1.9. Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости основаны на закономерностях, связывающих отрица­тельность всех действительных частей корней уравнения (1.49) со знаками коэффициентов этого уравнения и некоторых функций от коэффициентов. Алгебраические критерии содержат группу усло­вий, при соблюдении которых имеет место устойчивость. Если же хотя бы одно из них нарушено, то имеет место неустойчивость. Для проведения анализа устойчивости с помощью алгебраических критериев необходимо предварительно вычислить коэффициенты характеристического уравнения

.

Необходимое условие устойчивости – если состояние равновесия системы (1.49) асимптотически устойчиво, то все коэффициенты положительны:

. (1.52)

Данное условие является необходимым и достаточным для отсутствия апериодической неустойчивости. Если при изменении параметров система становится неустойчивой, а все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то неустойчивость имеет характер самораскачивания.

Для устой­чивости системы требуется, чтобы коэффициенты характеристического многочлена не только были положительными, но и удовлет­воряли некоторым соотношениям. Критерий Гурвица устанавливает эти соотношения в форме неравенств, соблюдение которых является необходимым и достаточ­ным условием устойчивости системы любого порядка.

Система неравенств Гурвица строится следующим образом. Из коэффициентов характеристического многочлена -й степени вида (1.49) составляется квадратная матрица Гурвица -го порядка

. (1.53)

Правило составления матрицы Гурвица следующее. По главной диагонали располагают коэффициенты многочлена (1.49) в порядке их нумерации, начиная с до . В строках помещают поочередно коэффициенты только с нечетными или только с чет­ными индексами (включая и коэффициент), причем влево от диагонали с уменьшающимися, вправо — с увеличивающимися ин­дексами. Все недостающие коэффициенты, т.е. коэффициенты с ин­дексами меньше нуля или больше , заменяют нулями. Для соблю­дения устойчивости требуется, чтобы все диагональных минора матрицы (1.53) были положительными. Диагональные миноры (назы­ваемые определителями Гурвица) получаются отчеркиванием их слева и сверху, как показано в матрице (1.53). Первый минор состоит из коэффициента . Последний минор включает в себя матрицу Гурвица целиком.

Например, характеристическое уравнение имеет вид:

.

Матрица Гурвица имеет вид:

.

Найдем ее определители

;

.

Система неустойчива, дальше можно не вычислять.

Критерий Гурвица используется для характеристических уравнений невысокого порядка – третьего-четвертого. Для более задач высоких порядков используется алгебраический критерий Рауса с составлением специальной таблицы.

1.10. Частотные критерии

Пусть дано характеристическое уравнение вида (1.49). Подставим в это уравнение вместо , получим

. (1.54)

Возведем в соответствующие степени и затем представим данное уравнение в виде

. (1.55)

После преобразований получим

; (1.56)

. (1.57)

Вектор , изображенный в декартовых координатах на плос­кости , при изменении от до вращается и концом описывает кривую (рисунок 1.22), которая называется характеристичес­кой кривой или годографом характеристического уравнения

Рисунок 1.22 – Годограф характеристического уравнения

Критерий Михайлова имеет следую­щую формулировку: система будет устойчива тогда и только тогда, когда при возрастании от до вектор повернется на угол , где - степень характеристического уравнения, или, что то же самое, если при увеличении от до годограф, начинаясь на положительной части действительной оси, проходит последовательно в положительном направлении квадрантов.

Типичные годографы устойчивых систем для характерис­тических уравнений различных степеней от 1 до 5 приведены на рисунке 1.23. Характеристическая кривая устойчивой системы при из­менении от до должна охватывать начало координат.

Рисунок 1.23 – Типичные годографы устойчивых систем