3)Вероятность попадания двумерной случайной величины в полуполосу и прямоугольник.
Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник определяется, исходя из определения интегральной функции двумерной случайной величины (рис.1):
P
((x, y)
D) = F (,)
- F (,)
- F (,
)
+ F (,
)
(6.5)
Рис. 1. Вероятность попадания точки (х, y) в прямоугольник D
Случайные величины X, Y независимы, если F(x, y) = F1(x) F2(y).
4)Числовые характеристики системы двух случайных величин
Начальным моментом порядка s,h системы двух случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения степени s случайной величины Х и степени h случайной величины Y:
(6.6)
Центральным моментом порядка s, h систем двух случайных величин (X, Y) называется математическое ожидание произведения степеней s, h соответствующих центрированных случайных величин
(6.7)
где
=
X – M (X),
=
Y - M (Y)-центрированные случайные величины
X и Y.
Основным моментом
порядка s,
h
систем двух случайных величин (X,Y)
называется нормированный центральный
момент порядка s,
.
(6.8)
Начальные моменты 1,0, 0,1:
1,0
= M
(
)=M
(X);
0,1
= M
(
) = M
(Y).
(6.10)
Вторые центральные моменты:
Характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси 0X.
(6.11)
Характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси 0Y.
Особую роль в качестве характеристики совместной вариации случайных величин X и Y играет второй смешанный центральный момент, который называется корреляционным моментом (ковариацией):
μ1,1=M(
)=К(X,Y)=cov(X,
Y)=M(XY) - M(X)M(Y). (6.12)
Корреляционный момент является мерой связи случайных величин.
Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание ХУ равно произведению их математических ожиданий:
M (XY)= M (X) M (Y), отсюда cov (X,Y)=0.
Если ковариация случайных величин не равна нулю, то случайные величины коррелированны. Ковариация может принимать значения на всей числовой оси, поэтому в качестве меры связи используют основной момент порядка s=1, h=1,который называют коэффициентом корреляции:
rxy=
,
(6.13)
где
,
.
Коэффициент корреляции служит мерой линейной зависимости между случайными величинами.
Свойства коэффициента корреляции:
1. -1
rxy
1;
2. Если rxy
=
1,
то случайные величины линейно зависимы;
3. Если rxy = 0, то случайные величины не коррелированны, что не означает их независимости вообще.
Замечание. Если случайные величины Х и Y подчиняются нормальному закону распределения, то некоррелированность СВ Х и Y означает их независимость.
Первые моменты:
а) для дискретных СВ: б) для непрерывных СВ:
|
M
(X)=
M(Y)=
D(Y)= K(X,Y)= |
M(X)= D(X)=
D(X)=
K(X,Y)=
|
,
,
D(X)=
,
,
;
,
M(Y)=
,
,
,
.