Глава 2.

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ФИЗИКЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

В предыдущих разделах приведено качественное описание собст­венной и примесных проводимостей. Для количественной характеристики этих проводимостей, а также для определения зависимости проводимостей от температуры и других факторов нужно знать концентрацию подвижных носителей (электронов и дырок) в различных условиях. Эта концентрация может быть найдена только из зонной теории твердого тела. Ниже рас­сматривается упрощенное определение концентрации свободных носите­лей в собственных и примесных полупроводниках и смещение уровня Ферми в примесньи. полупроводниках, использующееся при дальнейшем изложении. Для определения концентрации носителей в зонной теории ис­пользуется функция распределения Ферми - Дирака, заимствованная из статистической физики, и плотность квантовых состоянии g(W) (плотность энергетических уровней) в определенном энергетическом диапазоне dW, заимствованная из квантовой механики. Все остальные математические положения зонной теории вытекают из этих двух посылок.

1. Функция распределения Ферми-Дирака

Из физики известно, что положение электрона может быть опреде­лено лишь в вероятностном смысле. Распределение Ферми - Дирака дает вероятность f_n{W) того, что любой частный уровень энергии W занят электроном [2,3]:

/„(*П = ijrj— , (2.1)

е ^кТ +1

где W_f - уровень Ферми, вероятность занятия его равна 1 /2;

Т - абсолютная температура по Кельвину; к - постоянная Больцмана.

В невырожденных состояниях W-W_F » кТ и распределение (2.1) пе­реходит в классическое распределение Больцмана - Максвелла:

IV-IV_F

f„(W) = e ^кТ . (2.2)

2. Плотность квантовых состояний

Из квантовой механики известно, что плотность квантовых состоя­ний в разрешенных зонах изменяется по определенным законам.

В частности, для нижнего края зоны проводимости и верхнего края валентной зоны плотность квантовых состояний g(fV) (плотность энерге­тических уровней) в узком диапазоне энергии уровне W определяет­

ся следующим выражением [2,3] (в единицах объема - уровни/(Дж-см³)):

1^

g(W) = c(W -0^)2, (2.3)

где Wry - энергия границы зоны (верхнего края валентной зоны или нижне­го края зоны проводимости);

3

2л (2 • т_эф)²

к³

^эф> (2.4)

т,ф - эффективная масса (электрона - в зоне проводимости, дырки - в валентной зоне); h - постоянная Планка.

3. Концентрация носителей в зонах

Концентрация электронов dп в диапазоне энергий d W около уровня W в зоне проводимости может быть определена как произведение вероят­ности f„(W) занятия электронами уровня Wи количества уровней g(W) dW в этом диапазоне:

dn=2f_n(W)g(W)dW.

Тогда концентрация электронов п по всей зоне проводимости опре­делится интегрированием dп от ее нижнего края W_c в глубь зоны (для не­вырожденных полупроводников в зоне проводимости справедливо (2.2)):

I ^W~^VF ^Wc-WF

" = 2 \f_nW)g(W)dW =2-с_с j(W-W_c)²-е ^кТ dW=N_c-e ^кт ,(2.5) w_c w_c

где

^ 3

161 ^гппэф

~ Г

N_c=2c_c(kT)²- = 0,5-W ,

2. I m_n j

²Т². (2.6)

W - W„

Интеграл (2.5) приводится к табличному подстановкой х = -

кТ

N_c называют эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Практически это максимально возможная концентрация п в невырожден­ном состоянии, равная приблизительно 5-10¹⁹ см³. с_с - коэффициент из

4. , в котором /и_Эф - эффективная масса электрона в зоне проводимости.

Концентрация дырок в валентной зоне находится таким же образом, только вместо f„(W) подставляется вероятность появления дырки в валент­ной зоне f_p{W), равная вероятности отсутствия электрона на этом уровне:

W-W_F

1 ~кГ~ 1 ^WF~^W

f (W) = 1 - f (W) = 1 = — = = e ^kT

J pV ) J n v^r ) w-w_F w-w_F w-w_F >

e ^kT +1 e ^kT +1 1 + e ^kT

а интегрирование no W производится от верхнего края W_v в глубь валент­ной зоны:

W_F-W„

P = N„-e ^кт , (2.7)

где

з з

з г- -I/o-... i.rr\2 f... \

N_v= 2 • c_v(kT)² — = ²⁽²™¹*Ъ^кР . ₌ 0 5 .₁₀16 2 h

m

рэф

^mn

\ P J

2 -

T². (2.8)

N_u называют эффективной плотностью состояний в валентной зоне. Практически N_v равна максимальной концентрации дырок в невырожден­ном состоянии: N_u и N_c.

N

——=1,7 и 2,8 для Ge и Si, т.е. эти значения близки, поэтому

N_v х N_c ■ ^с_и - коэффициент из (2.8), где /и_эф - эффективная масса дырки в валентной зоне.

Концентрация свободных носителей п, р в (2.5) и (2.7) определена при заданной температуре 1° через неизвестный уровень Ферми W_F. В об­щем случае уровень Ферми сам является функцией концентрации носите­лей. Общее решение этой задачи довольно сложно, но для некоторых част­ных случаев уровень Ферми W_F может быть легко найден. Ниже определя­ется используемый в последующем изложении уровень Ферми для собст­венного и примесного полупроводников при температуре 300 К. Уровень W_F рассчитывается при тепловом равновесии из условий электрической нейтральности полупроводника (закона сохранения заряда).

4. Собственный полупроводник

В собственном полупроводнике имеются только свободные электро­ны и, и дырки p_t. Доноров и акцепторов нет (N_R = 0, N_a - 0). Электрическая нейтральность (равенство положительного и отрицательного зарядов) обу­словлена равенством концентраций электронов и дырок:

Щ= Pi-

Концентрацию собственных электронов и дырок согласно (2.5) и

7. можно записать, обозначив уровень Ферми для собственного полу­проводника W р :

w_c-w‘_F w‘_F-w_v

rij=N_c-e ^кт , Pj=N₀-e ^kT . (2.9)

Приравняв правые и левые части (2.9), можно найти равенство

w‘_F-w_v

N_c-e ^кт = N₀ ■ е ^кт ,

из которого легко найти уровень Ферми в собственном полупроводнике (считая N_c « N_v):

_Wi₌w_£±K₊kT _(2Л0)

^F 2 2 N_c 2

Уровень W_F в собственном полупроводнике находится на середине за-

АИГ ^AW

прещеннои зоны Afr на расстоянии -у- от зоны проводимости и от ва­лентной зоны (рис. 2.1 ,а; 2.2).

а б в

Рис. 2.1

28

Тогда концентрации собственных носителей при заданной темпера­туре могут быть записаны как функции ширины запрещенной зоны:

АГ A W

_ni = N_c-e^2kT, _Pi=N_B.e'^lkT, (2.11)

из которых могут быть получены упоминавшиеся ранее концентрации соб­ственных носителей:

и, = р, = 2,5 ■ 10¹³ см ~³ - для Ge,

и, = р, = 2,1 • 10¹⁰ см ^-3 - для Si.

Перемножая правые части (2.5), (2.7) и (2.9), можно убедиться в справедливости (1.2) и (1.4). Из (2.11) также очевидна зависимость концен­траций и, и pi от температуры, обусловленная, в основном, экспонентой (кроме показателя степени температура входит еще сомножителем Т^Ш в коэффициенты N_v, N_c).

5. Примесный полупроводник. Смещение уровня Ферми

Для полупроводника и-типа отрицательный заряд обусловлен свб- бодными электронами, положительный заряд - ионами донора N*. В со­ответствии с (1.1) зарядом собственных дырок р, можно пренебречь. Элек­трическая нейтральность при рабочих температурах обусловлена равенст­вом концентраций электронов п„ и атомов донора Ы_л (при температуре около 300 К все атомы донора ионизированы, т.е. N* = N_a):

п_п — N_a.

С одной стороны, концентрацию п„ можно определить из (2.5), обо­значив уровень Ферми для полупроводника «-типа как Wр:

W_c-Wⁿ_F

n„=N-e

kT

Подставив найденное значение п„ в предыдущее равенство, можно найти, что уровень Ферми W р для' невырожденного полупроводника л-типа (концентрация доноров N_a не превышает эффективной плотности состояний N_c, равной примерно 5-10¹⁹ см'³) находится ниже дна зоны про­водимости W_c [2]. С другой стороны, найдя значение коэффициента^ из (2.6), можно концентрацию электронов п„ выразить через концентрацию и уровень Ферми собственного полупроводника n_t, W ":

w" -W‘_F

n_n-n_i-e ^кт (2.12)

Затем можно найти положение уровня Ферми Wр относительно середины запрещенной зоны W ‘_F :

W£=W‘p+kT ln^-. (2.13)

«;

Пример 2.1.

Найти смещение уровня Ферми Лер", если N_A = 2,5-10¹⁶ см Л Согласно (2.13)

А(р" = = —In— ¹⁰- = 0,025 • Ini О³ s 0,17 В.

q q 2,5 -10

Уровень Ферми в электронном полупроводнике смещается от середины запрещенной зоны вверх на ДWⁿ =к-Т■ In—. Это смещение тем больше,

Щ

чем больше концентрация электронов п„. Значит, уровень Ферми Wр рас­положен между нижним краем зоны проводимости W_c (точнее, между до-

норным уровнем примеси, или примесным уровнем донора) и серединой

запрещенной зоны W^l_F, как показано на рис. 2.1,6; 2.3.

Аналогично тому, как были получены равенства (2.12), (2.13), для полупроводника р,-типа можно найти равенства:

р_р=п_ге ^кг , (2.14)

Wg=W^l_F-kT- \п^~. (2.15)

Pi

Уровень Ферми W£ в дырочном полупроводнике смещается вниз от

р

середины запрещенной зоны на величину AfF/ = кТ • In——. Для невырож-

Pi

денного полупроводника (N_a < N_u) уровень W/ находится между верхним краем W_u валентной зоны (точнее, между акцепторным уровнем примеси, или примесным уровнем акцептора) и серединой запрещенной зоны W/■, как показано на рис. 2.1,в; 2.4.