3) Точечные и интервальные оценки.

Различают точечные и интервальные оценки.

Точечная оценка характеристики генеральной совокупности - это число, определяемое по выборке. Точечные оценки получают обычно с помощью метода моментов и метода максимального правдоподобия.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами- границами интервала. Она позволяет ответить на вопрос: внутри какого интервала и с какой вероятностью находится неизвестное значение оцениваемого параметра генеральной совокупности.

Пусть точечная оценка параметраЧем меньше разностьитем точнее и лучше оценка. Обычно говорят о доверительной вероятности (надежности оценки)p=1-, с которой будет находиться в интервале, где: Δ(Δ >0) –предельная ошибка выборки, которая может быть либо задана наперёд, либо вычислена; α - риск или уровень значимости (вероятность того, что неравенство будет неверным). Оценка указанного доверительного интервала может быть получена (с наименьшей вероятностью) с помощью неравенства Чебышева (при). В качествепринимают значения 0,90; 0,95; 0,99; 0,999. Доверительная вероятность показывает, что в

(1-α)100% случаев оценка будет накрываться указанным интервалом.

Точечная оценка математического ожидания M(X)=a определяется как средняя арифметическая:

(10.3)

Точечная оценка вероятности p_i определяется как относительная частота:

. (10.4)

Лекция 2. Вопросы

Определение доверительного интервала для средней и доли при случайном и типическом отборе.

Определение необходимой численности выборки.

Для построения доверительного интервала параметра a – математического ожидания нормального распределения составляют выборочную характеристику (статистику), функционально зависимую от наблюдений и связанную с a, например, для повторного отбора:

. (10.5)

Статистика u распределена по нормальному закону распределения с математическим ожиданием a = 0 и средним квадратическим отклонением =1. Отсюда,

где Ф − функция Лапласа, u_α/2 − квантиль нормального закона распределения, соответствующая уровню значимости . Доверительный интервал для параметра а:

< a <, (10.6)

где - предельная ошибка выборочной средней.

Формулы предельной ошибки и необходимого объема выборки

для различных способов отбора В таблице:

1) t – квантиль распределения, соответствующая уровню значимости ,

а) при n30 t=u_/2 - квантиль нормального закона распределения (прил.1),

б) при n<30 t - квантиль распределения Стьюдента с ν=n-1 степенями свободы для двусторонней области (прил.3);

2) ² – выборочная дисперсия,

а) при n30 ,

б) при n<30 вместо ² берут ;

3) pq - дисперсия относительной частоты в схеме повторных независимых испытаний;

4) N - объем генеральной совокупности;

5) n - объем выборки;

6) - средняя арифметическая групповых дисперсий (внутригрупповая дисперсия);

Выборка

Собственно-случайная

Типическая

Серийная

повторная

бесповторная

повторная

бесповторная

повторная

Бесповторная

Предельная ошибка, 

средней,

доли,

Необходимая численность, n

средней,

доли,

7) - средняя арифметическая дисперсий групповых долей;

8) ²_м.с. - межсерийная дисперсия;

9) pq_м.с.- межсерийная дисперсия доли;

10) N_c - число серий в генеральной совокупности;11) n_c - число отобранных серий (объем выборки);12)  - предельная ошибка выборки (или).