Математика 20 века.
В 20 веке продолжают развиваться те разделы математики, которые появились в прежние века.
Кроме того, потребности развития самой математики, “математизация” различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогрес вычислительной техники приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов математики и к появлению целого ряда новых математич. дисциплин, таких как теория алгоритмов, теория игр, исследование операций и т.д.
Теория игр – раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликтов. При этом под конфликтом понимается явление, в котором участвуют различные стороны, поделенные различными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в соответствии с этими интересами. Отдельные математические вопросы, касающиеся конфликтов, рассматривались многими учеными, начиная с 17в. Систематическая же математическкая теория игр быладетально разработана американским ученым Джоном фон Нейнаном и Оскаром Моргенштерном (1944г.) как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики. В ходе своего развития теория игр переросла эти рамки и превратилась в общую математическую теорию конфликтов. В рамках теории игр в принципе поддаются математическому описанию военные и правовые конфликты, спортивные состезания, “салонные” игры, а также явуления, связанные с биологической борьбой за существование.
Исследование операций – научный метод выработки количественно обоснованных рекомендаций по принятию решений. Важность количественного фактора в исследовании операций и целенаправленность вырабатываемых рекомендаций позволяют определить исследование операций как теорию принятия оптимальных решений. Сущность задачи исследования операций состоит в нахождении наиболее целесообразных, оптимальных решений. Поэтому задачи исследования операций обычно называют оптимизационными. Некоторые наиболее важные и разработанные задачи исследования операций получили название моделей исследования операций. Они обычно выделяются содержательной терминологией и имеют специфические методы решения. К их числу относятся транспортные задачи, задачи размещения, теория надежности, теория управления запасами и теория сетевого планирования. Одной из моделей исследования операций считается теория массового обслуживания.
На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возникла дискретная или конечная математика.
Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физическими или механическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математической теории оптимального управления, близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях – к возникновению и развитию теории дифференциальных игр.
Уже само зарождение (в 50г.г. 20в.) оптимального управления представляет собой яркий пример того, как запросы практики с неизбежностью порождают новые теории. Для новейшей техники и современного высокомеханизированного и автоматизированного характерно стремление выбирать наилучшую программу действий, наиболее рационально использовать имеющиеся ресурсы. Именно эти конкретные технические задачи стимулировали разработку теории оптимального управления, оказавшейся математически очень содержательной и позволившей решить многие задачи, к которым классические методы были неприемлемы.
Центральным результатом теории оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, дающий общее необходимое условие оптимальности управления. Этот результат и связанные с ним исследования, проведенные Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками, послужили исходным пунктом разработки теоретических, вычислительных и прикладных аспектов теории оптимального управления. При решении ряда задач оптимального управления с успехом используются идеи методы динамического программирования, основы которого разработаны американскими учеными Р. Беллманом и его сотрудниками.