Независимые случайные величины

Случайные величины ξ и η называются независимыми, если для совместного закона распределения дискретных случайных величин ξ и η и для плотности совместного распределения вероятностей непрерывных случайных величин ξ и η выполняются следующие соотношения:

Если случайные величины независимы, то двумерное распределение или плотность двумерного распределения однозначно определяются одномерными законами.

Операции над случайными величинами:

1. Сложение и вычитание дискретных случайных величин:(дзета)

Замечание: Если какие-то суммы совпадают, то соответствующие вероятности просто складываются.

2. Произведение двух дискретных случайных величин

3. Сумма двух независимых непрерывных случайных величин

Математическое ожидание

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины называется сумма попарных произведений значений этой случайной величины на вероятности их осуществления.

Обозначения:

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется выражение следующего вида:

Примеры:

1.

2. Выпадение грани кубика

ξ	1	2	3	4	5	6
p	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

4. Равномерное распределение на отрезке [0,1]

Свойства математического ожидания

4.Константа-множитель выносится из-под знака математического ожидания.

5. Математическое ожидание от алгебраической суммы любых случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.

а) для дискретных

б) для непрерывных

Следствие:

6. Если случайные величины ξ и η – независимы, то мат. ожидание от произведения случайных величин равно произведению их мат. ожиданий.

а) для дискретных

б) для непрерывных

7. Неравенство Йенсена

Если функция выпукла вниз, то для любой случайной величины ξ

Доказательство:

Предположим, что функция g(x)дважды дифференцируема по формуле Тейлора:

Вторая производная выпуклых вниз функций всегда положительная:

Пусть

8. Неравенство Ляпунова

Для любых положительных α,β; 0<α<β

Доказательство:

, т.к., то функция выпукла вниз, значит применимо неравенство Йенсена

9. Неравенство Коши-Буняковского

Для любых двух случайных величин ξ и η

10. Неравенство Гёльдера

p>1,q>1

тогда

11. Неравенство Минковского

Если , р>1

Задача: По мишени делают 3 выстрела. Результаты этих выстрелов не зависят друг от друга. Вероятность попадания при первом , при втором, при третьем.

Рассматривается случайная величина, характеризующая число попаданий в мишень. Найти её мат. ожидание.

1.

ξ	0	1	2	3
p	0,168	0,436	0,324	0,072

попадание при 1,2,3 выстреле соответственно.

а)

б)

в)

г)

2. - число попаданий при первом выстреле

- число попаданий при втором выстреле

- число попаданий при третьем выстреле

Функции случайного аргумента и их мат. Ожидание.

Определение: Если любому значению случайной величины ξ соответствует и при этом единственное значение случайной величины η, то говорят, что задана функция случайного аргумента ξ.

1. ξ – дискретная случайная величина.

Если в каких-то колонках будут одинаковые значения, они должны быть просуммированы.

2. ξ – непрерывная случайная величина

Рассматривается функция случайного аргумента ξ. При этом неслучайная функциядифференцируема, монотонна и имеет обратную. Пусть также случайная величина ξ имеет плотность распределения.

3.

4.