Эргодическая теорема Биркгофа-Хинчина

Для любого стационарного случайного процесса в узком смысле X(t), имеющего конечное математическое ожидание с вероятностью 1 существует предел

Для ссп с непрерывным временем, для ссп с дискретным временем.

Если при этом X(t) – эргодический стационарный случайный процесс, то

В условии теоремы - условное математическое ожидание случайного процессаX(t) относительноJ_x;J_x–-алгебра инвариантных по отношению кX(t) событий; событие А называется инвариантным относительноX(t), если Bтакое, чтоA={ω:X(ω,t)B}.

Достаточные условия эргодичности

Теорема 1.Стационарный случайный процессX(t) эргодичен относительно

математического ожидания, если его корреляционная функция

стремится к нулю при τ→∞;

при этом: .

Теорема 2.Стационарный случайный процессX(t) эргодичен относительно

дисперсии, если корреляционная функция стационарного слу-

чайного процесса Y(t)=X²(t) стремится к нулю при τ→∞;

при этом:

Теорема 3.Стационарный случайный процессX(t) эргодичен относительно

корреляционной функции, если стремится к нулю при τ→∞ кор-

реляционная функция стационарного случайного процесса

Z(t, τ)=;

при этом:

При практических расчетах интервал (0;Т) разбивается на nравных частейв каждом промежутке выбирается точкаt_i (например, середина). Если ограничиться формулой прямоугольников, получаем