3.7. Анализ результатов моделирования

3.7.1. Проверка адекватности системы

Первый вопрос, который нас интересует после проведения эксперимента и вычисления коэффициентов модели – это проверка адекватности. С этой целью вычисляем остаточную дисперсию или дисперсию адекватности:

,

где — количество опытов в эксперименте;

—количество факторов;

—экспериментальные значения отклика;

—величина отклика, предсказанная уравнением регрессии.

Для проверки гипотезы об адекватности модели пользуются - критерием Фишера, т.е. вычисляется соотношение:

,

где — это выборочная дисперсия, которая вычисляется по формуле:

,

где — количество повторений одного опыта;

—экспериментальное значение отклика в -м опыте при-м наблюдении;

.

Если рассчитанное значение - критерия не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью модель можно считать адекватной.

Рассмотренный способ расчета дисперсии адекватности применим в случае, если опыты в матрице планирования не дублируются, а информация о выборочной дисперсии извлекается из параллельных опытов в нулевой точке или из предварительных экспериментов. В общем случае,

,

где — число повторений-го опыта;

—среднее арифметическое отклика из параллельных опытов.

Здесь смысл введения в формулу заключается в следующем: различию между экспериментальным и расчетным значением придается тем больший вес, чем больше число повторных опытов.

Адекватность линейного уравнения можно проверить и другим путем. Очевидно, что коэффициент , определенный по результатам полного или дробного факторного эксперимента, всегда является оценкой:

.

С другой стороны, величина является оценкой результата опыта на основном уровне. Поэтому, если выполнить опыт на основном уровне, т.е. получитьи найти разницу, то эта величина является оценкой суммы квадратичных членов в уравнении регрессии. Если разностьвелика, линейным уравнением пользоваться нельзя, если мала – возможность использования линейного уравнения не исключена. Значимость различия можно оценить по критерию Стьюдента:

,

где — выборочное среднеквадратическое отклонение.

Гипотеза об адекватности уравнения принимается в случае, когда .

3.7.2. Проверка значимости коэффициентов

Проверка значимости коэффициентов регрессии осуществляется двумя равноценными способами: проверкой по - критерию Стьюдента или построением доверительного интервала.

Сначала находятся оценки дисперсии коэффициентов регрессии , т.е. дисперсии всех коэффициентов равны друг другу, так как они зависят только от ошибки опыта и числа опытов. Затем вычисляетсяпо уравнению:

.

Факторы, имеющие большие значения , оказывают более существенное влияние на процесс. Если, то соответствующий коэффициент регрессии незначим.

Проверку значимости коэффициентов регрессии можно осуществлять и построением доверительного интервала. В случае ортогонального планирования первого порядка доверительный интервал равен:

.

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

Если некоторые коэффициенты регрессии признаны незначимыми, то соответствующие факторы могут быть выведены из состава уравнения.