Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

termex / Theoretical_Mechanics_part_01_05

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

241.55 Кб

Скачать

☆

Кинематика

Краткий курс Теоретической Механики

§5. Движение твердого тела около неподвижной точки

5.1.Теорема Эйлера-Даламбера.

Всякое перемещение твердого тела около неподвижной точки можно получить одним только поворотом тела вокруг определенной оси, неизменно связанной с телом, проходящей через эту точку и называемой осью конечного вращения.

Положение АТТ в пространстве определяется положением любых трех его точек, не лежащих на одной прямой. Если точка O неподвижна, то положение тела определится положением любых двух других точек, не лежащих на одной прямой с точкой O .

B	A1

C	B1
	D

(б

B	A1

O B1

Опишем из неподвижной точки O , как из центра, сферу произвольного радиуса и на этой сфере возьмем две точки

A	и B .	Тогда положение АТТ можно однозначно
определить		положением	дуги AB	большого	круга
рассматриваемой сферы (рис. а).
	Пусть тело переместилось так, что			дуга AB	заняла
положение		A1B1 . Тогда,	соединим точки A и A1 , B и
B1	дугами большого круга и восставим из середины этих
дуг	C и D сферические перпендикуляры (т.е. проведем
через точки		C и D дуги больших кругов, пересекающих
ортогонально дуги AA1 и BB1 ).

Получим в пересечении этих кругов на сфере точку O1 , которая будет равноудалена от точек A и A1 , B и B1 .

Второй точкой пересечения кругов будет точка O2 .

При таком построении сферические треугольники ABO1 и A1B1O1 будут равными (см. рис. б).

Прямая O1O2 , проходящая через точки O1 , O и O2

будет осью вращения. Так повернув тело вокруг этой оси на угол AO1 A1 = BO1B1 , мы сможем совместить дугу

AB с дугой A1B1 .

Следовательно, перемещение тела из положения, определяемого дугой AB , в положение определяемое дугой A1B1 , получается одним поворотом вокруг оси O1O .

5.2. Геометрическая картина движения.

Движение АТТ около неподвижной точки можно рассматривать как непрерывную последовательность элементарных перемещений.

По теореме Эйлера-Даламбера всякое такое элементарное перемещение можно осуществить одним только поворотом на элементарный угол вокруг мгновенной оси вращения, неизменно связанной с телом и проходящей через неподвижную точку.

Таким образом, рассматриваемое движение можно представить как непрерывную последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через неподвижную точку O .

Геометрическое место мгновенных осей вращения при движении тела образует в пространстве, связанном с неподвижной системой отсчета, конус, называемый неподвижным аксоидом. Кроме того, мгновенная ось вращения при движении тела изменяет свое положение и в самом теле (в пространстве, связанном с телом). Эта коническая поверхность, образуемая семейством мгновенных осей вращения в пространстве, связанном с движущимся телом, называется подвижным аксоидом.

Подвижный и неподвижный аксоиды имеют общую вершину в неподвижной точке O , и в каждый момент времени мгновенная ось вращения будет их общей образующей. Таким образом, подвижный аксоид при движении тела будет катиться без скольжения по неподвижному аксоиду.

5.3. Мгновенные угловая скорость и мгновенное угловое

ускорение тела.

Угловая скорость ω, с которой происходит

элементарный поворот тела вокруг мгновенной оси вращения, называется мгновенной угловой скоростью или угловой скоростью тела в данный момент времени.

Вектор ω направлен вдоль мгновенной оси вращения и может быть приложен в любой ее точке, в частности в точке

O , общей для всех мгновенных осей.

При движении тела вектор

ω изменяется со временем,

как по величине,

так

по

направлению, т.е.

ω(t) = ωo (t) ω(t) ,

где

ωo (t)

–

единичный вектор

мгновенной оси вращения.

Производная от ω(t) по времени определяет вектор

dω(t)

ε(t) =

(ω ωo )=

(5.1)

dtr

dω

= ω

ω = ε

+ ε

23 марта 2007 г.

Кинематика

Краткий курс Теоретической Механики

называемый мгновенным угловым ускорением или угловым

dω

ускорением тела в данный момент времени.

× r

+ ω×

(5.4)

Направление

вектора

совпадает

направлением

касательной к годографу вектора

ω в точке

Ω . Вектор ε

= ε × r

+ ω× v

= ε × r + ω×

(ω× r).

будем также изображать отложенным от центра

O .

Как

Воспользовавшись формулой

видно

из

(5.1)

мгновенное

угловое

ускорение

− ω

2 r

представимо в виде суммы двух компонент.

ω×

(ω×r) = ω (ω r)

получим

(5.5)

w = ε × r

+ ω

(ω r)

− ω2r .

wос

hε

Mε

Первая из них

ε1 = ωo

ω – направлена по мгновенной

wвр

оси и характеризует изменение угловой скорости тела по

величине.

При

этом

когда

что

Здесь уже ω не перпендикулярно к

r , как это было в

ε1

↑↑ ω

ω > 0 ,

соответствует

ускоренному

движению

АТТ

около

случае плоского движения АТТ, и поэтому (ω r) ≠ 0 .

когда

что

Выражению (5.5) можно придать форму Ривальса. Для

неподвижной точки, и ε1

↑↓ ω

ω < 0 ,

соответствует замедленному движению.

этого воспользуемся формулой

ω = ωo ω и преобразуем

Вторая составляющая мгновенного углового ускорения

тройное векторное произведение:

– характеризует изменение угловой скорости по

ε2

= ω ωo

= ω2

направлению. Обозначим через ωω – угловую скорость

ω× (ω× r)

[ωo

× (ωo

× r)]

[ωo

(ωo

r) − r] .

Заметим, что (ωo r) = rω – есть проекция вектора r

на

вращения вектора ωo

(т.е. угловую

скорость вращения

самой мгновенной оси вращения).

направление вектора ω, поэтому

и вторая составляющая

ε будет

Тогда ω

= ω

× ω

h ,

выражаться

ε2 = ωω × ω.

Очевидно,

что

ω×

(ω× r) = ω

[ωo

rω − r] = ω

[rω

− r] = ω

формулой

где

–

вектор,

равный разности векторов

ωo rω и r , и

ε1 ε2 ,

поэтому для

величины

мгновенного

углового

направленный к мгновенной оси вращения.

ускорения имеем ε =

ε12 + ε22 .

Окончательное выражение ускорения по Ривальсу будет

2 r

rвр

rос

(5.6)

5.4. Скорости и ускорения точек АТТ, движущегося

= ε ×r

+ ω

h = w

+ w

2 r

около неподвижной точки.

Вектор

ос

направленный

от

точки

M к

По аналогии с плоскопараллельным движением

= ω

h ,

мгновенной оси вращения, называется осестремительным

распределение скоростей всех точек тела будет в данный

компонентом ускорения точки M .

момент

времени

таким

же, как

если бы

мгновенная

ось

Вектор

называют

вращательным

вращения была неподвижной. Следовательно, скорость

wвр = ε ×r

любой точки тела в данный момент времени определяется

компонентом ускорения точки M .

формулой Эйлера

Если угловое ускорение задано в виде

ε = ε1 + ε2 ,

то

вращательное ускорение определяется формулой

(5.2)

= ω×r

wвр = ε × r

+ ε

× r

= wвр

+ wвр .

где

r – радиус-вектор, проведенный из центраr O в точку

Модуль вращательного ускорения wвр = ε h , где h

–

M тела, а (ωx, ωy, ωz )

– проекции вектора ω на какую-

кратчайшее расстояние от точки тела

M до оси вектора

нибудь систему координатных осей, проведенных из точки

углового ускорения ε , т.е. до точки Mε .

O , (x, y, z)

– координаты точки M в этой системе осей.

Для произвольной точки тела, вращающегося

Для проекций вектора скорости имеем из (5.2)

относительно неподвижного центра O ,

вообще

говоря,

выражения

осестремительное и вращательное ускорения не взаимно

vx = ωyz − ωzy,

vy = ωzx − ωxz,

vz = ωxy − ωyx.

(5.3)

перпендикулярны. Однако существуют такие точки АТТ,

для которых эти ускорения в данный момент времени

Для определения вектора ускорения точки M твердого

перпендикулярны. Геометрическим местом этих точек

является плоскость в твердом теле, проходящая через

тела, движущегося около неподвижной точки

O ,

векторы ω и ε .

продифференцируем по времени обе части равенства (5.2):

23 марта 2007 г.

Соседние файлы в папке termex

#
20.05.2015280.9 Кб8Theoretical_Mechanics_part_01_01 .pdf
#
20.05.2015297.01 Кб8Theoretical_Mechanics_part_01_02 .pdf
#
20.05.2015308.6 Кб5Theoretical_Mechanics_part_01_03 .pdf
#
20.05.2015381.3 Кб6Theoretical_Mechanics_part_01_04 .pdf
#
20.05.2015241.55 Кб6Theoretical_Mechanics_part_01_05 .pdf
#
20.05.2015276.15 Кб6Theoretical_Mechanics_part_01_06 .pdf
#
20.05.2015284.81 Кб8Theoretical_Mechanics_part_01_07 .pdf
#
20.05.2015285.59 Кб6Theoretical_Mechanics_part_01_08 .pdf
#
20.05.2015273.82 Кб6Theoretical_Mechanics_part_02_01 .pdf
#
20.05.2015247.78 Кб6Theoretical_Mechanics_part_02_02 .pdf