Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

termex / Theoretical_Mechanics_part_01_02

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
297.01 Кб
Скачать

Кинематика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Краткий курс Теоретической Механики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

§2. Криволинейное движение точки

 

 

 

 

 

 

|

vr |

 

= | rr&

|

= |

s& | .

 

 

 

 

 

 

(2.5)

2.1.

Закон движения.

Если

траектория

движущейся

Заметим,

 

что

 

 

равенство

 

 

v = s&

определяет

точки относительно выбранной системы отсчета есть кривая

 

 

 

 

 

алгебраическую величину скорости (проекцию вектора v

линия, то движение называется криволинейным, а его закон

на касательную

τ, проведенную в точке

M траектории в

выражается либо векторным уравнением

 

 

 

 

 

 

 

 

сторону положительного отсчета расстояния s ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r = r(t) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражая радиус-вектор r

через его проекции на оси

либо равносильными ему тремя скалярными уравнениями

декартовой системы координат Oxyz , получим выражение

проекций точки на оси координат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скорости точки через ее проекции на те же оси:

 

 

 

 

 

 

x = f1(t),

y = f2 (t),

z = f3 (t) .

 

 

 

(2.2)

 

 

 

r

=

drr

=

dx r

 

+

dy r

 

dz r

 

 

 

(2.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

dt

 

 

i

 

dt

j +

 

k ,

 

 

Если

r

= const ,

то

точка

находится

относительно

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

r

где проекции вектора

скорости

равны

производным

от

данной системы отсчета в покое. Если

же точка

M

координат точки по времени:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

совершает движение по отношению к телу отсчета, то ее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

радиус-вектор r изменяется со временем t

и по величине,

v

 

= dx

= x&,

v

 

= dy

= y&,

v = dz = z&.

(2.7)

и по направлению, и своим концом описывает траекторию

x

 

dt

 

 

 

 

y

dt

 

 

 

 

z

dt

 

 

 

точки, которая называется годографом вектора r .

 

 

 

 

Отсюда для величины вектора скорости имеем:

 

 

 

Равенства (2.2) являются одновременно и законами

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

движения

точки,

 

и

уравнениями

 

ее

траектории

в

 

= v =

 

2

 

 

2

 

2

=

 

& 2

 

&

2

&

2

(2.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| v |

 

v

+ v

 

+ v

 

 

 

(x)

 

+ (y)

 

+ (z) .

параметрической форме (параметром является время t ).

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для направляющих косинусов вектора

запишем:

 

 

2.2. Скорость в криволинейном движении.

Пусть в

v

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

v

 

 

 

r

 

 

 

некоторый

момент

времени

 

t

положение

точки

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

(2.9)

 

cos(vr,i ) = vx ,

 

cos(vr, j )

 

y

cos(vr,k) = vz .

определяется радиус-вектором r , а в момент времени t

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

v

 

 

радиус-вектором r′ = r +

r .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, если движение точки задано

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координатным

способом,

т.е.

 

уравнениями

(2.2),

 

то

 

 

 

 

M

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формулы

 

(2.7)–(2.9)

позволяют

вычислить

скорость

этой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точки в любой момент времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Разложение вектора скорости на радиальную и

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

трансверсальную

 

составляющие.

Представим

радиус-

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

v*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вектор r

точки в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r(t) = r(t) ro(t) ,

 

 

 

 

 

(2.10)

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ro (t)

есть единичный вектор по направлению r .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцируя (2.10) по времени t , получим:

 

 

Тогда перемещение точки M за промежуток времени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

t = t′ −t есть вектор MM′ = rr′ − rr =

rr .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vr = dr = dr rro + r

dro .

 

 

(2.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

Величина v* , равная отношению

перемещения

 

r

Скорость точки, как это видно из (2.11), состоит из двух

точки M к соответствующему промежутку времени

t

 

слагаемых. Первое из них имеет то же направление, что и

 

 

 

 

vr*

 

r

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

радиус-вектор r , и характеризует изменение r

 

по

 

 

 

 

= r′ − r

=

r

 

 

 

 

 

 

 

(2.3)

величине.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t′ − t

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

называется

 

средней

скоростью

точки.

Следовательно,

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

средняя скорость точки есть вектор, направленный по хорде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MMв сторону движения.

 

 

 

 

 

момент

времени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скорость точки M в данный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определяется как

предел,

к

которому

стремится

средняя

 

 

 

 

 

vp

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

ro

 

 

 

 

скорость при

t → 0 , т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rr

 

 

 

 

 

drr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vr

 

 

 

 

 

 

ro

 

 

r

 

 

MM

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ϕ

 

 

lim

 

=

lim

 

или

=

 

 

(2.4)

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v =

 

t

 

 

v

dt

= r& .

 

 

po

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t→0

 

t

→0 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ro

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ro

 

 

Скорость

точки

M есть

векторная

величина,

равная

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

первой производной по времени ее радиус-вектора

r . Так

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

как при

t → 0 направление вектора

r

t

совпадает с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направлением касательной к траектории (предельное

Чтобы выяснить смысл второго слагаемого в (2.11),

положение секущей), то скорость точки в данный момент

заметим,

 

что

|

rr

| = 2 | rr

 

| sin( ϕ 2) ≈

 

ϕ , где ϕ

времени направлена по касательной к ее траектории.

 

 

 

 

o

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| drro | = dϕ,

 

Поскольку

 

| drr | = |

ds |

,

где

ds

есть

элемент

дуги

угол поворота вектора ro . Следовательно

 

и

траектории, то модуль скорости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

модуль второго слагаемого будет |

drro

dt | = dϕ dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Направление

 

этого

 

слагаемого

перпендикулярно

к

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25 февраля 2007 г.

Кинематика

Краткий курс Теоретической Механики

5

направлению ro , т.к. направление дифференциала

единичного вектора перпендикулярно к направлению самого вектора, т.е. dro ro .

Тогда

 

drro

&

r

 

r

 

= r ϕ

po ,

(2.12)

dt

 

 

 

 

где po – единичный

вектор,

всегда

направленный

перпендикулярно к вектору ro .

Таким образом, второе слагаемое уравнения (2.11) представляет изменение вектора r по направлению. Окончательное выражение скорости будет

vr = vrr + vrp

=

dr

rro

+ r

dϕ

pro .

(2.13)

 

 

 

 

dt

 

dt

 

Первое слагаемое

v

= r& r

называется

радиальной

 

r

 

o

 

 

 

= r ϕ po

составляющей, а второе

слагаемое – vp

 

 

 

 

 

 

 

&

трансверсальной составляющей вектора скорости v . Модуль скорости найдется из равенства

v =

2

2

=

& 2

&

2

.

(2.14)

vr

+ vp

(r)

+ (r ϕ)

 

2.4. Ускорение точки в криволинейном движении.

Пусть точка, двигаясь по закону (2.1), в момент времени t находится в положении M и имеет скорость v , а в момент

t +

t приходит в

положение

M

со скоростью

v′ = v(t +

t) .

 

 

 

v.

Построим в точке

M вектор, равный вектору скорости

Тогда

v = v′ − v

есть приращение вектора скорости

точки M за промежуток времени

t .

 

 

Разделив приращение вектора скорости

v на величину

отрезка

времени

t , за который это приращение

произошло, получим вектор

 

 

 

 

 

w* = v t ,

 

(2.15)

который называется средним ускорением на промежутке времени t .

r

M

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

r

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

v

 

v

 

 

 

w*

 

r

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

Переходя в (2.15) к пределу при

t → 0 ,

получим

вектор w ускорения точки M в момент времени t :

r

r

 

r

 

2 r

r

r

 

v

 

dv

 

d r

 

w = lim

 

=

 

=

 

= v&

= r&&.

(2.16)

t

dt

dt2

t→0

 

 

 

 

 

Таким образом, ускорение точки в данный момент времени есть векторная величина, равная vr& – первой

производной по времени ее вектора скорости, или r&r& – второй производной по времени ее радиус-вектора.

Из (2.16) вытекает ряд формул, позволяющих вычислить ускорение точки в любой момент времени, если движение задано координатным способом, т.е. уравнениями (2.2):

 

&

 

=

d2x

&&

 

 

 

&

=

d2y

 

&&

 

 

wx = vx

dt2

= x,

 

wy = vy

dt2

= y,

(2.17)

w = v&

=

d2z

= z&&,

 

r

 

 

 

 

+ w2

+ w2 .

 

 

 

 

| w | = w = w2

 

z

 

z

 

 

dt2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Направляющие косинусы вектора ускорения w будут

r

r

 

 

w

 

r

r

w

 

 

 

r

r

 

 

w

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

cos(w,i )

=

 

 

x

,

cos(w, j ) =

 

cos(w,k) =

z

.

(2.18)

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

2.5.

 

 

Естественный

трехгранник.

 

Предельное

положение плоскости, проходящей через какие-нибудь три точки кривой, когда эти точки стремятся к точке M , или (что то же) предельное положение плоскости, проходящей через касательную Mτ и точку M, когда эта точка стремится к точке M , определяет в точке M этой кривой

соприкасающуюся плоскость. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость есть плоскость самой кривой.

Предельное положение прямой, проходящей через точки M и Mкривой, когда точка Mстремится к M , определяет касательную к кривой в данной точке M .

Перпендикуляр к касательной в точке M называется нормалью к кривой в этой точке. Очевидно, что в данной точке M к кривой можно провести бесконечное множество (пучок) нормалей. Все это множество прямых образует плоскость, которую будем называть нормальной плоскостью в точке M .

Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости и направленная внутрь вогнутости кривой, называется

главной нормалью к кривой в точке M .

Нормаль

r

r

перпендикулярная

к

bo = τo ×no ,

соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.

 

Обозначим единичные векторы: касательной через τo ,

главной нормали через

no (направлен внутрь вогнутости

кривой) и бинормали через bo .

Эти векторы, взятые попарно, образуют плоскости:

соприкасающуюся ( τo , no ) ,

нормальную ( nro , bor) ,

спрямляющую ( bo , τo ) .

 

r

 

 

 

 

no

 

 

 

 

Соприкасающаяся

 

 

 

 

 

плоскость

 

 

 

 

 

Нормальная

 

 

 

 

 

Траектори

 

плоскость

 

 

я

 

 

M

 

точкиrМ

 

r

bo

 

 

τ

 

 

 

o

Спрямляющая

плоскость

Три

взаимно

перпендикулярных

направления,

определяемые

правой

тройкой

векторов

r

r

( τo , no , bo ) ,

образуют прямоугольный триэдр с вершиной в точке M ,

называемый

естественным

или

натуральным

трехгранником.

 

 

 

 

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

25 февраля 2007 г.

Кинематика

Краткий курс Теоретической Механики

6

2.6. Кривизна кривой. В двух точках кривой M и Mпроведем единичные векторы касательных τo и τ′o . Угол

между этими касательными, называемый углом смежности,

обозначим через

θ, а длину соответствующей дуги MM

траектории точки M – через

s .

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

M

τo

 

 

 

 

θ

 

 

 

M

 

 

 

r

 

 

 

 

r

τo

 

r

 

 

τ′o

 

 

τ′o

 

Отношение Κ* = θ s называется средней кривизной

кривой на дуге

MM, а предел

этого

отношения при

s → 0 , если он существует,

 

 

 

 

 

Κ = lim

θ =

dθ

 

(2.19)

 

 

 

s→0

s

ds

 

называется кривизной кривой в данной точке, и она равна отношению величины dθ элементарного угла смежности к величине элемента дуги ds в этой точке.

Очевидно, что кривизна окружности радиуса R равна

Κ =

dθ

=

dθ

=

1

и постоянна во всех ее точках.

 

R dθ

 

 

ds

 

R

Кривизна произвольной кривой вообще не постоянна и изменяется от точки к точке.

Если через три точки M1, M, M2 любой кривой

провести окружность, то в пределе (при приближении точек M1 и M2 к точке M ), она будет лежать в соприкасаю-

щейся плоскости. Эта предельная окружность называется

соприкасающимся кругом или кругом кривизны.

Кривизна кривой в точке M равна кривизне соприкасающегося круга.

M1 M

M2

O

ρ

Центр круга кривизны называется центром кривизны, а радиус этого круга – радиусом кривизны кривой в точке M . Обозначая радиус кривизны через ρ, получим

выражение кривизны кривой в точке M :

Κ = dθ ds = 1 ρ .

(2.20)

 

2.7. Разложение ускорения по осям естественного

трехгранника. Представим скорость точки M в виде

 

 

v = vτ τo = v τo ,

(2.21)

где v = vτ – проекция вектора скорости v на ось Mτo . Дифференцируя равенство (2.21) по времени, получим

r

r

 

dv

r

r

 

dv

 

dτ

 

w =

 

=

 

τ + v

o

.

(2.22)

 

 

 

 

dt

 

dt

o

dt

 

 

 

 

 

Первое слагаемое

есть

вектор

v& τo ,

направленный

вдоль касательной τo .

Найдем значение второго слагаемого. Дифференциал

единичного вектора dτo перпендикулярен к

 

τo

и лежит в

соприкасающейся плоскости.

dτo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

вектор

 

направлен

 

по

 

главной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

= |

r

| dθ = dθ , где dθ

нормали no . Кроме того, | dτo

|

τo

элементарный угол смежности.

 

 

 

 

 

 

 

 

drτo

 

 

dθ

 

 

 

 

 

Отсюда находим,

что

dτ

 

= dθ n

 

и

 

=

nr

,

но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

o

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поскольку

dθ

=

dθ

 

 

ds

=

v

,

так как

 

ds

= v

и

dθ

=

1

,

 

 

dt

 

ds

 

dt

 

 

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

ds

 

ρ

(где ρ есть радиус кривизны кривой в точке

 

M ), и тогда

окончательно запишем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dτro

=

 

 

v

nr

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя найденную величину в (2.22), получим

искомую формулу

 

 

dvr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

dv

 

r

 

 

v2

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w =

 

 

 

=

 

 

τo +

 

no .

 

 

 

 

(2.24)

 

 

 

 

 

dt

dt

ρ

 

 

 

 

Таким образом, проекции вектора

 

 

w

 

на

оси

естественного трехгранника равны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wτ

&

 

 

 

&&

 

 

 

wn = v

2

ρ,

wb = 0.

 

 

(2.25)

 

 

= v

= s,

 

 

 

Вектор

wτ

= wτ τo

будем

 

называть тангенциальной

или касательной составляющей вектора w

ускорения

точки,

а

вектор

 

 

 

 

wn = wn no

 

его

 

нормальной

составляющей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wτ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль ускорения точки M будет равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

2

 

 

2

=

 

 

2

+

v4

=

 

 

2

+

(s&)4

(2.26)

| w | = w =

w

+ w

 

 

(v&)

 

 

 

 

 

(s&&)

 

 

.

 

 

τ

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угол μ между вектором w и главной нормалью no

определяется из уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg(μ) = wτ

wn .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.27)

Из

равенства (2.24)

следует, что

 

вектор

w

лежит

 

в

соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории.

Пользуясь формулами (2.25)–(2.26) можно определить модуль и направление ускорения, если движение задано естественным способом, т.е. если известна траектория и задан закон движения точки вдоль этой траектории в виде s = f(t) . Вектор τo при этом направляется в сторону

положительного отсчета расстояния s .

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

25 февраля 2007 г.

Кинематика

Краткий курс Теоретической Механики

7

Криволинейное движение называется ускоренным, если

проекции векторов v и w на ось τo

имеют одинаковые

знаки и замедленным, когда эти знаки разные.

Если в данный момент времени

v& = w = 0 , (что

 

τ

может иметь место, когда | vr | достигает максимума или минимума), то w = wn и μ = 0 – ускорение в этот момент времени направлено по главной нормали no .

Если же v& = wτ = 0 в течение некоторого промежутка времени, то на этом интервале времени величина скорости

| vr |

постоянна (равномерное криволинейное движение), а

ускорение, появляющееся за счет изменения вектора

v по

направлению, направлено

вдоль

главной нормали

no к

траектории, т.е.

r

r

=

 

r

 

w

= w

(v2 ρ) n .

 

 

 

 

n

 

 

o

 

Аналогично,

если

в

данный момент времени

w

= v2 ρ = 0 ,

то вектор

w в этот момент направлен по

n

 

 

 

 

 

 

 

касательной к траектории w = w

и μ = 90o . Такой случай

 

 

 

 

 

τ

 

 

может иметь место, когда в данный момент времени скорость точки обращается в нуль (т.е. точка меняет направление движения), или же когда движущаяся точка находится в точке перегиба своей траектории, где ρ = ∞ .

Если же w = v2

ρ = 0 в течение некоторого

n

 

промежутка времени, а точка движется v ≠ 0 , то это может быть лишь в случае, когда в течение всего промежутка времени движение прямолинейно ρ = ∞ .

Если во все время движения численная величина скорости постоянна, т.е. v = v0 = const , то криволинейное

движение называется равномерным.

Интегрируя равенство ds = v0 dt , найдем

закон

равномерного криволинейного движения:

 

s(t) = s0 + v0 t ,

(2.28)

где s0 – расстояние от точки M до начала отсчета

M0 ,

вычисленное вдоль дуги траектории, в начальный момент времени t = 0 .

Если касательное ускорение точки во все время

движения

постоянно,

т.е.

wτ = a0 = const ,

то

криволинейное движение называется равнопеременным.

Интегрируя равенство

dv = a0 dt , найдем

сначала

закон скорости в этом движении

 

 

 

 

v(t) = v0 + a0 t ,

 

(2.29)

где v0 – начальная скорость точки.

 

 

Принимая во внимание,

что

ds = v dt , и интегрируя

равенство (2.29), получим закон равнопеременного криволинейного движения в виде

s(t) = s

+ v

t +

1

a t2 .

(2.30)

 

0

0

2

0

 

Для заметок

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

_________________________________________

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

25 февраля 2007 г.

Соседние файлы в папке termex