4. Точки экстремума.

Если в некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f(x)<f(x₀) или f(x)>f(x₀), то точка x₀ называется точкой экстремума функции f(x) (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если x₀–экстремальная точка функции f(x), то первая производная либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума:x₀–является экстремальной точкой функции f(x), если ее первая производная меняет знак при переходе через точкуx₀: с плюса на минуспри максимуме, с минуса на плюспри минимуме.

5. Точки перегиба.

Точка x₀ называется точкой перегиба кривой y=f(x), то вторая производная либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба:x₀ является точкой перегиба кривой y=f(x), если при переходе через точку x₀ вторая производная меняет знак.

6. Асимптоты.

Прямая y_ac=kx+b называется наклонной асимптотой кривой y=f(x), если расстояние от точки (x; f(x)) кривой до этой прямой стремится к нулю при . При этом

(4)

При k=0 имеем горизонтальную асимптоту: y=b.

Если

или , (5)

то прямая x=a называется вертикальной асимптотой.

7. Общая схема исследования функции.

1) Найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность и периодичность;

3) выяснить существование асимптот;

4) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями;

5) найти решение уравнения и точки, гдене существует; точки «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума; вычислить значение функции в точках экстремума; найти интервалы монотонности функции;

6) найти решения уравнений и точки, гдене существует; точки «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточного условия; вычислить значения функции в точках перегиба; найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

7) построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.

Пример 1. Найти производную от функции .

Решение. Введем вспомогательную функцию u=x²+3x+1, тогда можно записать гдеu=x²+3x+1.

По формуле (1) имеем , или, заменивu на его значение:

К такой подробной записи прибегают только на начальной стадии освоения правил дифференцирования, а обычно вспомогательную функцию вводят только мысленно и выполняют указанные действия.

Пример 2. Найти , если

Решение. Мысленно за u принимаем выражение x+7x–3 и получаем

Пример 3. Найти , если.

Решение. По правилу дифференцирования произведения записываем:

При вычислении принимаемu=1x², тогда

Таким образом,

.

Пример 4. Найти если.

Решение. Принимаем за вспомогательную функциюu и получим

При вычислении производной от за вспомогательную функцию примем:

.

Подставим найденное значение в выражение для , окончательно получим:

При наработке навыков вычисления производных запись можно проводить более компактно, покажем это на следующем примере.

Пример 5. Найти , если.

Решение. Сначала за вспомогательную функцию примем , затем функцию, после этого роль вспомогательной будет играть функция 3x и, наконец, к ней применяем одно из основных правил дифференцирования:

Пример 6. Дана функция . Найти.

Решение. Дифференцируем исходные равенства по t:

По формуле (2) получим

Пример 7. Используя правило Лопиталя, вычислить предел функции:

1) 2).

Решение. 1) Подстановка предельного значения аргумента x=2 приводит к неопределенности вида 0/0. Раскроем ее с помощью правила Лопиталя (3):

Однократное применение правила Лопиталя не приводит к раскрытию неопределенности (по прежнему получаем ), поэтому применим его еще раз:

Таким образом, в результате двукратного применения правила Лопиталя находим, что искомый предел равен 5.

2) Убедившись, что имеет место неопределенность вида применим правило Лопиталя:

.

Пример 8. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Проведем исследование по общей схеме, приведенной в п.

1. Функция определена при всех значениях аргумента x, кроме x=1.

2. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств (тогдачетная функция) или(для нечетной функции) для любыхииз области определения функции:

Следовательно ито есть данная функция не является ни четной ни нечетной. Также не является периодической.

3. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т.е. на интервалах и. В точкеx=1 функция терпит разрыв второго рода.

Так как x=1точка разрыва функции, причем. Поэтому прямаяx=1 является вертикальной асимптотой графика.

Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами:

Тогда

При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя.

Значит прямая есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции.

4. Точки пересечения с осями координат: если , то; если, то.

5. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

при ине существует приТем самым имеем две критические точки:. Но точкане принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака :

		0
		0	+
		min

Табл.1.

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает, во втором интервале–положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку x=0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значитточка минимума.

6. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

при ине существует при. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака

		0	+	+
		Перегиб

Табл.2.

На первом интервале вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах>0, тем самым график является вогнутым. При переходе через точкуменяет свой знак, поэтомуабсцисса точки перегиба. Следовательно,точка перегиба графика функции.

7. Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис.10).

Рис. 10