Россия до 18 века.

Математическое образование в России находилось в 9-13 вв. на уровне наиболее культурных стран Вост. и Зап. Европы . Затем оно было надолго задержано монгольским нашествием . В 15-16 вв. в связи с укреплением русского государства и экономическим ростом страны значительно возросли потребности общества в математическом знании. В конце 16 в. и особенно 17 в. появились многочисленные рукописные руководства по арифметике , геометрии в которых излагались довольно обширные сведения , необходимые для практической деятельности ( торговли , налогового дела , артиллерийского дела , строительства и д.р.) .

В Др. Руси получила распространение сходная с греко-византийской система числовых знаков , основанная на славянском алфавите . Но уже с 16 в. эту нумерацию все более вытесняет принятая ныне десятичная позиционная система .

Наиболее древнее известное нам математическое произведение относится к 1136 и принадлежит новгородскому монаху Кирилу . Оно посвещено арифметико-хронологическим расчерам , которые показывают , что в то время на Руси умели решать сложную задачу вечисления пасхалей ( определение на каждый год дня наступления праздника Пасхи ) , сводящуюся в своей математич. Части к решению в целых числах неопределенных уравнений первой степени .

Развитие математики 17-18 в.

С 17 в. начинается существенно новый период развития математики . “Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина . Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика ” ( Энгельс Ф.). Круг количественных отношений и пространственных форм , изучаемых теперь математикой , уже не исчерпывается числами , величинами и фигурами . В основном это было обусловлено явным введением в математику идей движения и изменения .Чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения , надо было сами зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения . Поэтому на первый план выдвигается понятие функции , играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения , как ранее понятие величины и числа .Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям матем. Анализа , вводящим в математику в явном виде идею бесконечного , к понятиям предела , производной , дифференциала и интеграла .Создается анализ бесконечно малых , в первую очередь в виде дифференциального и интегрального исчисления , позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений . Основные законы механики и физики записываются в виде дифференциальных уравнений , и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики . Разыскание неизвестных функций , определенных другого рода условиями , составляет предмет вариационного исчисления . Таким образом , наряду с уравнениями , в которых неизвестными являются числа появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции

Математические достижения в 17в. начинаются открытием логарифмов (Джон Непер (1550-1617), опубликовавший в 1614г. свои таблицы “Описание удивительного канона логарифмов”). Независимо от Непера в 1620г. свои таблцы опубликовал швейцарский математик

И. Бюрм. Таблицы Непера содержали 8-значные логарифмы синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90°, следующих через одну минуту. Так как синус 90° тогда принимали равным 10⁷, а на него часто приходилось умножать, то Непер определил свои логарифмы так, что логарифм 10⁷ был равен нулю. Логарифмы остальных синусов, меньших 10⁷, у него положительны Непер не ввел понятие об основание системы логарифмов. Его логарифм числа N в современных обозначениях приблизительно равен 10ln(10⁷/N) . Свойства логарифмов Непера сложнее обычных т.к. у него логарифм единицы отличен от нуля(161.180.957). Такая система не удовлетворила самого Непера, как он сообщил Генри Бриггсу, профессору одного из лондонских колледжей. После смерти Непера Бриггс в 1624г. опубликовал свою “Логарифмическую арифметику”, содержавшую десятичные логарифмы с 14 знаками для целых чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000. 10-значные таблицы от 1 до 100 000 издал в 1628г. голландский математик А. Влакн. Таблицы Влакна легли в основу большенства современных таблиц, причем их авторы внесли много изменений и поправок в выкладку (у самого Влакна было 173 ошибки, у австрийского математика Г. Вега в 1783г.-пять; первые безошибочные таблицы выпустил в 1857г. немецкий математик И. Бремикер). В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703г. при участии Л. Ф. Магницкого.

В 1637г. Декарт публикует свою “Геометрию”, содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные. C созданием аналитической геометрии принципиально изменилось отношение геометрии к остальной математике: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решение их чисто алгебраическими методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирование) алгебраических и аналитических фактов геометрически, например при графическом изображении функциональных зависимостей.

В 17 веке происходит зарождение и развитие дифференциального и интегрального исчисления. Исследования Пьера Ферма о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в себе по существу приемы дифференциального исчисления, но сами эти приемы еще не выделены и не развиты. Другим источником анализа бесконечно малых является развитый Иоганном Кеплером (1615) и Бенавентуре Кавальери (1635) метод неделимых “неделимых”, примененный ими к определению объемов тел вращения и ряду других задач. Так, в геометрияеской форме были по существу созданы начала дифференциального и интегрального исчисления.

К последней трети 17в. относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу, давшему развернутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1682-86г.г. В отношении же времени фактического получения основных результатов имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону, который к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришел в течении 1665-66. Работа “Анализ с помощью уравнений” И. Ньютона в 1669 был передан им в рукописи английским математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую известность среди математиков .”Метод флюксий”-сочинение , в котором И.Ньютон дал вполне законченное математическое изложение своей теории – был написан в 1670-71.(издан в 1736 после смерти Ньютона ). Г. Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673. И.Ньютон и Г. Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций ( т.н. формула Ньютона-Лейбница ) и разработали для них новый единообразный алгоритм .

Из других открытий 17 в. следует отметить первые работы по теории вероятностей . Ее основателями стали Блез паскаль и Пьер Ферма . Постепенноеформирование интереса к задачам . связаным с вероятностями , проиходило прежде всего под влиянием развития страхового дела , но те частные вопросы , которые побудили больших математиков поразмыслить над этим предметом , были поставлены в связи с игрой в кости и карты .Как выразился Пуасон , .” задача , относившаяся к азартным играм и поставленная перед суровым янсенистом ( т.е. последователем Корнеми Янсена – голландского богослова) светским человеком , была источником теории вероятностей ”. Этим светским человеком был кавалер де Мере , который обратился к Паскалю с вопросом по поводу т.н.“ задачи об очках “ . Паскаль завязал переписку с Ферма по поводу этой задачи и родственных вопросов , и они вдвоем установили некоторые из основных положений теории вероятнотей ( 1614). Когда Гюйгенс приехал в Париж , он узнал об этой переписке и попытался дать свое собтвенное решение , в результате чего появилась его книга .”О расчетах при азартных играх ” ( 1657 ) , первый трактат по теории вероятностей .[ Стройк , с.143]

Значительно совершенствуется математическая символика , появляются современные математические знаки

Знак	Кто ввел	Когда введен
бесконечность e - основание натуральных логарифмов i - кв. корень из –1 i,j,k – единичные векторы , орты + сложение умножение * умножение sin синус arcsin арксинус Sh Ch гипербол. синус dx дифференциал интеграл ! факториал модуль = равенство параллельность	Дж. Виллис Л.Эйлер Л.Эйлер У.Гамильтон Немецкие математики Г.Лейбниц У.Оупред Л.Эйлер Ж.Лагранж В.Риннати Г.Лейбниц Г.Лейбниц К.Крамл К.Вейерштрасс Р.Рекорд У.Оутред	1655 1736 1777 1853 конец 15 в. 1698 1631 1748 1772 1757 1675 1675 1808 1841 1557 1677

В начале 18в. общий стиль математических исследований постепенно меняется. Успех 17в., обусловленный в основном новизной метода, создавался главным образом смелостью и глубиной общих идей, что сближало математику с философией. К началу 18в. развитие новых областей математики, созданных в 17в., достигло того уровня, при котором дальнейшее продвижение вперед стало требовать в первую очередь искусства в овладении математ. аппаратом и изобретательности в разыскании неожиданных обходных решений трудных задач.

Если виднейшие математики 17в. очень часто были в то же время философами или физиками эксперементаторами, то в 18в. научная работа математиков становится самостоятельной профессией. Математики 18в.- это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими математическими способностями, с быстро развивающейся академической карьерой (Л. Эйлер, происходя из простой семьи, в 23г. становится профессором Петербургской академии наук, 39 лет – председателем физико-математического класса Берлинской академии наук; Жозеф Луи Лагранж – сын французского чиновника, 19 лет – профессор в Турине, 30 лет – председатель физико-математического класса Берлинской академии наук; Пьер Лаплас – сын французского крестьянина, 22г.- профессор военной школы в Париже, 36 лет член Парижской академии наук). При этом, однако, математическое естествознание (механика, математич. физика) и технические применения математики остаются в сфере деятельности математиков. Л. Эйлер занимается вопросами караблестроения и оптики, Лагранж создает основы аналитической механики.

Научная деятельность в основном была сосредоточена в академиях, среди которых выдающееся место занимали Парижская, Берлинская и Петербургская. Преподавание в университетах имело меньшее значение, а то и никакого.

Математика 18в. обогатилась многими выдающимися результатами. Благодаря работам Эйлера, Лагранжа и Адриена Мари Лежандра теория чисел (наука о целых числах) приобретает характер систематической науки. Ж. Лагранж дал (1769) общее решение неопределенных уравнений второй степени. Л. Эйлер установил (1772) закон взаимности для квадратичных вычетов. Он же привлек для изучения простых чисел дзета-функцию, чем положил начало аналитической теории чисел.

При помощи разложений в непрерывные дроби Эйлер доказал (1737) иррациональность е, а И. Ламберт (1776) – иррациональность π.

В алгебре Эйлер рассматривал как эмпирически установленный факт существования у каждого алгебраического уравнения корня вида . Постепенно укореняется убеждение, что вообще мнимые выражения (не только в алгебре но и в анализе) всегда приводимы к виду. Формулы Муавра и Эйлера, связывающие показательную и тригонометрическую форму комплексных аргументов, привели к дальнейшему расширению применений комплексных чисел в анализе.

Если допускать и комплексные числа, то оказывается, что любое уравнение n-й степени имеет корни, причем это верно и для уравнений с любыми комплексными коэффициентами. Эта важная теорема, носящая название основной теоремы алгебры, была впервые высказана в 17в. французским математиком А. Жираром, но первое строгое доказательство ее дано было Карлом Фридрихом Гауссом в 1799 в его диссертации и в 1801 в “Арифметических исследованиях”. “Каждое алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один корень и, следовательно, столько корней, сколько единиц в показателе его степени”.

Большое внимание уделялось дифференциальным уравнениям, в частности Эйлер (1739, опубл. 1743) дал первый метод решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами. Жан Лерой Д΄Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений, Лагранж и Лаплас развивали общую теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Эйлер, Гаспар Монж и Лагранж заложили основы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, а Эйлер Монж и Лплас – второго порядка.

В 1715г. Б. Тэйлор открыл свою формулу разложения произвольной функции в степенной ряд. У исследователей 18в. ряды становятся одним из самых мощных и гибких орудий анализа. С Д΄Аламбера начинается серьезное изучение условий сходимости рядов.

В области геометрии Эйлер привел к завершению систему элементарной аналитической геометрии. В работах Эйлера, Киро, Монжа и Мелье были заложены основы дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. И. Ламберт развил теорию перспективы, а Гаспар Монж придал окончательную форму начертательной геометрии.