termex / Theoretical_Mechanics_part_01_02
.pdfКинематика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Краткий курс Теоретической Механики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
§2. Криволинейное движение точки |
|
|
|
|
|
|
| |
vr | |
|
= | rr& |
| |
= | |
s& | . |
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
|||||||||||||||||||
2.1. |
Закон движения. |
Если |
траектория |
движущейся |
Заметим, |
|
что |
|
|
равенство |
|
|
v = s& |
определяет |
||||||||||||||||||||||||||||||
точки относительно выбранной системы отсчета есть кривая |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
алгебраическую величину скорости (проекцию вектора v |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линия, то движение называется криволинейным, а его закон |
на касательную |
τ, проведенную в точке |
M траектории в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выражается либо векторным уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
сторону положительного отсчета расстояния s ). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r = r(t) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражая радиус-вектор r |
через его проекции на оси |
||||||||||||||||||||||||||||
либо равносильными ему тремя скалярными уравнениями |
декартовой системы координат Oxyz , получим выражение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проекций точки на оси координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скорости точки через ее проекции на те же оси: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x = f1(t), |
y = f2 (t), |
z = f3 (t) . |
|
|
|
(2.2) |
|
|
|
r |
= |
drr |
= |
dx r |
|
+ |
dy r |
|
dz r |
|
|
|
(2.6) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
dt |
|
|
i |
|
dt |
j + |
|
k , |
|
|
|||||||||
Если |
r |
= const , |
то |
точка |
находится |
относительно |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
r |
где проекции вектора |
скорости |
равны |
производным |
от |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
данной системы отсчета в покое. Если |
же точка |
M |
координат точки по времени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
совершает движение по отношению к телу отсчета, то ее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
радиус-вектор r изменяется со временем t |
и по величине, |
v |
|
= dx |
= x&, |
v |
|
= dy |
= y&, |
v = dz = z&. |
(2.7) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
и по направлению, и своим концом описывает траекторию |
x |
|
dt |
|
|
|
|
y |
dt |
|
|
|
|
z |
dt |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
точки, которая называется годографом вектора r . |
|
|
|
|
Отсюда для величины вектора скорости имеем: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Равенства (2.2) являются одновременно и законами |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
движения |
точки, |
|
и |
уравнениями |
|
ее |
траектории |
в |
|
= v = |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
= |
|
& 2 |
|
& |
2 |
& |
2 |
(2.8) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| v | |
|
v |
+ v |
|
+ v |
|
|
|
(x) |
|
+ (y) |
|
+ (z) . |
||||||||||
параметрической форме (параметром является время t ). |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для направляющих косинусов вектора |
запишем: |
|
|
||||||||||||||||||||
2.2. Скорость в криволинейном движении. |
Пусть в |
v |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
v |
|
|
|
r |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
некоторый |
момент |
времени |
|
t |
положение |
точки |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
(2.9) |
|||||||||||||||||||||
|
cos(vr,i ) = vx , |
|
cos(vr, j ) |
|
y |
cos(vr,k) = vz . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определяется радиус-вектором r , а в момент времени t′ |
– |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
v |
|
|
|||||||||||||||||||||
радиус-вектором r′ = r + |
r . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если движение точки задано |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координатным |
способом, |
т.е. |
|
уравнениями |
(2.2), |
|
то |
||||||||||||||||
|
|
|
|
M |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулы |
|
(2.7)–(2.9) |
позволяют |
вычислить |
скорость |
этой |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки в любой момент времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
M′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Разложение вектора скорости на радиальную и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трансверсальную |
|
составляющие. |
Представим |
радиус- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
v* |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор r |
точки в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r(t) = r(t) ro(t) , |
|
|
|
|
|
(2.10) |
|||||||||||
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ro (t) |
есть единичный вектор по направлению r . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя (2.10) по времени t , получим: |
|
|
||||||||||||||||||||||
Тогда перемещение точки M за промежуток времени |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
t = t′ −t есть вектор MM′ = rr′ − rr = |
rr . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vr = dr = dr rro + r |
dro . |
|
|
(2.11) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Величина v* , равная отношению |
перемещения |
|
r |
Скорость точки, как это видно из (2.11), состоит из двух |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки M к соответствующему промежутку времени |
t |
|
слагаемых. Первое из них имеет то же направление, что и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
vr* |
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиус-вектор r , и характеризует изменение r |
|
по |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= r′ − r |
= |
r |
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
величине. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t′ − t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
называется |
|
средней |
скоростью |
точки. |
Следовательно, |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
средняя скорость точки есть вектор, направленный по хорде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
MM′ в сторону движения. |
|
|
|
|
|
момент |
времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Скорость точки M в данный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
определяется как |
предел, |
к |
которому |
стремится |
средняя |
|
|
|
|
|
vp |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
ro′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
скорость при |
t → 0 , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rr |
|
|
|
|
|
drr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vr |
|
|
|
|
|
|
ro |
|
|
||
r |
|
|
MM′ |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ϕ |
|
|
|||||||
lim |
|
= |
lim |
|
или |
= |
|
|
(2.4) |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
v = |
|
t |
|
|
v |
dt |
= r& . |
|
|
po |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
t→0 |
|
t |
→0 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ro |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ro |
|
|
||||||||
Скорость |
точки |
M есть |
векторная |
величина, |
равная |
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
первой производной по времени ее радиус-вектора |
r . Так |
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
как при |
t → 0 направление вектора |
r |
t |
совпадает с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
направлением касательной к траектории (предельное |
Чтобы выяснить смысл второго слагаемого в (2.11), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
положение секущей), то скорость точки в данный момент |
заметим, |
|
что |
| |
rr |
| = 2 | rr |
|
| sin( ϕ 2) ≈ |
|
ϕ , где ϕ |
– |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
времени направлена по касательной к ее траектории. |
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| drro | = dϕ, |
|
|||||||||||||||||||||||
Поскольку |
|
| drr | = | |
ds | |
, |
где |
ds |
есть |
элемент |
дуги |
угол поворота вектора ro . Следовательно |
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
траектории, то модуль скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
модуль второго слагаемого будет | |
drro |
dt | = dϕ dt . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Направление |
|
этого |
|
слагаемого |
перпендикулярно |
к |
|||||||||||||||||
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 февраля 2007 г. |
Кинематика |
Краткий курс Теоретической Механики |
5 |
направлению ro , т.к. направление дифференциала
единичного вектора перпендикулярно к направлению самого вектора, т.е. dro ro .
Тогда
|
drro |
& |
r |
|
|
r |
|
= r ϕ |
po , |
(2.12) |
|
dt |
|||||
|
|
|
|
||
где po – единичный |
вектор, |
всегда |
направленный |
перпендикулярно к вектору ro .
Таким образом, второе слагаемое уравнения (2.11) представляет изменение вектора r по направлению. Окончательное выражение скорости будет
vr = vrr + vrp |
= |
dr |
rro |
+ r |
dϕ |
pro . |
(2.13) |
|
|
||||||
|
|
dt |
|
dt |
|
||
Первое слагаемое |
v |
= r& r |
называется |
радиальной |
|||
|
r |
|
o |
|
|
|
= r ϕ po – |
составляющей, а второе |
слагаемое – vp |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
& |
трансверсальной составляющей вектора скорости v . Модуль скорости найдется из равенства
v = |
2 |
2 |
= |
& 2 |
& |
2 |
. |
(2.14) |
vr |
+ vp |
(r) |
+ (r ϕ) |
|
2.4. Ускорение точки в криволинейном движении.
Пусть точка, двигаясь по закону (2.1), в момент времени t находится в положении M и имеет скорость v , а в момент
t + |
t приходит в |
положение |
M′ |
со скоростью |
|
v′ = v(t + |
t) . |
|
|
|
|
v′. |
Построим в точке |
M вектор, равный вектору скорости |
|||
Тогда |
v = v′ − v |
есть приращение вектора скорости |
|||
точки M за промежуток времени |
t . |
|
|||
|
Разделив приращение вектора скорости |
v на величину |
|||
отрезка |
времени |
t , за который это приращение |
|||
произошло, получим вектор |
|
|
|||
|
|
|
w* = v t , |
|
(2.15) |
который называется средним ускорением на промежутке времени t .
r
M |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M′ |
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
v′ |
|
v |
|
|
|
||
w* |
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
v′ |
|
||
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
Переходя в (2.15) к пределу при |
t → 0 , |
получим |
|||||||
вектор w ускорения точки M в момент времени t : |
|||||||||
r |
r |
|
r |
|
2 r |
r |
r |
|
|
v |
|
dv |
|
d r |
|
||||
w = lim |
|
= |
|
= |
|
= v& |
= r&&. |
(2.16) |
|
t |
dt |
dt2 |
|||||||
t→0 |
|
|
|
|
|
Таким образом, ускорение точки в данный момент времени есть векторная величина, равная vr& – первой
производной по времени ее вектора скорости, или r&r& – второй производной по времени ее радиус-вектора.
Из (2.16) вытекает ряд формул, позволяющих вычислить ускорение точки в любой момент времени, если движение задано координатным способом, т.е. уравнениями (2.2):
|
& |
|
= |
d2x |
&& |
|
|
|
& |
= |
d2y |
|
&& |
|
|
|||||
wx = vx |
dt2 |
= x, |
|
wy = vy |
dt2 |
= y, |
(2.17) |
|||||||||||||
w = v& |
= |
d2z |
= z&&, |
|
r |
|
|
|
|
+ w2 |
+ w2 . |
|
||||||||
|
|
|
| w | = w = w2 |
|
||||||||||||||||
z |
|
z |
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Направляющие косинусы вектора ускорения w будут |
||||||||||||||||||||
r |
r |
|
|
w |
|
r |
r |
w |
|
|
|
r |
r |
|
|
w |
|
|||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos(w,i ) |
= |
|
|
x |
, |
cos(w, j ) = |
|
cos(w,k) = |
z |
. |
(2.18) |
|||||||||
|
|
|
w |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|||
2.5. |
|
|
Естественный |
трехгранник. |
|
Предельное |
положение плоскости, проходящей через какие-нибудь три точки кривой, когда эти точки стремятся к точке M , или (что то же) предельное положение плоскости, проходящей через касательную Mτ и точку M′, когда эта точка стремится к точке M , определяет в точке M этой кривой
соприкасающуюся плоскость. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость есть плоскость самой кривой.
Предельное положение прямой, проходящей через точки M и M′ кривой, когда точка M′ стремится к M , определяет касательную к кривой в данной точке M .
Перпендикуляр к касательной в точке M называется нормалью к кривой в этой точке. Очевидно, что в данной точке M к кривой можно провести бесконечное множество (пучок) нормалей. Все это множество прямых образует плоскость, которую будем называть нормальной плоскостью в точке M .
Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости и направленная внутрь вогнутости кривой, называется
главной нормалью к кривой в точке M .
Нормаль |
r |
r |
перпендикулярная |
к |
bo = τo ×no , |
||||
соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. |
|
|||
Обозначим единичные векторы: касательной через τo , |
||||
главной нормали через |
no (направлен внутрь вогнутости |
кривой) и бинормали через bo .
Эти векторы, взятые попарно, образуют плоскости:
•соприкасающуюся – ( τo , no ) ,
•нормальную – ( nro , bor) ,
•спрямляющую – ( bo , τo ) .
|
r |
|
|
|
|
no |
|
|
|
|
Соприкасающаяся |
|||
|
|
|||
|
|
|
плоскость |
|
|
|
|
|
|
Нормальная |
|
|
|
|
|
|
Траектори |
|
|
плоскость |
|
|
я |
|
|
M |
|
точкиrМ |
|
r |
||||
bo |
|
|
τ |
|
|
|
|
o |
Спрямляющая
плоскость
Три |
взаимно |
перпендикулярных |
направления, |
|||
определяемые |
правой |
тройкой |
векторов |
r |
r |
|
( τo , no , bo ) , |
||||||
образуют прямоугольный триэдр с вершиной в точке M , |
||||||
называемый |
естественным |
или |
натуральным |
|||
трехгранником. |
|
|
|
|
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
25 февраля 2007 г. |
Кинематика |
Краткий курс Теоретической Механики |
6 |
2.6. Кривизна кривой. В двух точках кривой M и M′ проведем единичные векторы касательных τo и τ′o . Угол
между этими касательными, называемый углом смежности,
обозначим через |
θ, а длину соответствующей дуги MM′ |
||||
траектории точки M – через |
s . |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
M |
τo |
|
|
|
|
θ |
|
′ |
|
|
|
M |
|
|||
|
|
r |
|
|
|
|
r |
τo |
|
r |
|
|
τ′o |
|
|
τ′o |
|
Отношение Κ* = θ s называется средней кривизной |
|||||
кривой на дуге |
MM′ , а предел |
этого |
отношения при |
||
s → 0 , если он существует, |
|
|
|
|
|
|
Κ = lim |
θ = |
dθ |
|
(2.19) |
|
|
||||
|
s→0 |
s |
ds |
|
называется кривизной кривой в данной точке, и она равна отношению величины dθ элементарного угла смежности к величине элемента дуги ds в этой точке.
Очевидно, что кривизна окружности радиуса R равна
Κ = |
dθ |
= |
dθ |
= |
1 |
и постоянна во всех ее точках. |
|
R dθ |
|
||||
|
ds |
|
R |
Кривизна произвольной кривой вообще не постоянна и изменяется от точки к точке.
Если через три точки M1, M, M2 любой кривой
провести окружность, то в пределе (при приближении точек M1 и M2 к точке M ), она будет лежать в соприкасаю-
щейся плоскости. Эта предельная окружность называется
соприкасающимся кругом или кругом кривизны.
Кривизна кривой в точке M равна кривизне соприкасающегося круга.
M1 M
M2
O
ρ
Центр круга кривизны называется центром кривизны, а радиус этого круга – радиусом кривизны кривой в точке M . Обозначая радиус кривизны через ρ, получим
выражение кривизны кривой в точке M :
Κ = dθ ds = 1 ρ . |
(2.20) |
|
2.7. Разложение ускорения по осям естественного |
||
трехгранника. Представим скорость точки M в виде |
|
|
|
v = vτ τo = v τo , |
(2.21) |
где v = vτ – проекция вектора скорости v на ось Mτo . Дифференцируя равенство (2.21) по времени, получим
r |
r |
|
dv |
r |
r |
|
|
dv |
|
dτ |
|
||||
w = |
|
= |
|
τ + v |
o |
. |
(2.22) |
|
|
|
|||||
|
dt |
|
dt |
o |
dt |
|
|
|
|
|
|
||||
Первое слагаемое |
есть |
вектор |
v& τo , |
направленный |
вдоль касательной τo .
Найдем значение второго слагаемого. Дифференциал
единичного вектора dτo перпендикулярен к |
|
τo |
и лежит в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соприкасающейся плоскости. |
dτo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
вектор |
|
направлен |
|
по |
|
главной |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
= | |
r |
| dθ = dθ , где dθ – |
|||||||||||||||||||
нормали no . Кроме того, | dτo |
| |
τo |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
элементарный угол смежности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
drτo |
|
|
dθ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Отсюда находим, |
что |
dτ |
|
= dθ n |
|
и |
|
= |
nr |
, |
но |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
o |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
поскольку |
dθ |
= |
dθ |
|
|
ds |
= |
v |
, |
так как |
|
ds |
= v |
и |
dθ |
= |
1 |
, |
||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
ds |
|
dt |
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
ds |
|
ρ |
|||||||||||||
(где ρ есть радиус кривизны кривой в точке |
|
M ), и тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окончательно запишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dτro |
= |
|
|
v |
nr |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.23) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляя найденную величину в (2.22), получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
искомую формулу |
|
|
dvr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
dv |
|
r |
|
|
v2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
w = |
|
|
|
= |
|
|
τo + |
|
no . |
|
|
|
|
(2.24) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
dt |
ρ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, проекции вектора |
|
|
w |
|
на |
оси |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
естественного трехгранника равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
wτ |
& |
|
|
|
&& |
|
|
|
wn = v |
2 |
ρ, |
wb = 0. |
|
|
(2.25) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
= v |
= s, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вектор |
wτ |
= wτ τo |
будем |
|
называть тангенциальной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
или касательной составляющей вектора w |
ускорения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки, |
а |
вектор |
|
|
|
|
wn = wn no |
– |
|
его |
|
нормальной |
||||||||||||||||||||||||||||
составляющей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Модуль ускорения точки M будет равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
2 |
|
|
2 |
= |
|
|
2 |
+ |
v4 |
= |
|
|
2 |
+ |
(s&)4 |
(2.26) |
||||||||||||||||||||||
| w | = w = |
w |
+ w |
|
|
(v&) |
|
|
|
|
|
(s&&) |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
τ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Угол μ между вектором w и главной нормалью no |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определяется из уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg(μ) = wτ |
wn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.27) |
||||||||||||||||||||
Из |
равенства (2.24) |
следует, что |
|
вектор |
w |
лежит |
|
в |
соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории.
Пользуясь формулами (2.25)–(2.26) можно определить модуль и направление ускорения, если движение задано естественным способом, т.е. если известна траектория и задан закон движения точки вдоль этой траектории в виде s = f(t) . Вектор τo при этом направляется в сторону
положительного отсчета расстояния s .
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
25 февраля 2007 г. |
Кинематика |
Краткий курс Теоретической Механики |
7 |
Криволинейное движение называется ускоренным, если
проекции векторов v и w на ось τo |
имеют одинаковые |
знаки и замедленным, когда эти знаки разные. |
|
Если в данный момент времени |
v& = w = 0 , (что |
|
τ |
может иметь место, когда | vr | достигает максимума или минимума), то w = wn и μ = 0 – ускорение в этот момент времени направлено по главной нормали no .
Если же v& = wτ = 0 в течение некоторого промежутка времени, то на этом интервале времени величина скорости
| vr | |
постоянна (равномерное криволинейное движение), а |
||||||
ускорение, появляющееся за счет изменения вектора |
v по |
||||||
направлению, направлено |
вдоль |
главной нормали |
no к |
||||
траектории, т.е. |
r |
r |
= |
|
r |
|
|
w |
= w |
(v2 ρ) n . |
|
||||
|
|
|
n |
|
|
o |
|
Аналогично, |
если |
в |
данный момент времени |
||||
w |
= v2 ρ = 0 , |
то вектор |
w в этот момент направлен по |
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
касательной к траектории w = w |
и μ = 90o . Такой случай |
||||||
|
|
|
|
|
τ |
|
|
может иметь место, когда в данный момент времени скорость точки обращается в нуль (т.е. точка меняет направление движения), или же когда движущаяся точка находится в точке перегиба своей траектории, где ρ = ∞ .
Если же w = v2 |
ρ = 0 в течение некоторого |
n |
|
промежутка времени, а точка движется v ≠ 0 , то это может быть лишь в случае, когда в течение всего промежутка времени движение прямолинейно ρ = ∞ .
Если во все время движения численная величина скорости постоянна, т.е. v = v0 = const , то криволинейное
движение называется равномерным.
Интегрируя равенство ds = v0 dt , найдем |
закон |
равномерного криволинейного движения: |
|
s(t) = s0 + v0 t , |
(2.28) |
где s0 – расстояние от точки M до начала отсчета |
M0 , |
вычисленное вдоль дуги траектории, в начальный момент времени t = 0 .
Если касательное ускорение точки во все время
движения |
постоянно, |
т.е. |
wτ = a0 = const , |
то |
|
криволинейное движение называется равнопеременным. |
|||||
Интегрируя равенство |
dv = a0 dt , найдем |
сначала |
|||
закон скорости в этом движении |
|
|
|
||
|
v(t) = v0 + a0 t , |
|
(2.29) |
||
где v0 – начальная скорость точки. |
|
|
|||
Принимая во внимание, |
что |
ds = v dt , и интегрируя |
равенство (2.29), получим закон равнопеременного криволинейного движения в виде
s(t) = s |
+ v |
t + |
1 |
a t2 . |
(2.30) |
|
|||||
0 |
0 |
2 |
0 |
|
Для заметок
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
_________________________________________
© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ |
25 февраля 2007 г. |