Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

414 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Возможно, что в теории имеются и другие скалярные мультиплеты, но пока что предположим, что такой мультиплет единственен.

Необходимо добавить в лагранжиан слагаемые, содержащие скалярное и калибровочное поля. Наиболее общий лагранжиан, совместимый с SU(2) ´ U(1) калибровочной инвариантностью, ло-

ренц-инвариантностью и перенормируемостью, имеет вид

Ïðè m2 < 0 в стационарной точке лагранжиана полученное в дре-

весном приближении среднее по вакууму равно

Мы всегда можем совершить SU(2) ´ U(1) калибровочное преобразование над полями в унитарной калибровке, в которой j+ = 0, à j0 — эрмитово поле с положительным вакуумным средним. (Именно поэтому мы нормировали комплексный дублет j òàê, ÷òî 1â êèíå-

тическом члене в (21.3.25) появился необычный множитель ; единственным физическим скалярным полем является Rej0, òàê ÷òî â

лагранжиан (21.3.25) это поле входит с канонической нормировкой.) Вакуумные средние компонент j в унитарной калибровке равны

В результате в скалярном лагранжиане (21.3.25) возникают массовые члены векторных мезонов

Кроме того, из выражений (21.3.21( и (21.3.28) видно, что электрон приобретает в низшем порядке массу

Изучение реакций между лептонами только электронного типа затруднительно, хотя к настоящему времени уже есть данные о процессе рассеяния`νe + e– → `νe + e–. Для получения высокоточ-

ных данных нужно рассмотреть реакции, включающие по меньшей мере лептоны мюонного типа, например, хорошо изученный процесс распада мюона μ+ → e+ + νe +`νμ. Описанная выше модель

тривиально обобщается так, чтобы она включала лептоны мюонного типа, — для этого нужно просто добавить в лагранжиан слагаемые Lμ è Lϕμ, аналогичные последним слагаемым в (21.3.11) и (21.3.21), заменив поля e и νe на поля мюона μ– и мюонного нейтрино νμ, à Ge — íà Ge(mμ/me). Рассмотрение выражения (21.3.20) и соответствующего слагаемого с заменой e и νe íà μ è νμ показыва-

ет, что обмен W между лептонами электронного и мюонного типов при низких энергиях порождает эффективное взаимодействие

Это можно сравнить с взаимодействием в эффективной «V–A теории», которая, как известно, хорошо описывает распад мюона:

Здесь GF — обычная фермиевская константа связи, значение которой GF = 1,16639(2) × 10–5 Ãý–2 известно из вероятности распа-

да мюона. Сравнивая два выражения, находим:

416 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Это позволяет сразу же определить вакуумное среднее v, определяемое выражением (21.3.30) как

Кроме того, из выражения (21.3.31) видно, что Ge имеет очень малое значение

Из формулы (31.3.30) следует, что mZ> mW. Не зная хоть что-то относительно g и g′, невозможно определить реальные значения mZ è mW. С помощью соотношений (21.3.30) и (21.3.19) можно выразить mZ è mW через угол электрослабого смешивания:

Âэтом заключаются оригинальные результаты, полученные

â3. Конечно, существуют радиационные поправки всех сортов, мно-

гие из которых зависят от деталей теории, которые в этом разделе пока что не обсуждались. Но есть одна особенно большая радиационная поправка, которую можно немедленно вычислить, не обладая дальнейшей информацией. Приведенные выше значения mW è mZ были вычислены с использованием обычным образом определенного заряда электрона е. Однако, как пояснялось в разделе 18.2, это значение не очень подходит для расчета процессов при энергиях E . me. Вместо этого следует использовать электрический заряд eμ, определенный при скользящем масштабе μ, сравнимом с интересующими нас энергиями. При μ порядка 90 ГэВ эффективная постоянная тонкой структуры eμ2 4π равна примерно 1/129 (и мало чувствительна к точному значению μ), òàê ÷òî ïðиведенные выше значения mZ è mW следует умножить на 137129 , ÷òî äàåò

Каким бы ни было значение θ, эти массы слишком велики

для того, чтобы была хоть малейшая надежда обнаружить W или Z

â1960-å или начале 1970-х годов. Вместо этого, экспериментальные свидетельства справедливости электрослабой теории появились

âрезультате открытия предсказанного теорией нового класса слабых взаимодействий — процессов с нейтральными токами, обусловленными обменом Z0-бозоном 9. Первое наблюдение процесса с нейтральным током произошло в 1973 году при детектировании

âпузырьковой камере чисто лептонного процесса упругого νμ–e

рассеяния 10. Хотя эти процессы легко рассматриваются теорети- чески, частота событий относительно мала, потому что сечение пропорционально квадрату энергии в с. ц. и. *. Потребовались годы на то, чтобы реакции, обусловленные чисто лептонными нейтраль-

ными токами, удалось использовать для получения достаточно точ- ного значения параметра sin2 θ. К 1994 году изучение чисто лептон-

ных процессов с нейтральными токами типа νμ + e– → νμ + e– è`νμ + e– → `νμ + e– привело к значению sin2 θ = 0,222±0,011, îòêó-

да получились значения mW = 81,5 ÃýÂ è mZ = 92,5 ÃýÂ.

Еще перед открытием нейтральных токов электрослабая теория была распространена на слабые и электромагнитные взаимодействия адронов друг с другом и с лептонами. К середине 1960-х годов стало ясно, что процессы слабого взаимодействия, в которых происходит обмен зарядом между лептонами и адронами, хорошо описывается при низких энергиях эффективным лагранжианом

* Сечение пропорционально GF2, поэтому для того, чтобы получить размерность [энергия]–2, сечение должно быть также пропорционально квадрату некоторой энергии. Если энергия в системе центра масс много больше массы электрона, то это единственная энергия, которая может войти в формулу.

418 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

ãäå Jλ — адронный ток. В рамках кварковой модели коммутационные свойства и свойства сохранения тока Jλ позволили идентифи-

цировать его с кварковым током

Здесь u, d, s — поля соответствующих кварков u, d и s, а θc —

другой угол, называемый углом Кабиббо 11. Экспериментальное изучение таких процессов, как O14 → N14* + e+ +νe è K+ → π0 + e+ + νe, подтвердило, что значение GF очень близко к тому, которое измерено в чисто лептонном процессе μ+ → e+ + νe +`νμ, è äàëî äëÿ óãëà θc значение 12 sin θc = 0,220±0,003. Мы, естественно, заключаем, что кварки образуют другой SU(2) × U(1) дублет

а также правые синглеты, причем значения ψ подобраны так, что-

бы получались заряды кварков 2е/3 и –е/3. Само по себе это заключение привело бы к серьезной трудности. Z0-бозон взаимодействует с кварковым нейтральным током

å Q γ μ (t3L cos θ + y sin θ)Q = å Q γ μ (t3L sec θ + qtg θ)Q (21.3.42)

Q Q

где производится суммирование по всем кварковым дублетам Q типа (21.3.41). Зарядовая матрица диагональна по сортам кварков, но если кварковый дублет (21.3.41) — единственный, то слагаемое, содержащее матрицу t3L, включало бы перекрестные слагаемые, пропорциональные sγ μ (1 + γ 5 )d è dγ μ (1 + γ 5 )s, приводящие к эффективным взаимодействиям с обменом Z0 òèïà s +`d → d +`s è s +`d → μ+ + μ–, интенсивность которых былы бы такой же, как у обыч-

ных слабых взаимодействий в первом порядке. Подобные эффекты привели бы к вероятностям процессов типа K0–`K0 осцилляций1 и распада K0 → μ+ + μ–, на много порядков величины больших, чем

наблюдаемые. Кроме того, даже без слагаемых с нейтральными токами в лагранжиане, однопетлевые диаграммы, включающие взаимодействие (21.3.39) с заряженным током (21.3.40), приводили бы к эффективному взаимодействию s +`d → d +`s , которое было

бы меньше обычного слабого взаимодействия первого порядка только на множитель порядка α/2π, что приводило бы к все еще слишком большой вероятности K0–`K0 осцилляций. Чтобы преодолеть последнюю трудность, было высказано предположение 13, ÷òî â Jλ âõî-

дит другое слагаемое, имеющее в современных обозначениях вид

где с — четвертый кварк, имеющий, как и u-кварк, заряд 2е/3. Добавляя (21.3.43) к (21.3.40), можно записать заряженный ток в виде

Jλ = (u cos θc − c sin θc )γ λ (1 + γ 5 )d + (u sin θc + c cos θc )γ λ (1 + γ 5 )s.

Единственной причиной, по которой взаимодействия W с этим током не сохраняют странность, является то, что с и u имеют разные массы, что приводит к переходам между u cos θc − c sin θc è u sin θc + c cos θc. Но это означает, что петлевые диаграммы для эффективного взаимодействия s +`d → d +`s подавлены дополнительными множителями mc2 / m2W (ò. ê. mu n mc), и это приводит вероятность K0–`K0 осцилляций к согласию с экспериментом.

Впоследствии было замечено, что эта гипотеза решает и проблему изменяющих странность взаимодействий Z0. В рамках SU(2) × U(1) калибровочной теории комбинация –dLsin θc + sLcos θc íå

может быть синглетом, а должна быть частью другого дублета

Включая этот дублет в слабый нейтральный ток (21.3.42), видим, что несохраняющие странность слагаемые, пропорциональные и, сокращаются, что снимает проблему избыточных вкладов от обмена Z в процессы типа K0–`K0 осцилляций и K0 → μ+ + μ–. Частицы, содержащие с-кварк в c − c связанном состоянии, были открыты 14

â1974 году, что позволило оценить значение массы mc d 1,5 ÃýÂ. *

* Мы не наблюдаем изолированные кварки, поэтому их массы опреде-

лены неточно. Приведенная здесь масса с-кварка грубо равна половине массы J/ψ частицы, интерпретируемой как связанное состояние `сс. Кварки b и t настолько тяжелы, что их массы можно с очень малой ошибкой определять по массам содержащих эти кварки адронов.

ãäå Ui è Di (i = 1, 2, 3) — три независимых кварковых поля зарядами 2е/3 и –е/3, соответственно, L и R обозначают левые и правые компоненты кварковых полей, а Gijn è Hijn — неизвестные

константы. Затем вакуумные средние нейтральных скаляров приводят к появлению массового слагаемого для кварков

ãäå

Матрицы mijU è mijD ничем не ограничены, в частности, могут быть

комплексными и недиагональными (в последнем случае в лагранжиане Lm появляются слагаемые, несохраняющие четность и сорт кварков). Но мы можем ввести новые кварковые поля

U¢ = AUU U¢ = AUU D¢ = ADD D¢ = ADD

R R R , L L L , R R R , L L L ,

где А — матрицы 3 × 3, ограниченные только условием, что они

должны быть унитарны, чтобы сохранить вид кинематического слагаемого (19.4.1). Тогда массовое слагаемое (21.3.50), переписанное через штрихованные кварковые поля, сохраняет свой вид, с той разницей, что матрицы mU è mD заменяются матрицами

Существует общая теорема, что для любой матрицы m всегда возможно выбрать унитарные матрицы А и В так, что матрица AmB действительна и диагональна. (Для доказательства используйте теорему о полярном разложении, чтобы записать m = HU, где Н — эрмитова, а U — унитарная матрицы, и выберите A = S† è B = U†S, где S — унитарная матрица, диагонализующая Н.) Поэтому мы можем выбрать А так, чтобы и стали действительны и диагональны. В этом случае кварковые поля u, c, t, d, s, b должны отождествляться с компонентами U′L + U′R è D′L + D′R. Теперь мож-

но записать слабые дублеты в виде