2 Порядок выполнения работы

1. Прочитать МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

2. Нарисовать в тетради обозначения схемных элементов

3. Ответить на контрольные вопросы

3. Оформите отчет, который должен содержать:

• титульный лист (см. приложение);

• цель работы;

• порядок выполнения работы;

4. Методические указания

Начало исследований в области формальной логики было по­ложено работами Аристотеля в IV в. до нашей эры. Однако строго формализованный подход к проблеме впервые был предложен Дж. Булем. В честь него алгебру высказывания называют булевой (булевской) алгеброй, а логические значения — булевы­ми (булевскими). Основу математической логики составляет алгебра высказываний. Алгебра логики используется при построе­нии основных узлов ЭВМ (дешифратор, сумматор, шифратор).

Алгебра логики оперирует с высказываниями. Под вы­сказыванием понимают повествовательное предложение, отно­сительно которого можно утверждать, истинно оно или ложно. Например, выражение «Расстояние от Москвы до Киева больше, чем от Москвы до Тулы» истинно, а выражение «5 < 2» — ложно.

Высказывания (логические переменные) принято обозначать буквами латинского алфавита (иногда — с индексами): А, В, С, ..., X, Y, а, Ь, с, ..., х, у, z, (х₁, х₂, ..., х_i, ...) и т. д. Если высказывание С истинно, это обозначается как С= 1 (С= t, true), а если оно ложно, то С= 0 (С = f, false).

Логические операции и базовые элементы компьютера

В алгебре высказываний над высказываниями можно произ­водить определенные логические операции, в результате кото­рых получаются новые высказывания. Истинность результирую­щих высказываний зависит от истинности исходных и использованных для их преобразования логических операций. „

Схемные элементы ЭВМ. Преобразование информации в ЭВМ осуществляется элементами (схемами) двух классов:

• комбинационными;

• последовательностными (схемами с памятью).

Состояние выходов комбинационных схем однозначно определяется состояниями входов в данный момент времени.

Состояние выходов в последовательных схемах оп­ределяется не только состоянием входов, но и внутренними со­стояниями, имевшими место в предыдущие моменты времени.

Комбинационные схемы являются техническим аналогом булевых функций. Подобно тому, как сложная булева функция мо­жет быть получена суперпозицией более простых функций, так и комбинационная схема может строиться из более простых схем.

Существует следующее определение — систему логических элементов, с помощью которых путем су­перпозиции можно представить любую сколь угодно сложную комбинационную схему, называют функционально полной. Известны различные функционально полные системы элементов, но наибольшее распростра­нение получили системы, использующие логические операции, выражаемые предлогами НЕ, и, или.

Логический элемент компьютера — это часть электронной схе­мы, которая реализует элементарную логическую функцию. Ло­гическими элементами компьютеров являются электронные схе­мы «И», «ИЛИ», «НЕ», «И-НЕ», «ИЛИ-НЕ» или другие (называе­мые также вентилями), а также триггер. Можно показать, что с помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вен­тилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Рассмотрим логические операции и соответствующие им элементы логических схем.

Конъюнкция. Соединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза и (or) называется операцией логи­ческого умножения, или конъюнкцией. Эту операцию принято обозначать знаками «^, &» или знаком умножения «х». Сложное высказывание А ^ В истинно только в том случае, когда истин­ны оба входящих в него высказывания. Истинность такого вы­сказывания задается табл.

Коньюнкция			Дизъюнкция
A	B	A&B	A	B	AvB	AxorB(исключающее или)
0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	1	1	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	1	1	1	0

Логическая схема «И» реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных диаграммах схемы «И» с двумя входами представлено на рис.

Единица на выходе схемы «И» будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет нуль, на выходе также будет нуль.

Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается соотношением z = x&y (читается как «х и у»). Операция конъюнкции на структурных схемах обозначается знаком «&».

Дизъюнкция. Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза или (OR) называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией. Эту операцию обозначают знаками «I, v» или знаком сложения «+». Сложное высказывание A v В истинно, если истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний (см. табл. 1.14).

В последнем столбце табл. 1.14 размещены результаты модифицированной операции ИЛИ — Исключающее или (XOR). Отличается от обычного или последней строкой (см. также рис. 1.7, е).

Схема «ИЛИ» реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы «ИЛИ» будет единица, на ее выходе также будет единица.

Условное обозначение на структурных схемах схемы «ИЛИ» с двумя входами представлено на рис. 1.7, б. Знак «1» на схеме происходит от классического обозначения дизъюнкции как «>=» (т. е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается соотношением z = x v у (читается как «х или у»).

Инверсия. Присоединение частицы НЕ (not) к некоторому высказыванию_ называется операцией отрицания (инверсии) и обозначается А (или ­А). Если высказывание А истинно, то В ложно, и наоборот (табл. 1.15)

Схема «НЕ» (инвертор) реализует операцию отрицания. Связь между входом х этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = х, где х читается как «не х» или «Инверсия х».

Если на входе схемы «О», то на выходе «1», и наоборот. Условное обозначение на структурных схемах инвертора — на рис. 1.7, в.

Вентили. Кроме схемных элементов, соответствующих перечисленным логическим операторам, в состав логических схем ходят комбинированные связки, именуемые вентилями, напри­мер, следующие.

Схема «И-НЕ» состоит из элемента «И» и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы «И» (табл. 1.16). Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают как , или «Инверсия х и у». Условное обозначение на структурных схемах схемы «И-НЕ» с двумя входами приведено на рис. 1.7, г.

Таблица 1.16. Таблица истинности схем «И-НЕ», «ИЛИ-НЕ»

Инверсия х и у				Инверсия x или у
x	y		x		y
0	0	1	0		0	1
0	1	1	0		1	0
1	0	1	1		0	0
1	1	0	1		1	0

Схема «ИЛИ-НЕ» состоит из элемента «ИЛИ» и инвер­тора и осуществляет отрицание результата схемы «ИЛИ» (табл. 1.16). Связь между выходом z и входами хну схемы запи­сывают как х v у, или «Инверсия х или у». Условное обозначе­ние на структурных схемах схемы «ИЛИ-НЕ» с двумя входами представлено на рис. 1.7, д.

Схема «Исключающее ИЛИ» (рис. 1.7, е) соответству­ет «сложению по модулю два» (см. также табл. 1.14).

Следует отметить, что помимо операций и, или, не в алгебре высказываний существует ряд и других операций. Например, операция эквивалентности (эквиваленции)

А ~ В (А = В, или A eqv В) (табл. 1.17).

Таблица 1.17. Таблицы истинности операций эквивалентности и импликации

Эквивалентность				Импликация
А	В	А~В	А		В	АВ
0	0	1	0		0	1
0	1	0	0		1	1
1	0	0	1		0	0
1	1	1	1		1	1

Другим примером может служить логическая операция им­пликации или логического следования (А —> В, A IMP В)_у иначе говоря, «если А, то В» (табл. 1.17).

Высказывания, образованные с помощью логических опера­ций, называются сложными. Истинность сложных высказыва­ний можно установить, используя таблицы истинности. Напри­мер, истинность сложного высказывания ( ^) определяется табл. 1.18.

Таблица 1.18. Таблица истинности высказывания (A&B)v( &)

А	В			&
0	0	1	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	0
1	1	0	0	0

Высказывания, у которых таблицы истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных вы­сказываний используют знак «=» (А = В). Рассмотрим сложное высказывание

(А ^ В) v ( ^) — табл. 1.19.

Таблица 1.19. Таблица истинности выражения (А& В) v ( &)

А		B		А&В	&	(А & В) v (А &B)
0	1	0	1	0	1	1
0	1	1	0	0	0	0
1	0	0	1	0	0	0
1	0	1	0	1	0	1

Если сравнить эту таблицу с таблицей истинности операции эквивалентности высказываний A v В (см. табл. 1.17), то можно увидеть, что высказывания (А ^ В) v (А ^ В) и А ~ В тождест­венны, т. е. (А ~ В) = (А л В) v (А л В).

В алгебре высказываний можно проводить тождественные преобразования, заменяя одни высказывания равносильными им другими высказываниями.

Свойства операций. Исходя из определений дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, устанавливаются свойства этих операций и взаимные распределительные свойства. Приведем примеры некоторых из этих свойств:

Высказывания, образованные с помощью нескольких опера­ций логического сложения, умножения и отрицания, называют­ся сложными. Истинность всякого сложного высказывания устанавливается с помощью таблиц истинности. Сложные вы­сказывания, истинные (true) для любых значений истинности входящих в них простых высказываний, называются тождест­венно-истинными. Наоборот, тождественно-лож­ными являются формулы, принимающие значение false для любых значений входящих в него простых высказываний.

В табл. 1.20 приведено доказательство истинности дистрибутивного закона. Аналогичным образом могут быть доказаны и другие тождества.

Таблица 1.20. Доказательство истинности
А	B	C	BvC	A^(BvC)	А^B		А^C	(A ^B)v(A ^С)
0	0	0	0	0	0		0	0
0	0	1	1	0	0		0	0
0	1	0	1	0	0		0	0
0	1	1	1	0	0		0	0
1	0	0	0	0	0		0	0
1	0	1	1	1	0		1	1
1	1	0	1	1	1		0	1
1	1	1	1	1	1		1	1

Доказательство таблицы истинности дистрибутивного закона

На рис. 1.8, а—е приведены иллюстрации к основным логи­ческим операциям и их композициям (так называемые диа­граммы Эйлера — Венна) — области истинности каждого из высказываний и их объединения (дизъюнкции), пересечения (конъюнкции) и других операций. «Первый» из законов де Мор­гана иллюстрируется рис. 1.8, д, е.

Операции над битовыми строками. В некоторых современных ЯП реализованы операции и/или функции обработки битовых строк (машинных слов, их частей или групп, которые могут со­держать числовые, символьные, мультимедийные и пр. данные). Наиболее распространенными являются побитовые операции, прямо вытекающие из рассмотренных ранее операций над логи­ческими данными (табл. 1.21).

Рис. 1.8. Некоторые примеры диаграмм Эйлера — Венна:

а — конъюнкция высказываний А и В (AND); б — дизъюнкция высказываний А и В

(or); в — исключающая дизъюнкция (xor); г — разность высказываний (А — В);

д — иллюстрация к законам де Моргана (дополнение пересечения высказываний);

е — иллюстрация к законам де Моргана (объединение дополнений)

Таблица 1.21. Операнды и результаты некоторых побитовых операций

X	У	х & у	X v у	X IMP y	.x EQV y	х XOR y
0	0	0	0	1	1	0
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	0	1
1	1	1	1	1	1	0

Логические операции.

NOT. Поразрядный оператор not (he), или дополнение, является одноместной операцией, которая выполняет логическое отрицание на каждом бите, формируя дополнение данного би­нарного значения. Биты, содержавшие бывшие «0», устанавлива­ются в «1»_{; и} наоборот. Например:

1000 = NOT 0111

Во многих языках программирования (включая С), пораз­рядный оператор not обозначается как «~» (тильда). Этот оператор не следует путать с «логическим отрицанием» («!» — восклицательный знак), который обрабатывает все значение как отдельное булевское.

OR. Побитовый оператор OR (или, «включающее или») об­рабатывает две битовые строки равной длины и создает третью (той же длины), где каждый бит является результатом опера­ции «включающее или» над каждой парой входных битов. Например:

0111 = 0101 OR 0011

В ЯП С поразрядный оператор OR обозначается символом «|» (вертикальная черта). Его булевский аналог обозначается как «||».

XOR («исключающее или») выполняет логическую операцию XOR на каждой паре соответствующих битов двух строк оди­наковой длины. Например:

0110 = 0101 XOR 0011

В ЯП С поразрядный оператор XOR обозначается как «^» («крышка»).

Ассемблерные программисты иногда используют операцию XOR как краткую команду обнуления значения регистра. Выпол­нение XOR над двумя одинаковыми значениями всегда дает нуль в результате, и во многих архитектурах эта операция требует меньшего количества циклов центрального процессора, чем по­следовательность операций, которые загружают нулевое значе­ние в регистр.

AND. Поразрядный and (и) выполняет логическую опера­цию AND на каждой паре соответствующих битов двух битовых строк. Например:

0001 = 0101 AND ООН

В ЯП С поразрядный оператор and обозначается как «&» (амперсанд). Булевский аналог записывается как «&&» (два ам-персанда).

Битовые сдвиги (bit shifts). Эти операции также осу­ществляются на битовом уровне и являются унарными. В этих операциях биты сдвигаются в регистре (влево или вправо). По­скольку регистры компьютера имеют ограниченный размер, не­которые биты будут «выдвинуты из регистра» с одной из его сто­рон, и аналогичное число бит должно быть «вдвинуто в регистр» с другой. Основное различие в операциях битовых сдвигов за­ключается в том, как именно они обрабатывают эти «вдвиги/вы-двиги».

Арифметический сдвиг. При арифметическом сдвиге аннулируются биты, которые сдвинуты из любого конца регист­ра. Однако при арифметическом сдвиге влево с правой стороны вдвигаются нули, а при сдвиге вправо знаковый разряд остается в крайнем правом разряде, сохраняя знак операнда (рис. 1.9, а, б). Арифметический сдвиг влево на п разрядов эквивалентен умно­жению на 2" (если не происходит переполнения), в то время как арифметический сдвиг вправо на п эквивалентен делению на 2".

Логический сдвиг. При логическом сдвиге аннулируют­ся биты, которые сдвинуты, и их место занимают нули (в любом конце регистра) — рис. 1.9, в, г. Поэтому, логический и арифме­тический сдвиги влево оказываются тождественными. Однако логический сдвиг вправо вставляет биты со значением «0» вместо копии знакового разряда. Следовательно, логический сдвиг является более подходящим для двоичных чисел без знака, в то время как арифметический сдвиг — для двоичных со знаком

Рис. 1.9. Битовые сдвиги:

а — арифметический сдвиг вправо; б — арифметический сдвиг влево; в — логи­ческий сдвиг вправо; г — логический сдвиг влево; д — правый циклический сдвиг (вращение); е — левый циклический сдвиг; ж — правый циклический сдвиг через перенос; з — левый циклический сдвиг через перенос

Циклический сдвиг или разрядное вращение. В этой операции биты, «выдвигаемые» из регистра в любую сторону, «вдвигаются» в регистр с другой его стороны (рис. 1.9, д, е). Эта операция используется, если необходимо сохранить все сущест­вующие биты, и часто применяется в цифровой криптографии.

Циклический сдвиг «через перенос». В отличие от обычного сдвига (или сдвига «не через перенос») здесь считает­ся, что два конца регистра отделены флажком переноса («п» на Рис. J.9, ж, з). Бит, который «вдвинут» (с любой стороны реги­стра), — старое значение флажка переноса, а бит, который «вы­двинут» (с противоположной стороны) становится новым значением флажка переноса. Единичный сдвиг через перенос может моделировать логиче­ский или арифметический сдвиг позиции, устанавливая флажок переноса заранее. Например, если флажок переноса содержит «О», то правый сдвиг через перенос соответствует логическому сдвигу вправо, а если флажок переноса содержит копию знако­вого разряда, то это арифметический сдвиг. Поэтому некоторые микроконтроллеры имеют только команды циклического сдвига. Циклический сдвиг через перенос особенно полезен, если опе­рация осуществляется над числами, большими разрядности про­цессора (двойной или более длины). Если число хранится в двух регистрах, то бит, который «выдвинут» из первого регистра, дол­жен быть «вдвинут» во второй. В данном случает этот бит сохра­няется во флажке переноса в течение первого сдвига и готов к участию во втором сдвиге без какой-либо дополнительной под­готовки.

Битовые манипуляции. Кроме перечисленных команд, существует большая группа операций, в том или ином виде реали­зованная в различных процессорах и объединяемая под общим названием «битовые манипуляции/жонглирование» (bit manipu­lation, bit twiddling, bit bashing). Эти операции связаны с задачами обнаружения и коррекции ошибок, алгоритмами шифрации дан­ных и оптимизации, обработки мультимедийных данных и пр. Например, в ЦП Motorolla 68000 — это команды bset (установка битов в «1»), BCLR (установка битов в «0») и btst (переустановка нулевых битов); в системе команд SSE4 — это popcnt («Population Count» — подсчет количества битов, например уста­новленных в «1») и т. д.

В процессорах архитектуры К10 (AMD) добавлен функцио­нальный (исполнительный) блок расширенных битовых манипуляций — Advanced Bit Manipulation (ABM) — см. рис. 3.33.

Синтез и оптимизация схем

При построении схемы, реализующей произвольную таблицу истинности, каждый выход анализируется (и строится схема) от­дельно. Для реализации таблицы истинности с помощью логиче­ских элементов «И» достаточно рассмотреть только те строки таблицы истинности, которые содержат логические «1» в выход­ном сигнале. Строки, содержащие в выходном сигнале логический «0», в построении схемы не участвуют. Каждая строка, со­держащая в выходном сигнале логическую «1», реализуется схе­мой логического «И» с количеством входов, совпадающим с количеством входных сигналов в таблице истинности. Входные сигналы, описанные в таблице истинности логической «1», пода­ются на вход этой схемы непосредственно, а входные сигналы, описанные в таблице истинности логическим «0», подаются на вход через инверторы. Объединение сигналов с выходов схем, реализующих отдельные строки таблицы истинности, произво­дится с помощью схемы логического «ИЛИ». Количество входов в этой схеме определяется количеством строк в таблице истинно­сти, в которых в выходном сигнале присутствует логическая «1». Рассмотрим конкретный пример. Пусть необходимо реализо­вать таблицу истинности, приведенную в табл. 1.22.

Для построения схемы, реализующей сигнал у₁, достаточно рассмотреть строки, выделенные светлой штриховкой. Эти стро­ки реализуются сборкой (микросхемой) S₂ на рис. 1.10. Каждая строка реализуется своей схемой «И», затем выходы этих схем объединяются. Для построения схемы, реализующей сигнал у₂, достаточно рассмотреть строки, выделенные более темной штри­ховкой. Эти строки реализуются сборкой S₃. Инвертирование входов схемы осуществляется сборкой S₁.

Преобразования логических формул. Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упроще­ния формул или приведения их к определенному виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая по сравнению с исходной либо содержит меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содер­жит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и соче­тательного законов и т. п.), тогда как другие преобразования ос­нованы на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъ­юнкции, свойств поглощения и склеивания, законов де Моргана и др.).

Практическая работа 6 -7-8. Регистры процессора. Память.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков работы с регистрами процессора. и памятью.

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Прочитать методические указания 1, 2

2. Разобрать приведенные примеры 1, 2

3. Выполнить задания к работе 1 и 2

4. Ответить на контрольные вопросы 1, 2

Оформите отчет, который должен содержать:

- титульный лист (см. приложение);

• постановку задачи;

• формулировка варианта задания.

• размещение данных в ОЗУ.

• программа в форме таблицы

• последовательность состояний регистров ЭВМ при выполнении программы в режиме Шаг для одного значения аргумента.

• результаты выполнения программы для нескольких значений аргумента, выбранных самостоятельно.