2. Сходимость по вероятности

Говорят, что последовательность случайных величин Х_nсходится повероятностик случайной величине Х приn, если

.

Обозначение:

Обратите внимание, что при nимеет место классическая сходимость вероятностик 1, то есть с возрастанием номераnможно гарантировать сколь угодно близкие к 1 значения вероятности. Но при этом нельзя гарантировать близости значений случайных величин Х_nк значениям случайной величины Х ни при каких сколь угодно больших значенияхn, поскольку мы имеем дело со случайными величинами.

Случайный процесс X(t),tTназываетсястохастически непрерывным в точкеt₀T, если

3. Сходимость в среднем в степени p1

Говорят, что последовательность случайных величин X_nсходится в среднем в степени p1к случайной величине Х, если

Обозначение: X_nX.

В частности, X_nсходитсяв среднеквадратичномк случайной величине Х, если

Обозначение: или

Случайный процесс X(t),tTназываетсянепрерывным в среднеквадратичномв точкеt₀T, если

4. Сходимость почти наверное (сходимость с вероятностью единица)

Говорят, что последовательность случайных величин Х_nсходится почти наверное к случайной величине Х, если

где ω- элементарное событие вероятностного пространства (,A, Р).

Обозначение: .

5. Слабая сходимость

Говорят, что последовательность функций распределения случайных величин Х_nслабо сходитсяк функции распределенияF_X(x) случайной величины Х, если имеет место поточечная сходимость в каждой точке непрерывности функцииF_X(x).

Обозначение: F_X(x).

6. Связь различных типов сходимости

Если последовательность случайных величин {X_n} сходится к случайной величине Х почти наверное или в среднем в степениp≥1, то она автоматически сходится к Х и по вероятности. В свою очередь, сходимость по вероятности гарантирует слабую сходимость последовательности функций распределения.

3.2. Производная случайного процесса и ее свойства

В соответствии с классическим определением, производная случайного процесса X(t) должна быть определена как предел разностного отношенияприh→0 в смысле соответствующей сходимости. Можно показать, что сходимость по вероятности обладает рядом недостатков, которые делают этот подход практически бесполезным.

Случайный процесс X(t) называется дифференцируемым, если существует случайный процесстакой, что

При этом случайный процесс называется производной случайного процессаX(t) и обозначается следующим образом: .

Теорема 1.Математическое ожидание производной случайного процесса равно производной от математического ожидания самого случайного процесса:.

Следствие..

Теорема 2.Корреляционная функция производной случайного процессаX(t) равна второй смешанной производной от его корреляционной функции:.

Теорема 3.Взаимная корреляционная функция случайного процессаX(t) и

его производной равна частной производной его корреляционной функции по переменной, соответствующей производной:.

3.3. Интеграл от случайного процесса и его свойства

Интегралом от случайного процесса X(t) на отрезке [0, t] называется предел в среднеквадратичном при λ→0 (n→0)

интегральных сумм гдеs_i(t_i; t_i+1); λ=max(t_i+1 - t_i), i=0,…,n-1.

Теорема 4.Математическое ожидание интеграла от случайного процесса равно интегралу от его математического ожидания:,.

Теорема 5.Корреляционная функция интеграла от случайного процессаX(t) равна двойному интегралу от его корреляционной функции:.

Теорема 6.Взаимная корреляционная функция случайного процессаX(t) и его интеграла равна интегралу от корреляционной функции случайного процессаX(t):