AISD

вого поддерева (для достижения этого

нонаправленном

списке,

т.е.

придется

элемента необходимо перейти в следую-

перебирать

N/2 элементов.Наибольшего

щий узел по правой ветви, а затем дви-

эффекта использования дерева достига-

гаться только по левой ветви этого узла

ется в том случае, когда дерево сбаланси-

до тех пор, пока очередная ссылка не

ровано. В этом случае для поиска придет-

будет равна nil.

ся

перебрать

не

больше

log 2

Предшественником удаляемого узла (12)

Nэлементов.Строго

сбалансированное

является самый правый узел левого под-

дерево - это дерево, в котором каждый

дерева (11). Преемником узла (12) - са-

узел имеет левое и правое поддеревья,

мый левый узел правого поддерева (13).

отличающиеся по уровню не более чем на

Будем разрабатывать

алгоритм для пре-

единицу.Поиск элемента в бинарном де-

емника (узел 13), который будет постав-

реве называется бинарным поиском по

лен на место удаляемого узла 12.

дереву.Такое дерево называют деревом

Введем указатели:

бинарного поиска.Суть поиска заключает-

32.

Понятие

сортировки,

ее

эффек-

p - рабочий указатель;

ся в следующем. Анализируем вершину

тивность;

классификация

методов

q - отстает от р на один шаг;

очередного поддерева. Если ключ меньше

сортировки

v - указывает на преемника удаляемого

информационного поля вершины, то ана-

Сортировка - это расположение данных в

узла;

лизируем левое поддерево, больше - пра-

памяти в регулярном виде по выбранному

t - отстает от v на один шаг;

вое.

параметру. Регулярность рассматривают

s - на один шаг впереди v (указывает на

31. Алгоритмы прохождения бинар-

как

возрастание

(убывание)

значения

левого сына или пустое место).

ных деревьев

параметра от

начала

к концу

массива

В итоге работы алгоритма на узел 13 дол-

В зависимости от последовательности об-

данных.

жен указывать указатель v, а указатель s

хода

поддеревьев

различают

три

вида

Если сортируемые записи занимают боль-

- на пустое место (как показано на ри-

обхода (прохождения) деревьев (рис.4.9):

шой

объем памяти,

то их перемещение

сунке).

Рис. 4.9. Прохождение бинарных деревьев

требует больших затрат. Для того, чтобы

q = nil

1. Сверху вниз А, В, С.

их уменьшить,

сортировку производят в

p = tree

2. Слева направо или симметричное про-

таблице адресов ключей, то есть делают

while (p <> nil) and (k(p) <> key) do

хождение В, А, С.

перестановку указателей, а сам массив не

q = p

3. Снизу вверх В, С, А.

перемещается.

Это

-

метод

сортировки

if key < k(p) then

Неформальный

итерационный

алгоритм

таблицы адресов.

p = left(p)

обхода дерева:

else

1. Если обработка производится после 1-

p = right(p)

го захода в узел, то это – обход сверху

endif

вниз.ABDECF

endwhile

2. Если обработка производится после 2-

При

сортировке

могут

встретиться

if p = nil then „Ключненайден‟

го

захода

в

узел,

то

это

– обход

слева

одинаковые ключи. В этом случае жела-

return

направо.DBEACF

тельно

после

сортировки

расположить

endif

3. Если обработка производится после 3-

одинаковые ключи в том же порядке, что

if left(p) = nil then v = right(p)

го

захода

в

узел,

то

это

– обход

снизу

и

в

исходном

файле.

else if right(p) = nil

вверх.DEBFCA

Это - устойчивая сортировка.

then v = left(p)

Наиболее часто применяется второй спо-

Мы будем рассматривать только сорти-

else

соб. Ниже приведены рекурсивные алго-

ровки, не использующие дополнительную

„Уnod(p) - два сына‟

ритмы прохождения бинарных деревьев.

оперативную

память.

Такие

сортировки

„Введем два указателя (t отстает от v на 1

Procedure pretrave (tree tnode) Begin if

называются «на том же месте».

шаг, s - опережает)‟

tree <> nil then begin WriteL(Tree^.Info);

Эффективность

сортировки

можно

t = p

Pretrave(Tree^.left);

Pre-

рассматривать по нескольким критериям:

v = right(p)

trave(Tree^.right);End;end;

время,

затрачиваемое на

сорти-

s = left(v)

•

procedure

intrave (tree: tnod) begin if

ровку;

while s <> nil do

tree

<>

nil

then

begin

in-

объем

оперативной памяти, тре-

t = v

•

trave(Tree^.left);writeLn(Tree^.info);intrav

буемой для сортировки;

v = s

e(Tree^.right);end;end;

время,

затраченное

программи-

s = left(v)

•

Рис. 4.10 Обход дерева А, В, С

стом на написание программы.

endwhile

Поясним подробнее рекурсию

алгоритма

ift<>pthen

обхода дерева слева направо.

Выделяем

первый

критерий.

Эквива-

„v не является сыном p‟

Пронумеруем

строки

алгоритмаintrave

лентом затраченного на сортировку вре-

left(t) = right(v)

(tree):

мени

можно

считать количество сравне-

right(v) = right(p)

1 if tree <> ml

ний и количество перемещений при вы-

endif

2

then intrave (left(tree))

полнении сортировки.

left(v) = left(p)

3

print info (tree)

Порядок

числа сравнений

и пе-

endif

•

4

intrave (right (tree))

ремещений при сортировке лежит

endif

5

endif

в пределах

if q = nil then „p - корень‟

6

return

от О (n log n)

до О (n2);

tree = v

Обозначимуказатели: t → tree; l → left; r

О (n) - идеальный и недостижимый

else

if p = left(q)

→ right

случай.

then

left(q) = v

На приведенном рис.

4.11

проиллюстри-

Различают

следующие методы

сорти-

else

right(q) = v

рована

последовательность

вызова

ровки:

endif

процедурыintrave (tree) по мере обхода

строгие (прямые) методы;

endif

•

узлов простейшего дерева, изображенно-

улучшенные методы.

freenode(p)

•

го на рис. 4. 10.

Строгие методы:

return

Рис. 4.11. Иллюстрация рекурсивной ра-

метод прямого включения;

•

боты процедуры intrave (tree) при обхо-

28. Эффективность поиска по бинар-

•

метод прямого выбора;

де дерева на рис.4.10.

метод прямого обмена.

ному дереву

•

Эффективность

строгих

методов

Эффективность поиска по бинарному

примерно одинакова.

дереву

Назначение его в том, чтобы по заданно-

35. Сортировка методом прямого об-

му ключу осуществить поиск узла дерева.

мена (пузырьковая).

Длительность операции зависит от струк-

Оба разбиравшихся до этого метода мож-

туры дерева.

Действительно, дерево мо-

но тоже рассматривать как "обменные"

жет быть вырождено в однонаправленный

сортировки. В данном же, однако, разделе

список, как правое на рис. 5.8.Рис. 5.8.

описан метод, где обмен местами двух

Бинарные деревья.В

этом

случае

время

элементов представляет собой характер-

поиска будет

такое

же,

как и

в од-

памяти в регулярном виде по их ключам.

v:=maketree(key); while p<>nil do begin

1)

метод прямого включения.

Регулярность рассматривают как возрас-

q:=P; if key<k(p) then p:=left(p) else

Число сравнений ключей Ci при i- м про-

тание значения ключа от начала к концу в

p:=right(p); end; if p=nil then begin wri-

сеивании самое большее равно i-1, самое

массиве.Различают следующие типы сор-

teln('Этокорень'); tree:=v; end else if

меньшее - 1; если предположить, что все

тировок:• внутренняя сортировка - это

key<k(q) then

left(p):=v else righ(p):=v;

перестановки из N ключей равновероят-

сортировка, происходящая в оперативной

end;

ны, то среднее число сравнений = i/2.

памяти машины• внешняя сортировка -

При обходе дерева слева - направо

Число же пересылок Mi=Ci+3 (включая

сортировка

во

внешней

памя-

получаем отсортированный массив 20, 30,

барьер). Минимальные оценки встречают-

ти.Схематичное представление двоично-

35, 45, 60, 70, 82, 85, 86, 87, 88, 90. Эле-

ся в случае уже упорядоченной исходной

го дерева: имеется набор вершин, соеди-

мент дерева заносится в массив при вто-

последовательности элементов, наихуд-

ненных стрелками. Из каждой вершины

ром заходе в него (на рисунке вторые

шие же оценки - когда они первоначально

выходит не более двух стрелок (ветвей),

заходы показаны зелеными стрелками).

расположены в обратном порядке. В неко-

направленных влево - вниз или вправо -

Обходдереваслева - направо

тором смысле сортировка с помощью

вниз. Должна существовать единственная

procedure InTree(tree);

включения демонстрирует истинно естест-

вершина, в которую не входит ни одна

begin

if

Tree

=

nil

then

венное поведение. Ясно, что приведенный

стрелка - эта вершина называется корнем

writе('Деревопусто') else with Tree^ do

алгоритм

описывает процесс

устойчивой

дерева. В каждую из оставшихся вершин

begin if left <> nil then InTree(left); if right

сортировки: порядок элементов с равны-

входит одна стрелка.

<> nil then InTree(right); end; end;

ми ключами при нем остается неизмен-

Существует множество способов упорядо-

ным.

чивания дерева. Рассмотрим один из них :

39. Сравнительный анализ эффектив-

Количество сравнений в худшем случае,

«Левый» сын имеет ключ меньше, чем

ности методов сортировки

когда массив отсортирован противопо-

ключ "Отца" "Правый" сын имеет ключ

При обработке данных важно знать ин-

ложным образом, Cmax = n(n - 1)/2, т. е.

больше, чем ключ «Отца»Получили би-

формационное поле данных и размещение

- О (n2). Количество перестановок Mmax

нарное упорядоченное дерево с мини-

их в машине.

= Cmax + 3(n-1), т.е. - О (n2). Если же

мальным числом уровней. Строго сбалан-

Различают внутреннюю и внешнюю сор-

массив уже отсортирован, то число срав-

сированное дерево: дерево, в котором ле-

тировку:

нений и перестановок минимально: Cmin

вое и правое поддерево имеют уровни,

- внутренняя сортировка - сортировка в

= n-1; Мmin = 3(n-1).

отличающиеся не более чем на единицу.

оперативной памяти (по внутренним клю-

2)

метод прямого выбора.

Рассмотрим

принцип построения

дерева

чам);

Число сравнений ключей Сi, очевидно, не

при занесении элементов в массив:Пусть

- внешняя сортировка - сортировка во

зависит от начального порядка ключей.

в первоначально пустой массив заносятся

внешней памяти (по внешним ключам).

Можно сказать, что в этом смысле пове-

последовательно поступающие элементы:

Мы будем рассматривать методы сорти-

дение этого метода менее естественно,

70, 60, 85, 87, 90, 45, 30, 88, 35, 20, 86;

ровки по внешним ключам; на том же

чем поведение прямого включения. Для С

Т.к. это еще пустое дерево, то ссылки left

месте; методы устойчивой сортировки.

при любом расположении ключей имеем:

и right равны nil (left - указатель на лево-

Сортировка - это расположение данных в

С=n(n-1)/2

го сына (элемент), right - указатель на

памяти в регулярном виде по их ключам.

Порядок числа сравнений (эффективно-

правого сына (элемент)).

Регулярность рассматривают как возрас-

сти), таким образом, O(n 2 )

Четвертый из поступающих элементов 87.

тание (убывание) значения ключа от на-

Число перестановок минимально М min =

Т.к. этот ключ больше ключа 70 (корень),

чала к концу в массиве.

3(n - 1) в случае изначально упорядочен-

то новая вершина должна размещаться на

ных ключей и максимально, M max

= 3(n -

правой ветви дерева. Чтобы определить

1) + С, т.е. порядок O(n 2 ), если первона-

ее место, спускаемся по правой стрелке к

чально ключи располагались в обратном

очередной вершине (с ключом 85), и если

порядке.

поступивший ключ больше 85, то новую

Рис. 6.1. Сортировка.

В худшем случае сортировка прямым вы-

вершину делаем правым сыном вершины с

Если сортируемые записи занимают боль-

2

для числа

ключом 85 .

бором дает порядок n , как

шой объем

памяти, то их перемещение

сравнений, так и для числа перемещений.

В рассмотренном примере ПРИНЦИП ПО-

требует больших затрат. Для того чтобы

3)

метод прямого обмена.

СТРОЕНИЯ ДЕРЕВА имеет следующий вид:

их уменьшить,

сортировку производят в

Число сравнений Сmах = n(n-1)/2, O(n 2 ).

если поступает очередной элемент масси-

таблице адресов ключей, делают переста-

Число перемещений Mmax=3Cmax=3n(n-

ва, то начиная с корня дерева (в зависи-

новку указателей, т.е. сам массив не пе-

l)/2, O(n 2 ).

мости от сравнения текущего элемента с

ремещается. Это метод сортировки табли-

Если массив уже отсортирован и применя-

очередной вершиной)

идем

влево или

цы адресов.

ется алгоритм с флажком,

то достаточно

вправо от нее до тех пор, пока не найдем

При сортировке могут встретиться одина-

всего одного прохода, и тогда получаем

подходящую

вершину,

к

которой

можно

ковые ключи. В этом случае при сорти-

минимальное число сравнений

подключить новую вершину с текущим

ровке желательно расположить после сор-

Cmin=n-l,

O(n 2 ),а перемещения

вообще

ключом.

В

зависимости

от

результата

тировки одинаковые ключи в том же по-

отсутствуют.

сравнения ключей, новую вершину дела-

рядке, что и в исходном файле. Это - ус-

Сравнительный

анализ прямых

сортиро-

ем левой или правой для найденной вер-

тойчивая сортировка (взаимное располо-

вок показывает, что обменная "сортиров-

шины.

жение одинаковых ключей не меняется).

ка"

в классическом виде

представляет

Алгоритм

Эффективность

сортировки можно

рас-

собой нечто среднее между сортировками

Для создания дерева необходимо соз-

сматривать с нескольких критериев:

с помощью включений и с помощью выбо-

дать в памяти элемент следующего типа:

- время, затрачиваемое на сортировку;

ра. Если же в нее внесены приведенные

Тип на ПАСКАЛе:

- объем оперативной

памяти,

требуемой

выше усовершенствования,

то для доста-

typepelem = ^еlem;

для сортировки;

точно упорядоченных массивов пузырько-

elem = record

- время, затраченное

программистом на

вая сортировка даже имеет преимущест-

left : pointer;

написание программы.

во.

right: pointer;

Выделяем

первый критерий,

поскольку

Эффективность

этих трех

методов при-

К : integer;

будем рассматривать только методы сор-

мерно одинакова.

end;

тировки «на том же месте», то есть, не

Улучшенные методы:

К - элемент массива, V - указатель на

резервируя для процесса сортировки до-

1) быстрая сортировка.

созданный элемент.

полнительную

память.

Эквивалентом

за-

О(nlogn) - самый эффективный метод.

В процедуре создания дерева бинарного

траченного на сортировку времени можно

2) сортировка Шелла.

поиска

будут использованы

следующие

считать количество сравнений при выпол-

He доказано, какие расстояния дают наи-

указатели:

нении сортировки и количество переме-

лучший результат, но они не должны быть

tree - указатель на корень дерева;р -

щений.

множителями один другого. Д. Кнут пред-

рабочий указатель;q -

указатель отстаю-

Порядок числа сравнения при сортировке

лагает такую последовательность шагов

щий на шаг от р;key - новый элемент мас-

лежит в пределах от О (nlogn) до О (n2);

(в обратном порядке): 1, 3, 7, 15, 31, ...

сива;Создание дерева бинарного поиска

О(n) - идеальный и недостижимый случай.

То есть: h

= h

+ 1, t = log

n - 1. При

(псевдокод)

Различают

следующие

методы

сортиров-

m 1

m

2

writeln('

такой организации алгоритма его эффек-

ки:

тивность имеет порядок О (n 1.2 ).

Введитеэлементмассива');readln(key);

- строгие (прямые) методы;

tree:=maketree(key); p:=tree; while not

- улучшенные методы.

eof

do

begin

readln(key);

Строгие методы:

40. Нерекурсивный алгоритм обхода

которая хешируется в позицию 397 (с

дерева в прямом порядке

р = bucket (i)

таким ключом, как 8764397) или в пози-

Пусть T – указатель на бинарное дерево;

цию 398 (с таким ключом, как 2194398),

А – стек, в который заносятся адреса еще

while p <>nil do

вставляется в

следующую

свободную

не пройденных вершин; TOP – вершина

позицию, которая в данном случае равна

стека; P – рабочая переменная.

if k(p) = key

400.

1.Начальная установка: TOP:=0; P:=T.

2.Если P=nil, то перейти на 4. {конец

then search = p

Этот метод еще называется методом ли-

ветви}

нейных проб, он является примером не-

3.Вывести P^.info. Вершину заносим в

return

которого

общего

метода

разрешения

стек: TOP:=TOP+1; A[TOP]:=P; шаг по

коллизий при хешировании, который

левой ветви: P:=P^.llink; перейти на 2.

endif

называется повторным хешированием.

4.Если TOP=0, то КОНЕЦ.

5.Достаем вершину из стека: P:=A[TOP];

q = p

В общем случае функция повторного хе-

TOP:=TOP-1;

ширования

rh воспринимает один ин-

Шаг по правой связи: P:=P^.rlink; пе-

p = nxt(p)

декс в массиве и выдает другой индекс.

рейти на 2.

Реализация

нерекурсивного

алгоритма

endwhile

Если ячейка массива h(key) уже занята

поиска может выглядеть следующим обра-

некоторой записью с другим ключом, то

зом:

{ключ не найден, вставляем

новую за-

функция rh применяется к значению

Function Locate(x: integer; T: Link):Link;

пись}

h(key) для того, чтобы найти другую

var found: boolean; begin found:= false;

ячейку, куда может быть помещена эта

while (T <> nil) and not found do if T^.elem

s = getnode

запись. Если ячейка rh(h(key)) также

=

x

then

found

:=

true

занята, то хеширование выполняется еще

else if T^.elem> x then T:=T^. left else

k(s) = key

раз и проверяется ячейка rh(rh(h(key)))

T:=T^.right; Locate := T end;

и т.д.

Для упрощения процедуры поиска можно

nxt(s) = nil

использовать

дерево с

узлом-барьером

Алгоритмы метода открытой адресации

(последний пустой узел z, в который за-

if q = nil

сылается элемент для поиска x)

Function h(key) – хешфункция

function Locate(x: integer; T: Link):Link;

then bucket (i) = s

begin z^.elem:=x; while T^.elem<> x do if

h = key mod n

T^.elem> x then T:=T^. left else

else nxt(q) = s

T:=T^.right; Locate := T end;

return

endif

44.Разрешение коллизий при хеши-

Function

rh(i)

-

функцияповторногохе-

ровании методом цепочек. Алгорит-

search = s

ширования

мы

Метод представляет собой организацию

return

rh = i+1 mod n

связанного списка из всех записей, чьи

ключи хешируются в одно и то же значе-

Удаление узла из таблицы, которая по-

return

ние.

строена по методу цепочек, заключается

просто в исключении узла из связанного

Procedure insert(key) – процедуравстав-

Предположим, что хеш-функция выдает

списка. Удаленный узел никак не влияет

киключавхеш-таблицу

значения в диапазоне от 0 до n-1. Тогда

на эффективность алгоритма поиска.

описывается

некоторый

массив

bucket,

Алгоритм будет работать так, как если бы

i = h(key) {хешируемключ}

имеющий размер n и состоящий из узлов

этот узел никогда не вставлялся в табли-

заголовков. Элемент bucket (i) указывает

цу. Отметим, что эти списки могут быть

while ((k(i)<>key) and (k(i)<> nullkey ))

на список всех записей, чьи ключи хе-

динамически переупорядочены для по-

do

шируются в i. При поиске записи осуще-

лучения большей эффективности поиска.

ствляется доступ к заголовку списка,

i = rh(i) { повторное хеширование}

который занимает позицию i в массиве

Основным недостатком метода цепочек

узлов. Если запись не найдена, то она

является то, что для узлов указателей

if k(i) = nullkeythen {вставляем ключ в

вставляется в конец списка.

требуется дополнительное пространство.

пустую

позицию}

Однако в алгоритмах, которые использу-

Предположим, что имеется массив из 10

ют метод цепочек, первоначальный мас-

k(i) = key

элементов и что хеш-функция равна

сив меньше, чем в алгоритмах, которые

keymod 10. Ключи представлены в таком

используют повторное хеширование. Это

endwhile

порядке:

происходит из-за того, что при методе

75

66

42

192

91

40

49

87 67

цепочек не так катастрофично, если весь

return

16

417

130 372

227

массив становится заполненным. Всегда

имеется возможность выделить дополни-

Массив узлов заголовков с соответст-

тельные узлы и добавить их к различным

вующими односвязными списками

спискам. Конечно, если эти списки станут

Subroutine heshtable – функциясоздания-

очень длинными, то теряет смысл вся

хеш-таблицы

идея хеширования - прямая адресация и,