дискретка_все_практики / дискретка / Раздел 1 Практика 1
.doc
. Раздел 5Элементы теории графов
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФА ПО ЗАДАННЫМ ТОЧКАМ, МАТРИЦАМ ИНЦИДЕНТНОСТИ И СМЕЖНОСТИ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Определение 1: Графом G называется пара множеств V, Е, где V — непустое множество элементов называемых вершинами, Е — конечное семейство неупорядоченных пар, называемых рёбрами (рис. 1).
Рисунок 1
Рассмотрим основные характеристики графа на примере (рис. 2)
граф
G
Рисунок 2
V={A,B,C,D,E,F};
E={(BC), (EF), (ED), (FD)}
Определение 2: Две вершины А и В называются смежными, если существует ребро, их соединяющее, при этом это ребро называется инцидентным вершине А и вершине В.
На рис. 2 смежными, например, являются вершины C и B, F и D, вершина C инцидентна вершине B, вершина F соответственно вершине D.
Определение 3: Два ребра называются смежными, если у них есть хотя бы одна общая вершина.
В нашем случае ребра EF и ED являются смежными.
Определение 4: Степенью вершины А р(А) называют число рёбер, инцидентных (входящих) в вершину А.
Например, р(E)=2
Определение 5: Вершина называется изолированной, если р(А)=0 (на рассматриваемом графе р(A)=0);
Определение 6: Вершина называется висячей, если р(А)=1.
Для графа G это вершины B и C.
Определение 6: Граф, у которого нет ребер, называется пустым графом.
Граф, любые две вершины которого смежные, называется полным графом.
Граф, у которого степени вершин одинаковы, называется однородным.
Если любые две вершины графа могут быть соединены линией проходящей по рёбрам графа, то такой граф называется связным.
Рассмотрим описанные выше характеристики на примере графов, приведенных на рисунке 1.
Граф 5 является пустым, так как не содержит ребер. Граф 1 не является полным, в свою очередь графы 2, 4 есть полные, однородные. Граф 3 полный, однородный и связный.
Задать граф - указать множество его ребер, вершин и отношений инцидентности.
В теоретико-множественной и геометрической форм определения (задания) графов, часто используется матричная форма их представления. Существуют различные виды матриц графов, однако все они, как правило, полностью передают основные свойства графов. Матричная форма задания графов обладает достаточной наглядностью при любой степени сложности графа и, что самое важное, позволяет автоматизировать процесс обработки информации, представленной в терминах теории графов, – любая матрица графа может быть введена в ЭВМ.
При задании графов в матричной форме могут учитываться либо отношения смежностей (вершин или ребер (дуг)), либо отображения инцидентности (вершин и ребер (дуг)). В связи с этим матрицы графов делятся на два основных класса: матрицы смежностей и матрицы инциденций.
Рассмотрим эти способы представления графа на примере.
Матрица смежности
Квадратная матрица, строки которой соответствуют вершинам графа и столбцы соответствуют вершинам графа.
Составим матрицу смежности для данного графа:
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Матрица инцидентности
Прямоугольная матрица, строки которой соответствуют вершинам графа, столбцы - ребрам.
Составим матрицу инцидентности для данного графа:
|
|
(23) |
(46) |
(56) |
(45) |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
5 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
2. ЦЕЛЬ И ПОРЯДОК РАБОТЫ
Цель работы - разработать при помощи любой известной среды программирования программу, которая:
-
позволяет, используя манипулятор мышь или клавиатуру, задавать точки (вершины) графа и соединять их рёбрами.
2) по заданному графу строит матрицу инцидентности и матрицу смежности
Порядок работы:
-
изучить описание работы;
-
согласно своему варианту, решить заданные примеры без использования ЭВМ;
-
написать и отладить программу в соответствии с заданием;
-
оформить отчет.
3. ЗАДАНИЯ
Задания для ручного просчета:
3.1 Для данного графа:
3.1.1 Выписать смежные вершины.
3.1.2 Выписать три пары смежных ребер.
3.1.3 Чему равны р(2) и р(7)?
3.1.4 Выписать изолированные и висячие вершины (если они есть).
3.1.5 Является ли граф полным? однородным? связным?
3.2 Составить матрицу смежности и инцидентности для данного графа.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
3.3 Дана матрица смежности. Построить граф, соответствующий данной матрице.
1.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
3 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
5.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
6.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
4 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
6 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
7.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
8.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
9.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
10.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
3.4 Дана матрица инцидентности. Построить граф, соответствующий данной матрице.
1.
|
|
(12) |
(13) |
(23) |
(35) |
(45) |
(56) |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2.
|
|
(15) |
(23) |
(26) |
(45) |
(46) |
(56) |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
3.
|
|
(12) |
(13) |
(16) |
(24) |
(45) |
(46) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
6 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
4.
|
|
(23) |
(24) |
(25) |
(26) |
(45) |
(56) |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
6 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |