- •1.Понятие испытания. Простр-во элементарных событий.
- •3.Классическое определение вероятности.
- •4. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.
- •5.Статистическая вероятность.
- •6.Геометрическая вер.
- •7.Вычисление вер. С использованием комбинаторных схем
- •9.Понятие вероятностного пространства
- •12.Условная вер.. Теорема умножения вер..
- •13.Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
- •14.Вер. Появления хотя бы одного события
- •15.Формула полной вероятности
- •16.Формула Байеса
- •18.Наивероятнейшее число появления событий в последовательности независимых испытаний
- •19.Формула Пуассона
- •22.Ряд распр. Дискретной случайной вел-ны
- •23.Функция распр. Св и ее свойства
- •24. Плотность распр. Вер. Непрерывной св и ее св-ва.
- •25. Мат. Ожидание дсв и нсв. Св-ва мат. Ожидания.
- •29.Начальные и центральные моменты случ. Величин.
- •30. Биномиальный закон распределения.
- •33. Закон Пуассона
- •35. Показательное распределение.
- •38. Понятие закона больших чисел.
- •39. Неравенство Чебышева.
- •40. Теорема Чебышева.
- •45. Эмпирическая ф-ция распределения и ее св-ва.
- •46. Числовые хар-ки выборочного распр.: выборочное среднее, выборочная дисперсия, медиана, ассиметрия, эксцесс, выборочные моменты.
- •48. Интервальные оценки параметров распр.. Доверительный интервал.
- •50. Описание гипотез. Простые и сложные гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы.
- •51. Критерии проверки статистических гипотез.
- •52. Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.
- •17. Независимые испытания. Формула Бернулли
12.Условная вер.. Теорема умножения вер..
Соб. А называется независимым от события В, если Р(А) не зависит от того, произошло соб. В или нет. Соб. А называется зависимым от соб. В, если Р(А) меняется в зависимости от того, произошло соб. В или нет. Опр.: Вер. соб. А, вычисленная при условии, что имело место другое соб. В, называется условной вер.ю (у.в.) события и обозначается PВ(A) или P(A\B). Условие независимости соб. А от соб. В можно записать в виде PВ(A)=P(A). Условие зависимости соб.: PB(A)≠P(A). Теорема: Вер. произведения 2-ух событий равна произведению вер. одного из них на у.в. другого, вычисленную при условии, что 1-ая имела место, т.е. P(AB)=P(A) * PA(B). Док-во: Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям. Предположим, что соб. А благоприятствует m случаев, а соб. В – k случаев. Т.к. мы не предполагали соб. А и В несовместными, то существуют случаи благоприяттвующие и соб. А, и соб. В одновременно. Пусть число таких случаев l(эль), тогда вер. соб. АВ будет равна l/n, а P(A)=m/n. Вычислим у.в. соб. В в предположении, что соб. А имело место. Если известно, что соб. А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m случаев, кот. благоприятствовали соб. А, а из них только l случаев благоприятствуют соб. В, поэтому PA(B)= l/m. Подставляя в выражения вер. соб. АВ, вер. событ. А и у.в. соб. В, получаем тождество.
Замечание: При применении теоремы безразлично, какое из соб. А и В считать 1-ым, а какое 2-ым, т.е. P(AB)= P(A)* PA(B)= P(B) * PB(A)
13.Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
Опр: 2 события назыв. независимыми, если появление любого из них не изменит вер. появления другого, т.е. P(A)=PB(A) или P(B)=PA(B). Теорема: Вер. совместного появления 2-ух независимых событий равна произведению их вер-тей, т.е. P(AB)= P(A)*P(B). Док-во: Т.к. соб. А и В независимы, то должно выполняться равенство P(B)=PA(B). Тогда по теореме умножения вер-тей P(AB)=P(A)*PA(B)= P(A)*P(B). Следствие: Если соб. А и В независимы, то независимы и соб. А и .Следствие 2: Если 2 события независимы, то независимы и противоположные им события. Теорема: Вер. совместного наступления конечного числа соб. равна произведению вер. одного из них на условные вероятности (у.в.) всех остальных. Причем у.в. каждого последующего соб. вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е. P(A1*A2*…An)=P(A1)*PA1(A2) *, где- у.в. соб. Аn , вычисленная в предположении, что соб. А1, А2… Аn-1 произошли. Опр.: Соб. называются независимыми в совокупности, если наряду с их попарной независимостью независимо любое из них и произведение любого числа из остальных. В противном случае события назыв. зависимыми. Теорема: Вер. совместного появления нескольких соб. независимых в совокупности равна произвед. вер-тей этих соб., т.е. P(A1*A2*…An)=P(A1) *P(A2) *…*P(An).
14.Вер. Появления хотя бы одного события
Пусть в рез-те испытания могут появиться n событий, независимых в сов-сти, либо некоторые из них. Причем вер-ти появления каждого из соб. известны. Как найти вер. того, что наступит хотя бы одно из них? Теорема: Вер. появления хотя бы одного из событий А1, А2…Аn, независимых в сов-сти равна разности между 1 и произведением вер-тей противоположных соб. , т.е.P(A1+A2+…+An)=1— P().Док-во: Соб. (ни одно соб. не произошло) и соб.A1+A2+…+An противоположны, значит P(A1+A2+…+An)+P()=1.Отсюда P(A1+A2+…+An)=1- P()=1-P()(последнее действие - по теореме умножения вер-тей).Частный случай: Если событ. А1, А2…Аn имеют одинаковую вер. p, то вер.. появления хотя бы 1 из этих соб. вычисляется по формуле 1- qn, где q=1-p.