43.Признак сравнения.

Пусть для двух рядов си неотрицательными членами (1)и(2)выполняется неравенствоab для всех n. Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а расходимость ряда (1) влечет за собой расходимость ряда (2)

Доказательство: Пусть Sn и Sn’ частичные суммы соответственно рядов 1 и 2. Из условия теоремы следует, что SnSn’ Если ряд 2 сходится, то по теореме о необходимом и достаточном условии сходимости ряда последовательность {Sn’} ограничена, значит, монотонная последовательность {Sn} также ограничесна, т.е. она также сходится. Если ряд 1 расходится, то ряд 2 не может сходиться, иначе в силу первой части доказательства будет сходится и ряд 1. ч.т.д.

Замечание: для того, чтобы проверить сходимость-расходимость числового ряда его надо сравнить с заведомо сходящимся рядом *например бесконечно убывающей геометрической прогрессией) или заведомо расходящимся (например с грамоническим рядом или бесконечной программой с q>1)

44.Признак Даламбера.

Пусть дан ряд a_n (111) с положительными членами и существует

n=1

предел lim ((a_n+1)/(a_n))=. Тогда:

n

а) при <1 ряд сходится; б) при >1 ряд расходится.

Док-во: а) Пусть <1 и lim ((a_n+1)/(a_n))=. Докажем, что ряд (111)

n

сходится. .По определению предела числовой последовательности для любого >0 существует номер N такой, что при nN выполняется неравенство (a_n+1)/(a_n) - < . Отсюда следует, что -< (a_n+1)/(a_n)<+ (1). Т. к. <1, то  можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство +<1. Полагая += q, на основании правого из неравенств (1) имеем (a_n+1)/(a_n)<q, или a_n+1 < a_nq для n=N, N+1, N+2… (2) Придавая n эти значения, из последнего неравенства получаем a_N+1<a_Nq, a_N+2<a_N+1q< a_Nq², a_N+3<a_N+2q< a_Nq³, …….., т.е. члены ряда a_N+1+a_N+2+ a_N+3+… меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии: a_Nq+ a_Nq²+ a_Nq³+… (3). Так как q<1 , то ряд (3) сходится. Но ряд (2) получен из данного ряда (111 ) в результате отбрасывания конечного числа первых членов, след-но, по теореме о свойстве сходящихся рядов ряд (111) сходится.

б) Пусть теперь >1. Докажем, что ряд (111) расходится. Возьмём  настолько малым, чтобы -<1. Тогда при nN в силу левого из неравенств (1) выполняется неравенство (a_n+1)/(a_n)>1 или a_n+1> a_n. Таким образом, члены ряда , начиная с некоторого номера N , возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда a_n не стремится к нулю при n. Следовательно, по теореме о необходимом условии сходимости ряда, ряд (111) сходится.

Замечание. При =1, как показывают примеры, ряд (111) может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью др. признаков.

45. Интегральный признак Коши. 

Пусть дан ряд f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)+…= f(n)

n+1 (222) , члены которого являются значениями некоторой функции f(x , положительной, непрерывной и убывающей на +

полуинтервале [1, +). Тогда, если  f(x)dx (333) сходится, то сходится и

1

ряд (222).Если же (333)расходится , то и ряд (222) также расходится.

Док-во: Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), с боковых сторон прямыми x=1, x=n, снизу осью Ох. Впишем в эту трапецию и опишем около нее две ступенчатые фигуры, состоящие из прямоугольников с основаниями [1,2], [2,3],…, [n-1,n] и высотами f(1), f(2), f(3),…, f(n-1), f(n). Тогда, принимая во внимание геометрический смысл определённого интеграла, имеем

n

f(2)+f(3)+…+f(n)<f(x)dx (444)<f(1)+f(2)+…+f(n-1) , или, короче,

n 1

S_n-f(1)<f(x)dx<S_n-f(n).

1 n n

Отсюда получаем: S_n<f(1) + f(x)dx (1), S_n>f(n) + f(x)dx (2) ,где S_n –

1 1

частичные суммы рассматриваемого ряда. Пусть интеграл (444) сходится. Это значит, что существует lim (444)=I.

n Так как f(x)>0, то последовательность (444) возрастает с увеличением n и ограничена сверху своим пределом: (444)<I. Из неравенства (1) следует , что S_n<f(1) + I, т.е. последовательность частичных сумм {S_n} ряда (222) ограничена. По теореме о необходимом и достаточном условиях сходимости ряда с неотрицательными членами ряд (222) сходится.

Пусть теперь интеграл (333) расходится. В этом случае (444)+ при n (как монотонно возрастающая неограниченная последовательность). Из неравенства (2) следует, что S_n+ при n, т.е. последовательность частичных сумм {S_n} ряда (222) расходится и, следовательно, ряд расходится.

45. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)ⁿ⁺¹a_n+…, (1) где a_n>0. Признак сходимости Лейбница: теорема: Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают: a₁>a₂>a₃>…и общий член ряда стремится к нулю: lim a_n = 0, то ряд сходится.

n

Док-во: Пусть дан ряд (1) и пусть a_n>a_n+1 и a0 при n. Рассмотрим частичную сумму ряда с чётным числом членов S_2n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2n-1-a_2n=(a₁-a₂)+(a₃-a₄)+…+(a_2n-1-a_2n). Все разности в скобках в силу первого условия положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S_2n}является возрастающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим S_2n в виде

S_2n=a₁-[(a₂-a₃)+(a₄-a₅)+…+(a_2n-2-a_2n-1)+a_2n]. Отсюда следует, что S_2n<a₁ для любого n, т.е. {S_2n} ограничена. Итак, последовательность {S_2n} возрастающая и ограниченна, следовательно, она имеет предел lim S_2n=S.

n

Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм нечётного числа членов сходится у тому же пределу S. Действительно, S_2n+1=S_2n+a_2n+1. Переходя в этом равенстве к пределу при n и используя второе условие (a_n0 при n) , получаем:

lim S_2n+1 = lim (S_2n + a_2n+1) = lim S_2n + lim a_{2 +1} = S + 0 = S.

n n n n

Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (1) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (1) сходится.

45. Знакопеременные ряды, их сходимость.

Знакопеременный ряд: a₁ + a₂ +a₃+…+a_n+…= a_n (1), где числа а₁…могут быть как

n=1

положительными, так и отрицательными, причём расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассматривается ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):



а₁+а₂+а₃+…+а_n+…=а_n (2).Такой признак сходимости – теорема:

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Док-во: пусть ряд (2) сходится. Обозначим через S_n частичную сумму ряда (1), а через _n частичную сумму ряда (2): S_n= a₁ + a₂ +a₃+…+a_n; _n =а₁+а₂+а₃+…+а_n.Так как ряд (2) сходится, то последовательность его частичных сумм {_n} имеет предел lim _n=, при этом для любого n имеет место неравенство _n  (3), поскольку члены ряда (2) неотрицательны.

Обозначим через S’_n сумму положительных членов, а через S’’_n сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме S_n . Тогда: S_n = S’_n - S’’_n(4), _n = S’_n + S’’_n (5). Очевидно, последовательности { S’_n } и { S’’_n } не убывают, а из равенства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограниченными: S’_n _n  и S’’_n _n . Следовательно, существуют lim S’_n = S’ и lim S’’_n = S’’. Но в таком случае, в

n n

силу равенства (4), последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел :

lim S_n = lim ( S’_n - S’’_n)= lim S’_n - lim S’’_n = S’_n – S’’_n.

n n n n

Это означает, что ряд (1) сходится.