Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

termex / Theoretical_Mechanics_part_01_03

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
308.6 Кб
Скачать

Кинематика

Краткий курс Теоретической Механики

8

§ 3. Поступательное и вращательное движения АТТ

3.1. Введение. Механической системой называется множество материальных точек, в котором движение каждой точки зависит от положения и движения остальных точек системы.

Пусть n есть число точек системы. Так как положение

каждой

точки

Mi , (i =

1, n

)

относительно выбранной

системы

отсчета

определяется

тремя

ее

координатами

xi , yi ,

zi ,

то

положение системы

(ее

конфигурация)

известно, когда известны координаты всех точек системы: x1, y1, z1, x2, y2, z2,K, xn, yn, zn . (3.1)

Зависимость между движениями точек системы существует вследствие:

сил взаимодействия между ними;

наличия геометрических и кинематических связей.

Связями называют тела, которые налагают ограничения либо только на положения, либо на положения и скорости точек системы. В первом случае связь называется

геометрической, или конечной, во втором – кинематической, или дифференциальной.

Действия связей аналитически выражаются уравнениями, которым в любой момент движения должны удовлетворять или только координаты точек системы (геометрическая связь), или координаты и их первые производные по времени (кинематическая связь). Поэтому уравнения связей имеют вид:

геометрическая связь –

f( x1, y1, z1,K, xn, yn, zn; t ) = 0 ,

(3.2)

кинематическая связь –

φ( x1, y1,K, yn, zn, x&1, y&1,K, y&n, z&n; t ) = 0 . (3.3)

Пусть на систему наложено k геометрических связей fj (x1, y1, z1,K, xn, yn, zn; t) = 0 , (j = 1,2,..., k) . (3.4)

Тогда из 3n координат точек системы независимых будет только 3n k , поскольку при задании каких-либо 3n k координат остальные определяются из k уравнений связей вида (3.4).

Эти независимые координаты называют также

координатами системы, число которых в случае существования только геометрических связей называется

числом степеней свободы этой системы.

Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Покажем это следующими рассуждениями. Возьмем три точки тела M1, M2, M3 , не лежащие на одной прямой.

Девять координат этих точек связаны тремя соотношениями, выражающими неизменяемость длин трех отрезков M1M2, M2M3, M3 M1 . Поэтому положение трех точек M1, M2, M3 полностью определяется

значениями шести независимых параметров ( 6-ти их координат ).

Если же добавить к этим точкам какую-нибудь четвертую точку M4 (x4, y4, z4 ) , то оказывается, что ее

координаты x4, y4, z4 связаны с координатами первых трех точек M1, M2, M3 как раз тремя условиями:

M1M4 = const , M2M4 = const , M3M4 = const .

Таким образом, число независимых координат остается равным шести, а положение АТТ в евклидовом пространстве однозначно определяется положением любых его трех точек, не лежащих на одной прямой.

3.2. Поступательное движение АТТ.

Поступательным движением АТТ называется такое его движение, при котором любая прямая, неизменно связанная с телом, перемещается параллельно самой себе, т.е. оставаясь параллельной своему начальному направлению.

A2

r

A1 rA

B2

r

B1 rB

Пусть A1, B1 и A2, B2 положения двух точек тела A и B для двух моментов времени t1 и t2 .

По определению твердого тела A1B1 = A2B2 , а по определению поступательного движения A1B1 || A2B2 ,

следовательно,

отрезки A1 A2

и

B1B2

равны и

параллельны, т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A1 A2 = B1B2 ,

 

(3.5)

или, обозначая

rrA = A1 A2,

rrB = B1B2 , получим

r

A

= r

и

rrA

=

rrB

,

где

t = t

t

 

 

 

B

 

t

t

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

есть промежуток времени, в течение которого тело перемещается из положения «1» в положение «2».

Переходя к пределу при t → 0 ,

получим

vA = vB = v ,

(3.6)

где vA , vB – скорости точек A и B .

Так как точки A и B были выбраны произвольно, то при поступательном движении твердого тела скорости всех точек тела в данный момент времениrравны друг другу и выражаются одним и тем же вектором v .

Только в случае поступательного движения АТТ вектор скорости v есть свободный вектор и его можно приложить к любой точке тела. Траектории всех точек тела в этом случае есть конгруэнтные (одинаковые) кривые.

Поскольку равенство (3.6) справедливо для любого момента времени, т.е. представляет собой равенство функций vA (t) = vB (t) = v(t) , то, дифференцируя все его

части по времени, получим:

dvrA

=

dvrB

=

dvr

или wA = wB = w ,

(3.7)

dt

dt

dt

 

 

 

 

т.е. ускорение w точек поступательно движущегося тела – свободный вектор.

Из всего предыдущего вытекает, что при

поступательном движении АТТ перемещения, скорости и ускорения всех его точек для каждого момента времени равны между собой, а само поступательное

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

27 февраля 2007 г.

Кинематика

Краткий курс Теоретической Механики

9

движение вполне определяется движением одной из точек твердого тела.

Если скорость поступательного движения постоянна, т.е. v = const , то все точки неизменяемой системы движутся прямолинейно и равномерно. Такое движение в механике Ньютона называется инерциальным.

Если же скорости всех точек неизменяемой системы равны между собой только для одного какого-либо момента времени, то из этого не следует, что система движется поступательно. В этом случае мы будем говорить, что неизменяемая система в данный момент имеет мгновенную поступательную скорость.

3.3.Вращательное движение АТТ. Угловая скорость

иугловое ускорение. Движение твердого тела, при котором две неизменно связанные с ним точки A и B остаются неподвижными, называется вращательным движением, а прямая AB осью вращения. При вращательном движении траектории всех точек тела есть окружности, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения, а их центры лежат на этой оси.

z r

ω

B

r

ϕ

ϕ ϕ

A

εr

 

r

 

O

k

y

 

x

Пусть Oxyz – неподвижная декартовая система

координат выбрана таким образом, что ось вращения AB совпадает с координатной осью Oz . Поскольку ось вращения неподвижна – тело имеет одну степень свободы и для описания его положения по отношению к выбранной системе отсчета потребуется один независимый параметр.

Будем определять положение вращающегося тела в пространстве при помощи вектора поворота ϕ . Модуль

этого вектора равен величине двугранного угла ϕ между

двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения, одна из которых неподвижна относительно системы отсчета Oxyz , а другая неизменно связана с вращающимся телом.

За положительное направление поворота выбирается такое вращение АТТ, при котором с конца оси Oz поворот наблюдается против хода часовой стрелки. Вектор-

функция поворота при этом определяется как

r

 

(3.8)

ϕ(t) = ϕ(t) k ,

где ϕ(t) – называется законом

вращения АТТ вокруг

неподвижной оси. Если за промежуток времени

t угол ϕ

получает приращение ϕ, то величина

 

ω* = ϕ

t

(3.9)

называется средней угловой скоростью тела на промежутке времени t .

Предел, к которому стремится отношение (3.9) при t → 0 , называется угловой скоростью вращения твердого тела

r

 

r

 

r

r

 

 

ϕ

 

dϕ

 

ω =

lim

 

=

 

= ϕ& .

(3.10)

 

dt

 

t→0 t

 

 

 

Поскольку ось

вращения

AB

неподвижна,

следовательно – вектор k со временем не изменяется, то из

 

 

r

&

(3.10) следует, что вектор угловой скорости есть ω = ϕ k и

направлен вдоль оси вращения,

r

&

причем ω ↑↑ k при

ϕ > 0

r

&

 

 

и ω ↑↓ k при ϕ < 0 .

 

 

В общем случае угловая скорость ω с течением времени

изменяется,

т.е. ω = ω(t) . Если приращение вектора ω за

промежуток времени t составило ω, то величина

 

 

ε* = ω

t

(3.11)

называется средним угловым ускорением АТТ на

промежутке времени t .

 

Предел, к которому стремится ε* при

t → 0 ,

называется угловым ускорением тела в данный момент времени

 

 

 

 

r

 

 

r

 

 

r

&& r

 

 

r

 

 

ω

 

 

dω

r&

&

(3.12)

 

ε =

lim

 

 

=

 

 

 

 

 

 

t

 

dt

= ω = ω k

= ϕ k .

 

 

t→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор ε также направлен вдоль оси вращения, причем

r

r

&

 

 

 

что

соответствует

ускоренному

ε ↑↑ ω при

ω > 0 ,

 

вращению тела,

и

r

 

r

 

&

 

, что соответствует

ε ↑↓ ω при

ω < 0

замедленному вращению.

Отметим, что векторы ϕ, ω и εr являются скользящими

вдоль оси вращения AB и могут быть приложены в любой ее точке.

Величины ϕ, ω и ε, стоящие в формулах (3.10) и (3.12),

выражают численное или алгебраическое значение угла поворота, угловой скорости и углового ускорения и представляют собой проекции векторов ϕ, ω и ε на ось

вращения, направлением которой определяется знак угла поворота ϕ .

Поскольку угол ϕ измеряется в радианах, то угловая скорость и угловое ускорения будут измеряться в сек−1 и сек−2 соответственно.

Если во все время движения ω = const , то вращение называется равномерным. Закон такого вращения (если ϕ0

– начальный угол для момента времени t = 0 ) будет

ϕ(t) = ϕ0 + ω t .

(3.13)

Если же во все время движения ε = const , то вращение называется равнопеременным. Законы такого вращения имеют вид

ω(t) = ω0

+ εt, ϕ(t) = ϕ0

+ ω0t +

εt

2

,

(3.14)

2

 

 

 

 

 

где ω0 – начальная угловая скорость (для t = 0 ).

3.4. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Пусть вращение АТТ происходит вокруг неподвижной оси Oz , тогда все точки тела будут описывать круговые траектории в плоскостях, параллельных координатной

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

27 февраля 2007 г.

Кинематика

Краткий курс Теоретической Механики

10

плоскости Oxy . Положение тела в пространстве будем определять при помощи вектора поворота ϕ , величина которого будет соответствовать величине двугранного угла

ϕ между

неподвижной

плоскостью

Oxz

и

плоскостью

MOM, неизменно связанной с телом.

 

 

 

 

Радиус-вектор

rr = OM произвольной

точки

M , не

лежащей

на

оси

вращения

AB ,

можно

представить

следующим образом

 

 

 

 

 

 

 

r = (r cos ϕsin ψ,

r sin ϕsin ψ,

r cos ψ) ,

где ϕ(t)

закон вращения

тела

вокруг

оси

Oz , а

ψ = MOM

– постоянный для точки

M угол. Тогда, по

определению вектора скорости точки M будем иметь

r r&

 

 

 

 

 

ϕsin ψ j + 0 k .

v = r = −rϕsin ϕsin ψ i + rϕcos

 

 

&

 

 

&

 

 

 

 

 

Следовательно,

скорость точки M лежит в плоскости,

перпендикулярной оси вращения Oz .

 

 

 

 

 

Воспользуемся известными формулами из геометрии: i = k × j, j = k ×i, 0 = k × k и преобразуем формулу

для скорости к виду

r r r r

v = (ϕ& k) ×(r cos ϕsin ψ i + r sin ϕsin ψ j + r cos ψ k) =

rr

=ω×r.

Мы получили формулу Эйлера для скоростей точек вращающегося АТТ:

 

 

 

r

r

r

 

 

r

r r

 

i

j

k

 

 

=

0

0

ω

.

(3.15)

v

= ω×r

 

 

 

x

y

z

 

 

 

 

 

 

Модуль скорости точки M будет равен

 

v = ω OM sin ψ = ω MM′ = ω R ,

(3.16)

где R – радиус окружности,

описываемой точкой M

вокруг оси вращения.

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

M

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

v

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

ψ

 

r

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

j

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

r

ϕ

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

M1

 

Выражение для ускорения точки M получим из формулы Эйлера непосредственным дифференцированием

r

dvr

 

 

d

r

r

 

 

 

w =

 

=

 

 

(ω× r)

=

 

 

dtr

 

dt

r r .

(3.17)

 

 

 

r

r

r r

 

dω

 

r

dr

=

 

× r + ω×

 

= ε × r

+ ω× v

 

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулу (3.17) можно переписать в виде

r r

r

(3.18)

w = wвр + wос,

где

r

r

r

вращательное, а

r

r

r

wвр = ε × r

wос

= ω× v

осестремительное ускорение точки M твердого тела.

 

Вектор

 

r

r

r

вращательного

ускорения

 

wвр

= ε ×r

коллинеарен

вектору

скорости

v = ω×r

точки

M ,

 

r

вр

r

 

 

 

 

 

&

 

и

причем w

 

↑↑ v

при ускоренном вращении ( ω > 0 ),

rвр

r

 

 

 

 

 

&

 

 

 

w

↑↓ v

при замедленном вращении ( ω < 0 ).

 

 

 

Вектор осестремительного ускорения

r

 

 

 

wос направлен по

главной нормали в данной точке траектории – к центру M

описываемой окружности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wвр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

r

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

wrос

v

 

 

 

 

 

 

 

 

εr

M

 

 

 

 

Модули вращательного и осестремительного ускорений точки определим с учетом (3.16) и того факта, что ω v :

wвр =| εr × rr |= ε r sin ψ = ε R,

(3.19)

r r

r r r

wос =| ω× v

|=| ω× (ω× r) |= ω ω r sin ψ = ω2R.

 

Поскольку составляющие ускорения взаимно

ортогональны, т.е. wrвр wrос , модуль ускорения точки M можно определить следующим путем

w = (wвр)2 + (wос)2

= R ε2 + ω4 .

(3.20)

Пользуясь формулами (3.19)

найдем угол α,

который

составляет ускорение w точки M с направлением главной нормали траектории точки:

 

 

 

 

 

tg(α) = wвр

wос = ε ω2 .

(3.21)

 

 

Очевидна

аналогия

между

касательной

wτ

и

вращательной

 

r

 

 

 

 

а также

между

 

wвр составляющими,

нормальной w

 

 

 

 

 

r

 

 

 

n

и осестремительной wос составляющими

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ускорения w точки M .

 

 

 

 

 

 

 

 

Более

того, в

данном

случае

они

совпадают,

т.е.

r

 

r

и

r

r

поскольку траекторией

любой

w

τ

= wвр

w

= wос ,

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

точки M рассматриваемого тела,

не

лежащей

на

оси

вращения, является стационарная окружность с центром Mна оси вращения тела. Радиус кривизны траектории при этом равен радиусу указанной окружности, т.е. ρ = MM .

Однако необходимо помнить, что разложение вектора ускорения w точки M на касательную и нормальную составляющие (2.24)–(2.27) производится всегда по отношению к траектории этой точки в сопутствующей ей системе отсчета.

Разложение же ускорения некоторой точки твердого тела на вращательную и осестремительную составляющие (3.17)–(3.21) производится только в случае вращательного движения этого тела.

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

27 февраля 2007 г.

Кинематика

Краткий курс Теоретической Механики

11

Если вращение тела происходит с постоянной угловой скоростью (т.е. ε = ω& = 0 ), то вектор ускорения будет представлен только осестремительной составляющей

wr = wrос , при этом tg(α) = 0 и, следовательно, α = 0 .

Если скорости точек тела, лежащих на оси AB , равны нулю во все время движения, то эта ось называется

перманентной или постоянной осью вращения. Изложенное выше относится именно к этому случаю.

Если же скорости точек тела, лежащих на некоторой оси, равны нулю только в данный момент времени, то эта ось называется мгновенной осью вращения. Значения скоростей всех точек тела в этом случае также определяются формулой (3.15), где векторная величина ω, направленная по мгновенной оси вращения, называется

мгновенной угловой скоростью тела.

В отличие от перманентной оси, мгновенная ось вращения, а с ней и вектор ω непрерывно меняют свое направление как в самом теле, так и по отношению к основной системе отсчета.

Вследствие этого вектор ε уже не будет совпадать по направлению с вектором ω и картина распределения ускорений точек тела будет иной, чем на приведенном выше рисунке.

Для заметок

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

__________________________________________________

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

27 февраля 2007 г.

Кинематика

Краткий курс Теоретической Механики

12

__________________________________________________

© Составители: Асланов С.К., Царенко А.П., кафедра Теоретической Механики ОНУ

27 февраля 2007 г.

Соседние файлы в папке termex