрицательна, Pнk = rнk I k2 < 0 .

12.12.Исходя из свойства инерционности нелинейного элемента, показать, что на достаточно высоких частотах (временная спрямляемость) и на достаточно коротких длинах волн (пространственная спрямляемость) нелинейность должна исчезать.

12.13.Найти графически рабочую точку цепи:

i

12.14. Доказать (графическим методом), что в стабилизаторе

47

квазипостоянного напряжения u1(t):

коэффициент стабилизации

kc = (δu1 / u10 )/(δu2 / u20 )

нейного элемента в рабочей точке, rд - дифференци-

альное сопротивление нелинейного элемента в рабочей точке.

12.15.В чем идея метода гармонического баланса для расчета стационарных процессов в нелинейных цепях?

12.16.В чем суть метода медленно меняющихся амплитуд при исследовании переходных процессов в нелинейных цепях?

12.17.Идея методов средневзвешенной невязки.

12.18.Решить задачу методом аналитической интегрируемой аппроксимации:

48

12.19.Решить задачу примера 12.10 методом кусочнолинейной аппроксимации.

12.20.Решить задачу примера 12.10 итерационным методом интегрального уравнения. Доказать, что полученный степенной ряд является рядом Тейлора решения Ψ( )t, полученного методом аналитической интегрируемой аппроксимации (12.10).

12.21.Решить задачу примера 12.10 методом малого параметра. Получить решение, совпадающее с решением данной задачи итерационным методом интегрального уравнения.

12.22.Для нелинейной цепи с нелинейным резистором с ВАХ N-образного типа:

49

i0

вывести уравнение Ван-дер-Поля (ВДП) самовозбуждающейся цепи с нелинейной диссипацией. Аппроксимировать ВАХ нелинейного элемента кубическим полиномом:

uн (i) ≈ a0 + a1 (i −i0 ) + a3 (i −i0 )3 , a1 = rд < 0 .

12.23.Найти амплитуду стационарных колебаний осциллятора ВДП (пример 12.14) методом гармонического баланса. Ограничиться одной гармоникой:

i−i0 = Asin ωt .

12.24.Доказать, что генерация колебаний в нелинейной цепи примера 12.14 возможна только при наличии в ВАХ нелинейного элемента участка с отрицательным дифференциальным сопротивлением

rд < 0 .

12.25.Методом медленно меняющихся амплитуд получить на первой гармонике из уравнения ВДП (пример 12.14)

i −i0 = x(t) ,

&x&+ x + (α +βx2 )x& = 0

50