22.Ряд распр. Дискретной случайной вел-ны
Появление
тех или иных знач. случайной вел-ны
(с.в.) можно рассм. как соб., а различным
соб. соотв. различные вер-ти. Поэтому
возм. знач. с.в. различаются между собой
с вер-ной т. зр. Перечисление всех возм.
знач. с.в. не дает достаточно полного
представл. о ней. Кроме знач. с.в.
необходимо знать, как часто м. появляться
те или иные знач. с.в. в рез-те исп-ний,
проводящихся в одинаковых условиях.
Рассмотрим дискретную с.в. X,
возм. знач. кот. х1,х2
….. хn.
Каждое из этих знач. возможно, но не
достоверно, и с.в. X
м. принять каждое из них с некоторой
вер. В рез-те опыта вел. X
примет одно их этих знач.:
,
т.е. произойдет одно из полной группы
несовместн. событие. Обозначим вер.
этих соб.:
Т.к.
указ. соб. несовместны и образуют полную
группу, то
,
т.е. сумма вер. всех возм. знач. = 1. Если
мн-во знач. с.в. образует бесконечное,
но счетное мн-во, то ряд
сходится
и его сумма = 1. Т.о. суммарная вер. единицы
распределена между отд. знач. с.в. С.в.
будет полностью описана с вер. т. зр.,
если мы зададим это распр., т.е. в точности
укажем, какой вер. обладает каждое из
соб.Опр.:
Законом распр. СВ называется всякое
соотношение, устанавливающее связь
между возм. знач-ми СВ и соотв. им вер-ми.
Закон распр. м. задать табличным, графич.
или аналит. способами. При табл. способе
1-ая строка табл. содержит возм. значение
СВ, а 2-ая - соотв. вер-ти. Обычно знач.
СВ располагают в возраст. порядке. Чтобы
придать ряду распр. более нагляднй вид
часто прибегают к его граф. изображению.
По оси абсцисс откладывают возм. знач.
СВ, а по оси ординат вер-ти этих знач..
Получ. точки соединяют отрезками прямых.
Получ. фигуру называют многоугольником.
распр. Он полностью характеризует СВ
и является одной из форм закона распр.
Замечание:
Ряд р. и многоуг. р. можно построить
только для дискретной СВ
23.Функция распр. Св и ее свойства
Ряд
распр. не явл. исчерпыв. хар-кой для СВ,
т.к. он сущ-ет только для дискретн. СВ.
Непрерывная СВ(НСВ) имеет бесчисленное
мн-во возм. знач., сплошь заполняющ.
некот. промежуток. Составить табл., в
кот. были бы перечислены все возм. знач.
СВ невозможно. Кроме того в дальнейшем
будет показано, что каждое отд. знач.
обладает нулевой вер. Однако несмотря
на рав-во 0-вых вер. отд. знач. НСВ,
нахождение ее возм. знач. в разл.
интервалах обладает разл. и отличными
от 0 вер. Т.о. для НСВ, так же как и для
ДСВ, можно определить закон распр., но
в неск-ко ином виде. Для хар-ки поведения
НСВ целесообразно использовать не вер.
события X=x,
а вер. соб. X<x,
где x
– некот. действит. число. Вер. P(X<x) явл.
функцией аргумента x.
Будем обозначать эту ф-цию. F(x).
Опр.:
Ф-цией распр. СВ X - ф-ция F(x),
задающая вер. того, что СВ X принимает
значение меньшее x,
т.е. F(x)=P(X<x).
Ф-ция. распр. F(x)
назыв. также интегр. ф-цией распр. или
интегр. законом распр. Ф-ция распр.
существует для всех СВ(как дискр., так
и непрерывн.).Она полностью хар-ет СВ с
вер. т. зр., т.е. является одной из форм
закона распр. Ф-ция распр. допускает
простую геом. интерпретацию. Рассмотрим
СВ X
как случ. точку на оси OX,
кот. в рез-те опыта м. занять то или иное
положение. Пусть на оси OX
выбрана конкр. точка x,
тогда в рез-те опыта случ. точка X
м. оказаться левее или правее точки x.
Вер. того, что случ. точка X
оказалась левее точки x
и будет являться ф-цией. распр., зависит
от положения точки x.
(рисунок). Для ДСВ, кот. может принимать
значение х1,х2
….. хn
,
ф-ция. распр. имеет вид
,
где нер-во
означает, что суммирование касается
всех тех знач. хi,
вел-на кот. <x.
Поясним эту формулу исходя из аргумента
F(x).
Предположим, аргумент x
принял какое-то опр. знач., но такое, что
выполняется нер-во
,
тогда левее числаx
на числ. оси окажутся только те знач.
СВ, кот. имеют индекс 1,2,3…,i.
Поэтому нер-во X<x
выполняется, если вел-на. X
примет знач. хk,
где k=1,2,3…,i.
Т.о. соб. X<x
наступит, если наступит любое из соб.
,
,…,
.
Т.к. эти соб. несовмест., то по теор. слож.
вер.P(X<x)=
+
+…+
=
.
Построим ряд распр. ДСВ Х:
|
Х |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn |
|
p |
p1 |
p2 |
… |
pi |
… |
pn |
При
,F(x)=
=0;
При
,F(x)=
=
;
при
,F(x)=
=
=
;
при
,F(x)=
=
+
;
при
,F(x)=
=
+…+
=
;
при
,F(x)=
+…+
=
.
Для ДСВ график ф-ции распр. представляет
собой разрывную ступенчатую фигуру.
(нарисовать). Когда перемен. х проходит
через какое-ниб. из возм. знач. СВ, знач.
Ф-ции распр. меняется скачкообразно,т.е.
ф-ция имеет скачок в тех точках, в кот.
СВ принимает конкр. знач. согласно ряду
распр., причем вел-на скачка равна вер.
этого знач..Замечание:
По ф-ции распр. ДСВ всегда м. восстановить
ее ряд распр. Св-ва
ф-ции распр.:
1) если F(x)
–ф-ция распр. СВ Х, то
для всех х. Это св-во вытекает из опр.
Ф-ции распр.; 2)F(x)
явл. неубывающей, т.е.
при
,
.Док-во:
Пусть
- точки числ. оси, причем
.
Покажем, что
.
Рассмотрим 2 несовмест. соб.: соб. А
состоит в том, что
,
а соб. В сост. в том, что
.
Тогда соб. А+В =
.
По теор. слож. вер.P(A+B)=P(A)+P(B)
или P(X<
)=P(X<
)+P(
).
Используя опр. ф-ции распр. получаемF(х2)=F(х2)+
P(
).
Т.к. вер. того, что (
)
0,
тоF(х2)
F(х1),
т.е. F(x)
– неубыв. ф-ция; 3) если F(x)
– ф-ция распр., то
=0,
=1.Док-во:
Т.к. F(x)
– монот. Ф-ция и ограниченная (из св-ва
1), то
сущ-ет. В силу предполагаемой непрерывностиF(x)
можно записать, что
=
=
.
Т.к. соб.
невозможное, то его вер.=0. Значит
=0.
Аналогично
=
=
.
Соб.
- достоверное, а его вер. =1. Значит
=1.