Электромагнитные колебания

Замкнутая цепь, состоящая из конденсатора С и катушки индуктивности L, называется электрическим колебательным контуром. Периодически повторяющиеся изменения силы тока в катушке и напряжения на конденсаторе при отсутствии внешних воздействий называют свободными электромагнитными колебаниями. Уравнение колебаний для напряжения на конденсаторе:, для силы тока в катушке:, где ω₀– собственная частота контура, φ₀- начальная фаза колебаний. Период колебаний в контуре:

.

За время, равное Т/2, в контуре происходит переход энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки.

Примеры решения задач по электродинамике

Задача 1.

Два одинаковых по размерам проводящих шарика с зарядами -2∙10^-5 и 3∙10^-5 Кл вследствие притяжения соприкоснулись, и после этого были разведены на прежнее расстояние. Определить заряд каждого шарика после соприкосновения и во сколько раз изменится сила взаимодействия между ними?

q΄1- ? q΄2- ? F1/F2 –?	СИ
q1= -2∙10-5Кл q2= 3∙10-5Кл r1=r2 k=9∙109Н∙м2/Кл2

Решение:

Сила взаимодействия между зарядами определяется по закону Кулона:

.(1)

После соприкосновения шариков их общий заряд перераспределяется между ними: . Так как размеры шариков одинаковы, следовательно:

. (2)

Сила взаимодействия шариков до соприкосновения равна: .

После соприкосновения, с учетом (2):

.

Отношение сил взаимодействия шариков до и после соприкосновения имеет вид:

.

Вычислим значение заряда и отношение сил: (Кл).

.

Ответ:заряды шариков станут равнымиq΄=0,5∙10^-5Кл, сила взаимодействия уменьшится в 24 раза.

Задача 2.

Поле создано двумя одинаковыми проводящими шариками с зарядами -1∙10^-9 и 2∙10^-9 Кл, расположенными в вершинах равностороннего треугольника со стороной r=10 см. Рассчитать потенциал и напряженность поля в третьей вершине треугольника.

Eрез - ? φрез –?	СИ
q1= -1∙10-9Кл q2= 2∙10-9Кл r= 10 см β = 60º k = 9∙109Н∙м2/Кл2	0,1 м

Решение:

Результирующая напряженность поля в точке А найдем, сложив напряженности первого и второго заряда:

. (1)

Направление линий напряженности указаны на рисунке, следовательно, угол между линиями напряженности равен:= 180º-β = 120º. (2)

Напряженность поля, создаваемого зарядом в точке А, находится по формуле: . С учетом этого формула (1) примет вид:

. (3)

Проверим размерность: .

Потенциал в точке А будет равен сумме потенциалов, создаваемых зарядами q₁иq₂:

. (4)

Значение потенциала в точке поля равно: . С учетом этой формулы и знаков формула (4) примет вид:.

Проведем расчет: .

.

Ответ:потенциал в точке А равен φ_рез=90 В, напряженность – Е_рез= 2,38 кВ/м.

Задача 3.

Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью 9 Мм/с. Длина конденсатора 3 см, а напряженность электрического поля – 5 кВ/м. Найти смещение и скорость электрона при вылете его из конденсатора.

h - ?  –?	СИ
0= 9 Мм/с l= 3 см Е = 5 кВ/м qe= -1,6∙10-19Кл m = 9,1∙10-31кг	9∙106м/с 0,03 м 5∙103В/м

Решение:

На влетевший в поле конденсатора электрон действует две силы: сила тяжести mgи сила со стороны электрического поля конденсатораF_эл. Сравнение модулей этих сил дает, чтоF_эл»mg(F_эл=q_еЕ≈10^-15Н;mg≈10^-29Н), таким образом, можно считать, что на движение электрона будет оказывать только сила со стороны электрического поля конденсатора. Под действием этой силы электрон будет смещаться вдоль силовых линий и приобретет некоторое ускорение:

. (1)

Рассмотрим движение электрона вдоль осей Ох и Оy. Вдоль оси Ох проекцияF_эл=0, следовательно, движение остается равномерным, и время движения равно:

. (2)

Вдоль оси Оyдвижение равноускоренное под действием электрической силы, и уравнение (1) примет вид:. (3)

Запишем уравнение движения электрона вдоль оси Оу: , так как_0у=0. С учетом (2) и (3) это выражение для смещения электрона примет вид:

. (4)

Проверим размерность:

Скорость электрона в момент вылета из конденсатора находится как векторная сумма скоростей _хи_у:, где_х=₀, а_у=а_уt. Итоговое выражение для скорости с учетом (2) и (3) будет иметь вид:.

Проведем итоговый расчет смещения h и скорости:

.

Ответ:смещение электрона при вылете из конденсатора составитh=4,88 мм, скорость=9,46 Мм/с.

Задача 4.

Элемент с ЭДС 3 В и внутренним сопротивлением 0,2 Ом соединен с тремя резисторами, расположенными параллельно друг другу, причемR₁=2R₂=4R₃ Определить силу тока в цепи и сопротивление каждого резистора, если напряжение на концах параллельного участка U=2,5 В. Какой длины нужно взять стальную проволоку, чтобы изготовить из нее реостат с общим сопротивлением параллельного участка R? Площадь сечения проволоки S=0,75 мм², удельное сопротивление ρ=12∙10^-8 Ом∙м.

R1- ?R2- ? R3- ? I–?l - ?	СИ
E= 3 В r= 0,2 Ом R2= ½R1 R3=1/4R1 U= 2,5 В S= 0,75 мм2 ρ = 12∙10-8Ом∙м	7,5∙10-7м2

Решение:

По закону Ома сила тока в замкнутой цепи, имеющей источник:

, (1)

где R– сопротивление параллельного участка цепи. По закону Ома для однородного участка цепи та же сила тока равна:. (2)

Общее сопротивление параллельного участка находится по формуле: , откуда:. (3)

Решая совместно уравнения (1), (2) и (3) найдем сопротивление R₁:

. (4)

Проверим размерность: .

Проведем вычисление. .

Силу тока найдем из уравнения (2) с учетом (3) и рассчитанного значения R₁:.

.

Согласно условиям задачи R₂иR₃пропорциональны значениюR₁:

R₂=R₁/2=4,2 Ом иR₃=R₁/4=2,1 Ом.

Длина проволоки находится из формулы: , откуда. Проведем вычисления и получим значение:.

Ответ:R₁=8,4 Ом,R₂=4,2 Ом,R₃= 2,1 Ом,I=2,08 А,l=7,5 м.

Задача 5.

По горизонтальному проводнику длиной l=10 см и массой 1,5 г течет ток силой 4 А. Определить значение и направление вектора индукции магнитного поля, в которое нужно поместить проводник, чтобы он: 1) находился в состоянии равновесия; 2) двигался вверх с ускорением 0,1 м/с².

B1–? B2–?	СИ
l= 10 см m= 1,5 г I= 4 А а1= 0 а2= 0,1 м/с2 =90º g= 9,81 м/с2	0,1 м 1,5∙10-3кг

Решение:

Чтобы проводник не падал на Землю под действием силы тяжести, необходимо последнюю скомпенсировать силой Ампера, направленной вертикально вверх (см. рисунок). Зная направление силы тока, применяем правило левой руки и определяем, что направление вектора магнитной индукции «от нас».

1) Если проводник находится в равновесии, следовательно, второй закон Ньютона для этого случая имеет вид: . (1)

В проекции на ось Оу: . (2)

Подставим в (2) выражение для силы Ампера: , откуда необходимое выражение для В₁:.

Проверим размерность: .

Проведем вычисление: .

2) Если проводник начал двигаться вверх с некоторым ускорением, следовательно, сила Ампера оказывает на проводник большее действие, чем сила тяжести, и второй закон Ньютона в проекции на ось Оу будет иметь вид: или. (3)

Откуда: .

Рассчитаем значение В₂:.

Ответ:В₁= 36,79 мТл (в случае равновесия проводника), В₂=37,16 мТл (в случае равноускоренного движения проводника).

Задача 6.

Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 1 кВ, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл перпендикулярно линиям индукции. Определить радиус окружности, описываемой электроном. Как изменится радиус окружности, если вместо электрона в поле влетит протон?

R1–? R2/R1–?	СИ
U= 1 кВ В = 0,01 Тл me= 9,1∙10-31кг mp= 1,66∙10-27кг  = 90º qe = -1,6∙10-19Кл qр = 1,6∙10-19Кл	103В

Решение:

На заряженную частицу в магнитном поле будет оказывать действие сила Лоренца . (1)

Если частица влетает перпендикулярно линиям магнитной индукции, то она начинает двигаться под действием силы Лоренца по окружности радиуса Rс центростремительным ускорениемa_n. Сила тяжести не оказывает значительного влияния (см. предыдущее решение), следовательно, уравнение движения частицы согласно второму закону Ньютона будет иметь вид:

. (2)

Выберем ось, направленную по ускорению, учтем, что . Тогда уравнение (2) примет вид: (3)

Скорость электрона связана с ускоряющей разностью потенциалов U. Согласно закону сохранения энергии работа сил полярасходуется на приращение кинетической энергии частицы, то есть:.

Откуда величина скорости: . (4)

Из уравнения (3) выражаем искомый радиус Rи, подставляя значение скорости из (4), получаем: .

Проведем проверку размерности:

.

Проведем вычисление для радиуса окружности, описываемой электроном:

.

Вычислим радиус окружности, описываемой с теми же начальными условиями протоном:

.

Найдем отношение радиусов этих окружностей: .

Ответ:Радиус окружности, описываемой электрономR₁=1,07 см. Если в поле влетит протон, то радиус окружности увеличится в 43 раза.

Задача 7.

Воднородном магнитном поле с горизонтально расположенными линиями магнитной индукции В = 0,05 Тл находится перпендикулярно линиям В прямоугольная проводящая рамка длиной 7 см и шириной 5 см. Рамку развернули вокруг вертикальной оси за 0,2 с на 180º. Какая средняя ЭДС индукции возникнет в рамке?

E1–?E 2–?	СИ
В = 0,05 Тл L= 7 см b= 5 см t= 0,2 с 1= 0º 2= 180º	0,07 м 0,05 м

Решение:

При повороте рамки вокруг вертикальной оси изменяется магнитный поток Ф, принизывающий рамку, следовательно, возникнет ЭДС индукции . (1)

Поток через рамку рассчитывается по формуле:

Ф = BScos(2)

Площадь S=b∙L.

Тогда уравнение (1) можно записать как:

Проверим размерность: .

Рассчитаем исходное значение: .

Ответ:ЭДС индукции равна 1,75 мВ.