Тема 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Основные теоретические сведения.

1. Пусть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действительных чисел (x; y), принадлежащей множеству D, по определенному правилу ставится в соответствии один и только один элемент u из U, то говорят, что на множестве D задана функция f (или отображение) со множеством значений U. При этом пишут , или, или. МножествоD называется областью определения функции, а множество U, состоящее из всех чисел вида , где,множеством значений функции. Значение функции в точкеназываетсячастным значением функции и обозначается или.

2. Частные производные первого порядка.

Частной производной от функции по независимой переменнойназывается конечный предел

вычисленный при постоянном .

Частной производной по называется конечный предел

,

вычисленный при постоянном .

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

3. Полный дифференциал.

Полным приращением функции в точкеназывается разностьгдеипроизвольные приращения аргументов.

Функция называется дифференцируемой в точке, если в этой точке полное приращение можно представить в виде

, где .

Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения, линейная относительно приращений аргументови, т.е..

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. и.

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

.

Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов вычисляется по формуле

.

При достаточно малом для дифференцируемой функциисправедливы приближенные равенства

.

4. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка .

Обозначение частных производных второго порядка:

.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьих и высших порядков, например:

и т.д.

Так называемые «смешанные» производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, например:

.

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, т.е..

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков: ; вообще

Если x и y – независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

5. Дифференцирование неявных функций.

Производная неявной функции , заданной с помощью уравнения, гдедифференцируемая функция переменныхи, может быть вычислена по формуле

при условии

Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом как функцию от.

Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных , заданной с помощью уравнения, гдедифференцируемая функция переменныхи, могут быть вычислены по формулам

при условии

6. Экстремум функции.

Функция имеетмаксимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точкенекоторой окрестности точки, т.е.[соответственно] для всех точек, удовлетворяющих условию, гдедостаточно малое положительное число.

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называетсяточкой экстремума.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

(необходимые условия экстремума).

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Пусть стационарная точка функции. Обозначим

и составим дискриминант Тогда:

а) если то функция имеет в точкеэкстремум, а именно максимум прии минимум при

б) если то в точкеэкстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума);

в) если то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Пример 1. Дана функция Найтии.

Решение.

Пример 2. Дана функция Найтиdz.

Решение.

Следовательно,

Пример 3. Вычислить приближенноисходя из значения функциипри

Решение. Искомое число есть наращенное значение функции z при Найдем значениеz при имеем

Находим приращение функции:

Следовательно,

Пример 4. Вычислить приближенно исходя из значения функциипри.

Решение. Значение функции z при x=1, y=1 есть

Найдем приращение функции при

=

Следовательно,

Пример 5. Найти

Решение. Здесь

Найдем

Следовательно,

Пример 6. Найтии

Решение. Здесь =

Находим

Тогда

Пример 7. Найти экстремум функции

Решение. Находим частные производные первого порядка: Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

откуда

Находим значения частных производных второго порядка в точке M:

и составляем дискриминант Следовательно, в точкезаданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке

Пример 6. Найти экстремум функции

Решение. Находим частные производные первого порядка:

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

Отсюда x=21, y=20; стационарная точка

Найдем значения вторых производных в точке M:

Тогда .

Так как A<0, то в точке функция имеет максимум: