Неравенство Чебышева

Если случайная величина ξ имеет конечную дисперсию, то для имеет место следующее соотношение

1. 

2. 

3. 

Второе неравенство Чебышева показывает, при малой дисперсии с вероятностью близкой к 1 случайные величины локализуются около своего математического ожидания

Вероятность отклонения случайной величины от их математического ожидания. Правило σ.

ε
σ
2σ
3σ
4σ

Отклонение от математического ожидания случайной величины, распределенной по биномиальному закону

Нормально-распределенная случайная величина.

Гауссово распределение

Нормальным распределением с параметрами называется распределение случайной величины ξ, которая имеет следующую плотность распределение вероятности

1. 

2. Нормированное (стандартное) распределение называется нормальное распределение с параметрами (0;1)

с) Вероятность попадания нормированной случайной величины на заданный отрезок

d) Отклонение нормированной случайной величины от её математического ожидания

ε
1
2
3
4

Нормальное распределение с параметрами (а;σ)

Пусть

Плотность распределения и

Кривая Гаусса

Основные свойства кривой Гаусса

1. 

2. ось симметрии

3. при

4. точкаmax

5. точки перегиба

σ = 3

σ = 1

σ = 8

При увеличении σ уменьшается амплитуда, и график становится более пологим

2. Основные характеристики нормального распределения

3. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на заданный отрезок

4. Отклонение нормально распределенной случайной величины от её математического ожидания

	0.6826
2	0.9544
3	0.9973
4	0.9994

Правило трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то считается практически невозможным ее отклонение от Мбольше, чем на 3.

Более того, на практике, если некоторая случайная величина отклоняется от своего среднего значения меньше чем на 3, то есть основание предполагать, что эта случайная величина нормально распределенная.

Расчет доверительных интервалов

Считается, что параметры нормального распределения известны и заданна вероятностьотклонения случайной величины от М, в которую случайная величина попадает с вероятность.

Пример:

Найти интервал, попадание в который, осуществляется с вероятностью =0.95

0.95 = 2

= 0.475

= 1.96

Некоторые важнейшие распределения связанные с нормальным. - распределение.

- случайная величина, нормально распределенная с параметрами (0: 1), тогда случайная величинаимеет следующую плотность распределения:

Пусть, - совокупностьnнезависимых нормально распределенных случайных величин с параметрами (0;1), тогда случайная величина =обладает распределением, которое принято называть - распределением сnстепенями свободы.

Свойства - распределния:

1. Плотность - распределения.

=

Гамма функция.

Плотность - распределения исключительно зависит от степеней свободык.

2.

являются монотонно убывающими.

При к = 3 :х =к-2 есть локальный максимум.

3.

4. С увеличением к– числа степеней свободы - распределение медленно приближается к нормальному.