Операции над множествами.

1. Объединение – объединение множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов входящих в хотя бы в одно из этих множеств.

A B = {c: (cA)(cB)}

1. A B = BA – коммутативность

2. A(BC) = (AB)C = ABC – ассоциативность

3. A A = A – идемпотентность

4. A ø = A

5. (BA) → B A = A

2. Пересечение множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов одновременно входящих в оба множества.

AB={c: (cA)&(cB)}

1. AB = BA – коммутативность

2. A(BC) = (AB)C = ABC – ассоциативность

3. AA = A – идемпотентность

4. A ø = ø

5. (BA) → BA = B

Если А В = Ø, то такие множества называются не пересекающимися

Система множеств А₁; A_2; A₃; ... A_n называется разбиением множества А, если выполняется два условия:

1. А₁ A₂ A₃ ... A_n = A

2. A_iA_j =

2. Разностью множеств А и В, называется множество С, которое состоит из всех элементов множества А не входящих в В.

А \ В = {c: (cA)&(cB)}

А \ В = A \ (AB)

2. Симметрической разностью множеств А и В, называется множество С, которое состоит из всех элементов входящих либо только в А, либо только в В.

2. Понятие универсального множества. Операция дополнение.

Множество U, называется универсальным для множеств А₁; A_2; A₃; ... A_n , если все эти множества входят в множество U как подмножества.

Множество , называется дополнительным множеством или дополнением множества, если оно состоит из всех элементов универсального множества не принадлежащих множеству А.

1. 

2. 

3. 

4. 

Дистрибутивные законы.

1. 

2. 

Законы Моргана.

1. 

2. 

Конечные множества и их элементы.

N(A) – количество элементов множества А

1. 

2. 

3. 

Доказать самостоятельно.

Понятие алгебры множеств σ – алгебры.

Множество А подмножеств множества U называется алгеброй множеств, если:

1. Ø А ; U А;

2. А; А

3. А

А

А

Алгебра множеств называется σ – алгеброй, если из условия, что А₁; A_2; A₃; ... А следует, что А; А

Пусть γ– некоторая система множеств, тогда наименьшая алгебра, содержащая γ называется алгеброй, порожденной системой γ.

Наименьшая σ – алгебра содержит систему множеств γ называется σ – алгеброй порожденной системой γ

Теорема: конечное разбиение множестваU порождает алгебру множеств.

Обратное алгебра множеств порождается некоторым конечным разбиением.

Борелевские множества. Борелевскаяσ– алгебра.

σ – алгебра ß числовых множеств, порожденная всевозможными интервалами и полуинтервалами вида называется борелевским.

Множества составляющие ß называется борелевскими.

Бином Ньютона. Биноминальные коэффициенты и их свойства.

, где .

; 0!=1.

Доказать самостоятельно бином Ньютона методом математической индукции.

Свойства.

1. - свойство симметрии.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Полиномиальная теорема.

, где

- Полиномиальный коэффициент.

Формула Стирлинга.

~

Комбинаторика.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором разрабатываются принципы и методы подсчета вариантов тех или иных событий или явлений.

1. Правило сложения.

Если действие А может быть осуществлено n способами, а независимое от него действие В может быть осуществлено m способами, то действие «либо А, либо В» может быть осуществлено n+m способами.

2. Правило умножения.

Если действие А может быть осуществлено n способами и после каждого из них действие В может быть осуществлено m способами, то последовательность действий «А и В» может быть осуществлена n*m способами.