Теория вероятностей 3

Элементы теории множеств. 3

Способы задания множеств. 3

Понятие подмножества. Свойства подмножеств. 3

Операции над множествами. 4

Дистрибутивные законы. 6

Законы Моргана. 6

Конечные множества и их элементы. 6

Понятие алгебры множеств σ – алгебры. 7

Борелевские множества. Борелевская σ – алгебра. 7

Бином Ньютона. Биноминальные коэффициенты и их свойства. 7

Полиномиальная теорема. 8

Формула Стирлинга. 8

Комбинаторика. 8

Выбор с возвращением. 9

Выборка без возвращения. 10

Размещения с повторениями. 12

Теория вероятностей. 12

События и их классификация. 12

Операции над событиями. 13

Понятие вероятности. 14

Статистический подход к определению понятия вероятности. 14

Классический подход к понятию вероятности (метод подсчета шансов). 14

Парадокс Мере. 14

Вечерняя электричка. 15

Геометрический подход. 15

Задача Бюффона. 16

Аксиоматический подход к вероятности. Вероятностное пространство. Аксиомы вероятности Колмогорова. 17

Вероятности, вытекающие из аксиом. 18

Задача о совпадениях. 19

Условная вероятность. Правило умножения вероятностей. 20

Независимость событий. 21

Задача о наилучшем выборе. 22

Расчет работоспособности цепей 22

Формула полной вероятности. 23

Задача о разорении игрока. 24

Формула вероятностей гипотез. (Формула Байеса) 25

Случайные величины. 25

Дискретные случайные величины. 26

Свойства функции распределения. 27

Биноминальное распределение (Независимые испытания по схеме Бернулли). 27

Асимптотическое представление формулы Бернулли. 28

Теорема (формула) Пуассона. 31

Локальная теорема Муавра-Лапласа. 31

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. 32

Распределение Пуассона (случай редких событий) 33

Геометрическое распределение 33

Непрерывные случайные величины. 33

Свойства плотности вероятности: 33

Свойства функции распределения: 33

Многомерные законы распределения 35

Независимые случайные величины 36

Операции над случайными величинами: 36

Математическое ожидание 37

Свойства математического ожидания 38

Функции случайного аргумента и их мат. ожидание. 40

Дисперсия 40

Свойства дисперсии 41

Математическое ожидание и дисперсия важнейших распределений 42

Биномиальное распределение 42

Распределение Пуассона 43

Геометрическое распределение 43

Непрерывное равномерное распределение на отрезке 44

Показательное распределение 44

Условные законы распределения 45

Свойства условных вероятностей и плотностей вероятностей 46

Условное математическое ожидание 46

Корреляционный момент (корреляция) двух случайных величин 48

Свойства корреляционного момента 48

Коэффициент корреляции и его свойства 48

Уравнения Регрессии 50

Характеристики 51

Неравенство Чебышева 51

Вероятность отклонения случайной величины от их математического ожидания. Правило σ. 51

Отклонение от математического ожидания случайной величины, распределенной по биномиальному закону 52

Нормально-распределенная случайная величина. 52

Гауссово распределение 52

Нормальное распределение с параметрами (а;σ) 53

Основные свойства кривой Гаусса 53

Расчет доверительных интервалов 55

Некоторые важнейшие распределения связанные с нормальным. 55

- распределение. 55

Распределение Стьюдента ( t – распределение) 56

Распределение Фишера-Снедекора ( F – распределение). 57

Закон больших чисел. 57

Теорема Чебышева. 57

Теорема Бернулли. 58

Центральная предельная теорема. 59

Теорема Ляпунова. 59

Потоки событий. 59

Свойства потоков: 59

Введение в теорию случайных процессов 68

Тема 1. Основные понятия теории случайных процессов 68

1.1. Определение случайного процесса. Основные подходы к заданию случайных процессов. Понятие реализации и сечения. Элементарные случайные процессы. 68

1.2. Некоторые классы и виды случайных процессов 69

ТЕМА 2. Элементы корреляционной теории случайных процессов 70

2.1. Понятие корреляционной теории случайных процессов 70

2.2. Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса. Среднеквадратическое отклонение 70

2.3. Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства. Нормированная корреляционная функция 71

2.4. Взаимная корреляционная функция и нормированная взаимная корреляционная функция двух случайных процессов 71

2.5 Вероятностные характеристики суммы двух случайных величин 72

Тема 3. Элементы случайного анализа 72

3.1. Сходимость и непрерывность 72

3.2. Производная случайного процесса и ее свойства 73

3.3. Интеграл от случайного процесса и его свойства 74

ТеМА 4. Канонические разложения случайных процессов 74

4.1. Понятие канонического разложения случайного процесса 74

4.2. Понятие обобщенной функции. Дельта-функция Дирака. Интегральное каноническое представление случайных процессов. 76

4.3. Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов 77

Глава 5. Стационарные cлучайные процессы 78

5.1. Понятие стационарного случайного процесса. Стационарность в узком и широком смыслах 79

5.2 Свойства вероятностных характеристик стационарного случайного процесса 79

5.3. Стационарно связанные случайные процессы. Производная и интеграл от стационарного случайного процесса 80

5.4. Эргодические стационарные случайные процессы и их характеристики 80

Теория вероятностей

Элементы теории множеств.

Множество – это многое мыслимое как единое.

Кантор.

A; B;...

A₁;A_2;,... - Множества.

a; b; ....

a₁; a₂; .... элементы множества.

a A – а принадлежит множеству А.

- b не принадлежит множеству В.

Способы задания множеств.

1. Запись множества списком

A = {a₁; a₂; ... ; a_n}- в случае конечного множества

A = {a₁; a₂; ... }- в случае бесконечного множества, если закономерность очевидна.

Пример B = {2; 4; 6; 8.....}

2. Запись множества с помощью характеристического свойства (ХСМ)

ХСМ – называется такое свойство которым обладают все элементы данного множества и не обладают не один элемент не вошедшие в это множество.

A = {a: P(a)}

Пример: A = {x: (x R) & ( x ≥ 0)}

Множество, не содержащее ни одного элемента. называется пустым Ø.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов A = B.

Понятие подмножества. Свойства подмножеств.

Множество В называется подмножеством множества А, если любой элемент множества В является элементом множества А.

B вложено в множество А.

- множество А включает в себя множество В.

1. (A B)&(B A)→A=B

2. Транзитивность вложения

(СB)&(BA)→СA

3. Если множество A имеет n элементов, то ровно 2ⁿ различных подмножеств множества А.

Доказать самостоятельно.

4. Пустое множество и само множество называется несобственными подмножествами. Все остальные, если они называются собственными.

A = {1; 2}

Собственные {1}, {2}

Несобственные Ø, {1; 2}