- •Теоретическая механика
- •2 Кинематика точки
- •Векторный способ задания движения
- •Координатный способ задания движения
- •Естественный способ задания движения
- •Связь между координатным и естественным способами задания движения
- •Примеры
- •3 Кинематика твердого тела
- •3.1 Поступательное движение твердого тела
- •3.2 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Равномерное и равнопеременное вращение
- •3.3 Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела
- •Определение скоростей точек
- •Плоское движение. Определение ускорений точек
- •Примеры (продолжение)
- •3.4 Сферическое движение
- •4 Сложное движение точки
- •Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •Примеры векторных схем скоростей и ускорений при сложном движении точки
- •Сложение движения точки. Примеры.
3.2 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.
Положение тела задается двугранным углом (углом поворота).
= (t) - уравнение движения.
Кинематические характеристики тела:
- угловая скорость, с-1;
- угловое ускорение, с-2.
Величины и можно представить в виде векторов , расположенных на оси вращения, направление вектора таково, что с его конца вращение тела видно происходящим против часовой стрелки. Направление совпадает с , если >о.
Положение точки тела: M0M1 = S = h.
Скорость точки ; при этом .
откуда ;;.
Ускорение точки тела ,‑ вращательное ускорение (в кинематике точки – касательное ‑): - осестремительное ускорение (в кинематике точки - нормальное -).
Модули: ; ; .
Равномерное и равнопеременное вращение
1. Равномерное: = const, ;;- уравнение движения.
2. Равнопеременное: = const, ;;;;- уравнение движения.
2). Механический привод состоит из шкива 1, ремня 2 и ступенчатых колес 3 и 4. Найти скорость рейки 5, а также ускорение точкиM в момент времени t1 = 1с. Если угловая скорость шкива равна 1 = 0,2t , с-1; R1 = 15; R3 = 40; r3 = 5; R4 = 20; r4 = 8 (в сантиметрах).
Решение
Скорость рейки
;
; ; .
Откуда ; ; , с-1.
Из (1) и (2) получим , см.
Ускорение точки M .
, с-2 при t1 = 1 с; a = 34,84 см/с2.
3.3 Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела
Это движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
Все точки тела на любой прямой, перпендикулярной неподвижной плоскости, движутся одинаково. Поэтому анализ плоского движения тела сводится к исследованию движения плоской фигуры (сечение S) в ее плоскости (xy).
Это движение можно представить как совокупность поступательного движения вместе с некоторой произвольно выбранной точкой а, называемой полюсом, и вращательного движения вокруг полюса.
Уравнения движения плоской фигуры
xа = xa(t); уа = уа; j = j(t)
Кинематические характеристики плоской фигуры:
- скорость и ускорение полюса; w, e - угловая скорость и угловое ускорение (не зависят от выбора полюса).
Уравнения движения любой точки плоской фигуры (B) можно получить, проектируя векторное равенство на осиx и у
x1B, y1B - координаты точки в системе координат, связанной с фигурой.
Определение скоростей точек
1). Аналитический способ.
Зная уравнения движения xn = xn(t); yn = yn(t), находим ; ; .
2). Теорема о распределении скоростей.
Дифференцируя равенство, получим,
- скорость точки B при вращении плоской фигуры вокруг полюса A; ;
Формула распределения скоростей точек плоской фигуры .
Пример
Скорость точкиM колеса, катящегося без скольжения
; .
3). Теорема о проекциях скоростей.
Проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны. Проектируя равенство на осьx, имеем
Пример
Определить скорость натекания воды vН на руль корабля, если известны (скорость центра тяжести судна),b и bK (углы дрейфа).
Решение: .
4). Мгновенный центр скоростей (МЦС).
Скорости точек при плоском движении тела можно определять по формулам вращательного движения, используя понятие МЦС.
МЦС - точка, связанная с плоской фигурой, скорость которой в данный момент времени равна нулю (vp = 0).
В общем случае МЦС - точка пересечения перпендикуляров к направлениям скоростей двух точек фигуры.
Принимая точку P за полюс, имеем для произвольной точки
, тогда
Откуда - угловая скорость фигуры и,т.е. скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до МЦС.
Возможные случаи нахождения МЦС | |||
а |
б |
в Качение без скольжения | |
МЦС - в бесконечности |
|
Случай б соответствует мгновенно поступательному распределению скоростей.
Примеры
1). Для заданного положения механизма найтиvB, vC,vD, w1, w2, w3, если в данный момент vA = 20 см/с; BC = CD = 40 см; OC = 25 см; R = 20 см.
Решение МЦС катка 1 - точка P1:
с-1; см/с.
МЦС звена 2 - точка P2 пересечения перпендикуляров к направлениям скоростей точек B и C:
с-1; см/с;см/с;с-1.
2). Груз Q поднимается с помощью ступенчатого барабана 1, угловая скорость которого w1 = 1 с-1; R1 = 3r1 = 15 см; AE || BD. Найти скорость vC оси подвижного блока 2.
Решение
Находим скорости точек A и B:
vA = vE = w1*R1 = 15 см/с; vB = vD = w1*r1 = 5 см/с.
MЦС блока 2 - точка P. Тогда , откуда;;см/с.