Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001)

рождения и уничтожения физических безмассовых частиц со спином j ³ 1. Такое любопытное ограничение на типы полей естественно

приведет нас к понятию калибровочной инвариантности.

Как и для массивных частиц, попытаемся записать произвольное свободное поле безмассовой частицы как линейную комбинацию операторов уничтожения a(p,s) частиц с импульсом р и спиральностью s и соответствующих операторов рождения ac†(p,s) äëÿ àíòè-

частиц *:

где теперь p0 º |p|. Операторы рождения преобразуются так же, как

одночастичные состояния в (2.5.42):

ãäå pΛ º Lp, à óãîë q определен формулами (2.5.43). Таким образом,

если мы хотим, чтобы поле преобразовывалось по некоторому представлению D(L) однородной группы Лоренца,

* Мы рассматриваем только один сорт частиц и опускаем соответствующую метку n. Кроме того, κ è λ – постоянные коэффициенты, которые

определяются из требования причинности при некотором подходящем выборе нормировки коэффициентных функций ul è vl.

330 Глава 5. Квантовые поля и античастицы

мы должны потребовать, чтобы коэффициентные функции u и v удовлетворяли вместо (5.1.19) и (5.1.20) соотношениям

(Вновь pΛ ≡ Λp.) Как и в случае массивных частиц, этим требовани-

ям можно удовлетворить, положив (вместо (5.1.21) и (5.1.22)), что

где k — стандартный импульс, например, (0,0,k), а L (p) — стандартное преобразование Лоренца, переводящее безмассовую частицу из состояния с импульсом k в состояние с импульсом p. Кроме того, вместо (5.1.23) и (5.1.24) коэффициентные функции при стандартном импульсе должны удовлетворять соотношениям

ãäå Wμν — произвольный элемент «малой группы» для 4-импульса k

= (k, |k|), т. е. произвольное преобразование Лоренца, оставляющее этот 4-импульс инвариантным.

Тогда формулы (5.9.8) и 95.9.9) определяют их при произвольных импульсах. Уравнения для v являются комплексно сопряженными к уравнениям для u, так что при подходящем выборе постоянных k è l можно отнормировать коэффициентные функции так, чтобы

Проблема в том, что для произвольных представлений однородной группы Лоренца не удается найти ul, удовлетворяющие (5.9.14). Более того, это не удается сделать даже для тех представлений, для которых при m ¹ 0 можно построить поля частиц данной спиральности.

Чтобы понять,1 1 в чем сложность, попробуем построить 4-векторное поле ( , ) для безмассовой частицы со спиральностью

±1. В 4-векторном представлении имеем просто:

Dμ ν (Λ) = Λμ ν .

Принято записывать коэффициентные функции через «вектор поляризации» eμ:

Из (5.9.19) следует, что с точностью до константы, которую можно включить в коэффициенты k è l,

Но тогда из (5.9.20) вытекает, что одновременно a ± ib = 0, что невозможно для произвольных действительных a è b. Поэтому

Как мы увидим в гл. 9, этим условиям удовлетворяет вакуумный вектор-потенциал электродинамики в так называемой кулоновской или радиационной калибровке.

Обращение в нуль а0 во всех лоренцовский системах отсчета ярко показывает, что aμ не может быть 4-вектором. Из (5.9.22)

следует, что для произвольного импульса р и произвольного преобразования Лоренца L мы вместо (5.9.6) получаем

так что при произвольном преобразовании Лоренца

ãäå W(x,L) — линейная комбинация операторов уничтожения и

рождения, точный вид которой нам не важен. Как будет детальнее показано в гл. 8, поле типа aμ(x) можно включать в состав лоренцинвариантных физических теорий, если взаимодействие поля aμ ñ

другими полями будут не только формально лоренц-инвариантны (т. е. инвариантны относительно формальных преобразований Лоренца, при которых aμ ® Lμνaν), но инвариантны и относительно «калибровочных» преобразований aμ ® aμ + ¶μW. Это достигается, если эти взаимодействия брать в виде aμjμ, ãäå jμ — 4-вектор тока, для которого ¶μjμ = 0.

Хотя не существует обычного 4-векторного поля безмассовых частиц со спиральностью ±1, нетрудно построить для таких частиц

антисимметричное тензорное поле. Из формулы (5.9.22) и условия инвариантности kμ относительно малой группы немедленно получаем:

Это показывает, что коэффициентная функция, удовлетворяющая соотношению (5.9.6) для антисимметричного тензорного представления однородной группы Лоренца при подходящем выборе нормировки имеет вид

uμν (p,±1) = i(2π)−3/2 (2p0 )−3/2 pμeν (p,±1) − pνeμ (p,±1) , (5.9.33)

ãäå eμ(p,±1) дается формулой (5.9.25). Используя это равенство вме-

сте с (5.9.23), получаем произвольное антисимметричное тензорное поле безмассовой частицы со спиральностью ±1 â âèäå

Заметим, что эта комбинация является тензором даже в том слу- чае, когда aμ не является 4-вектором, поскольку лишнее слагаемое

в (5.9.31) выпадает из (5.9.34). Заметим также, что из формул (5.9.34), (5.9.24), (5.9.28) и (5.9.29) следует, что fμν удовлетворяет

вакуумным уравнениям Максвелла

Для того, чтобы установить коммутационные соотношения для тензорных полей, нам нужны формулы суммирования по спиральностям билинейных форм eμeν*. Используя явную формулу (5.9.21),

получаем

откуда с помощью (5.9.25) находим:

Непосредственными вычислениями убеждаемся, что

[fmn(x), frs (y)† ] = (2π)−3 [−ηmr∂n∂s + ηnr∂m∂s + ηms∂n∂r − ηns∂m∂r ]

×z d3p(2p0 )-1 | κ|2 eip×x −| λ|2 e-ip×x .

(5.9.38)

Очевидно, что это выражение обращается в нуль при x0 = y0 тогда и только тогда, когда

В этом случае, поскольку fμν — тензор, коммутатор обращается

в нуль для всех пространственноподобных интервалов. Из формулы (5.9.39) следует также, что коммутатор aμ обращается в нуль при

равных временах. Как будет видно в гл. 8, этого достаточно, чтобы получить лоренц-инвариантную S-матрицу. Относительные фазы операторов рождения и уничтожения можно подобрать так, чтобы κ = l. Тогда в случае, когда частицы совпадают со своими зарядово-

сопряженными, как у фотона, поля становятся эрмитовыми. Почему при построении теорий безмассовых частиц со спином 1

желательно использовать поля типа aμ(x), а не ограничиться полями типа fμν(x) с простыми свойствами лоренцовских преобразований?

Наличие производных в (5.9.34) означает, что плотность гамильтониана взаимодействия, построенная только из fμν и его производ-

ных, будет иметь матричные элементы, более быстро убывающие при малых энергиях и импульсах безмассовых частиц, чем те, которые построены с помощью векторного поля aμ. Соответственно,

взаимодействия в такой теории будут убывать на больших расстояниях быстрее, чем по обычному закону обратных квадратов. Такое вполне возможно, однако калибровочно-инвариантные теории, использующие векторные поля для описания безмассовых частиц со спином 1, представляют более общий класс теорий, включающий те, которые в действительности реализуются в природе.

Аналогичные замечания применимы к гравитонам — безмассовым частицам со спиральностью ±2. Из операторов уничтожения и рождения таких частиц можно построить тензор Rμνρσ с алгебраи-

ческими свойствами тензора кривизны Римана–Кристоффеля: антисимметричностью по перестановкам внутри пар μ, ν è ρ, σ,

и симметрией относительно перестановок самих этих пар. Однако, чтобы включить обычные гравитационные взаимодействия по закону обратных квадратов, необходимо ввести поле hμν, преобразую-

щееся как симметричный тензор с точностью до калибровочных преобразований, относящихся к типу, связанному в общей теории относительности с произвольными преобразованиями координат. Таким образом, чтобы построить теорию безмассовых частиц со спиральностью ±2, включающую дальнодействие, необходимо, чтобы

эта теория обладала симметрией, похожей на общую ковариантность. Как и в случае электромагнитной калибровочной инвариантности, этого можно добиться, введя взаимодействие поля hμν с сохраняющимся «током» qμν, теперь уже несущим два пространст- венно-временных индекса и удовлетворяющим условию ¶μqμν = 0.

Единственным таким сохраняющимся тензором является тензор энергии-импульса, если не учитывать возможные слагаемые, имеющие вид полной производной и не влияющие на поведение порождаемыхподобным взаимодействием сил на больших расстояниях. * Поля безмассовых частиц со спином j ³ 3 должны были бы взаимо-

действовать с сохраняющимися тензорами с тремя и более про- странственно-временными индексами. Однако таких тензоров не существует, если не считать полных производных, поэтому безмассовые частицы с большими спинами не могут порождать дальнодействующие силы.

* * *

Проблемы, с которыми мы столкнулись при построении 4-векторных полей для спиральностей ±1 и симметричных тензорных полей для спиральностей ±2, являются частными случаями более общих огра-

ничений. Чтобы увидеть это, рассмотрим проблему построения полей

* Åñëè θμ1 ...μN — тензорный ток, удовлетворяющий условию ∂μ θμ1 ...μN = 0, òî z d3x θμ1 ...μN — сохраняющаяся величина, преобразующаяся 1как тензор

ранга N – 1. Единственными сохраняющимися тензорами такого рода являются скалярные «заряды», связанные с различными непрерывными симметриями, и 4-вектор энергии-импульса. Сохранение любого другого 4-вектора или любого тензора более высокого ранга исключило бы возможность рассеяния на любые углы, кроме нулевого.