Раздел 3. Основные алгебраические структуры

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4

1.Цель и порядок работы

Цель работы: Изучение логических операций и построение таблиц

истинности.

Работу необходимо выполнять в следующем порядке:

- прочитать описание работы;

- получить задание у преподавателя;

- разработать программу для построения таблиц истинности для функций двух и трех аргументов.

2.Общие сведения

Алгеброй логики называется совокупность элементов содержащих константы 0 и 1, Х1,...,ХN и операции И, ИЛИ, НЕ для которых выполняются свойства :

Ассоциативность:

x1(x2x3)= (x1x2) x3;

x1(x2x3)= (x1x2)x3;

Коммутативность:

x1x2=x2x1

x1x2=x2x1;

Дистрибутивность:

x1(x2x3)=(x1x2)(x1x3);

x1(x2x3)=(x1x2)(x1x3);

Идемпотентность :

xx =x;

xx =x;

Д войное отрицание:

С войство констант:

Правило Де Моргана:

З акон противоречия:

Закон исключенного третьего:

Р ассмотрим несколько логических операций:

1.Отрицание ( Х ) - если Х истинно, то Х ложно и наоборот.

Таблица истинности:

X	X
0	1
1	0

2.Конъюнкция ( ) - логическое умножение двух высказываний,

она истинна тогда и только тогда , когда оба высказывания истины.

Таблица истинности:

X	Y	X  Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

3.Дизъюнкция ( OR,  ) - логическое сложение двух высказываний, ложно тогда, когда ложны оба высказывания.

Таблица истинности:

X	Y	X  Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

4.Импликация () - сложное высказывание, которое истинно

всегда кроме одного случая, когда X истинно, а Y ложно.

Таблица истинности:

X	Y	X  Y
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

5.Эквиваленция ( X ~ Y ) - сложное высказывание, которое истинно

если X и Y -истинны, либо X и Y - ложны.

Таблица истинности:

X	Y	X  Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Пример таблицы истинности для функции 3-х аргументов:

1	0	1	0	1
1	1	1	1	0
1	1	0	1	1
1	1	0	1	0
0	1	1	0	1
0	1	1	1	0
0	1	0	1	1
0	1	0	1	0

Дизъюнктивной нормальной формой называется логическая функция, которая представляет собой дизъюнкцию конечного множества попарно различимых между собой элементарных конъюнкций.

Совершенная дизъюнктивной нормальной формой – логическая функция, у которой каждая элементарная конъюнкция содержит все переменные или их отрицания, от которых зависит функция.

Если функция задана в произвольной форме, то для ее перевода в ДНФ нужно:

1. избавиться от отрицания логических операций, используя законы де Моргана;

2. исключить в конъюнкциях повторяющиеся переменные или их отрицания;

3. удалить одинаковые конъюнкции кроме одной.

Правила перехода от ДНФ к СДНФ:

1. умножить каждую элементарную конъюнкцию на дизъюнкцию переменной и ее отрицания, если этой переменной нет в данной конъюнкции;

2. раскрыть скобки;

3. удалить одинаковые конъюнкции кроме одной.

Если функция задана таблицей соответствия:

1. выделить те наборы, при которых функция получает значения 1;

2. составить элементарные конъюнкции, при этом в конъюнкцию переменная входит сама, если ее значение равно 1, и входит со своим отрицанием, если ее значение равно 0;

3. составить дизъюнкцию из полученных конъюнкций.

3. Задания

а) Построить таблицу истинности для формулы;

b) Доказать тождественную истинность формул;

с) Доказать эквивалентность;

d) Составить СДНФ двумя способами: