Средняя Азия и Ближний Восток.

Арабские завоевания и кратковременное объединение огромных территорий под властью арабских халифов привели к тому , что в течение 9-15 вв. ученые Ср. Азии , Бл. Востока пользовались арабским языком . Наука здесь развивалась в мировых торговых городах , в обстановке широкого международного общения и государственной поддержки больших научных начинаний . Блестящим завершением этой эпохи явилась в 15 в. деятельность Улукбека , который при своем дворе и обсерватории в Самарканде собрал более ста ученых и организовал долго остававшееся непревзойденными астрономические наблюдения , вычисление математических таблиц и т.п.

В 1-й пол. 9 в. Мухамед бен Муса Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной науки . Термин ” Алджебр” , по которому европейские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений

Омар Хайям систематически изучил уравнение третьей степени , и дал их классификацию , выяснил уравнение их разрешимости ( в смысле существования положительных корней ). Среднеазиатским математикам были хорошо известны как геометрические ( при помощи конических сечений ), так и приближенные численные методы решения .

Заимствовав от индейцев десятичную систему исчисления с употреблением нуля , математики Ср. Азии и Бл. Востока применяли в больших научных вычислениях по приемуществу шестидесятиричную систему ( по-видимому , в связи шестидесятиричным делением углов в астрономии ).

В связи с астрономич. и геодезич. работами большое развитие получила тригонометрия . Аль-Баттани ввел в употребление тригонометрические функции :синус , тангенс и котангенс , Абуль-Вефа – все шесть тригонометрических функций , он же выразил словестно алгебраические зависимости между ними , аль-Каши дал систематическое изложение арифметики десятичных дробей . В“Трактате об окружности ( ок. 1427)” аль-Каши , определяя периметры вписанного и описанного 3*10²⁸ –угольников , нашел π с семнадцатью десятичными знаками .

Западная Европа до 17 в.

12-15 вв. являются для западноевропейской математики по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира и Востока .

Города начали устанавливать комерческие связи с Востоком , который все еще был центром цивилизации . Первыми наладили торговые связи итальянские города , за ними последовали города Франции и Центральной Европы . За купцом и солдатом следовали ученые , а иногда они были первыми . Испания и Сицилия были самыми близкими пунктами соприкосновения между Востоком и Западом , именно здесь западные купцы и студенты познакомились с цивилизацией стран ислама .

Высокий уровень требований быстро богатеющей буржуазии итальянских городов привел к созданию и широкому распространению учебников , соединяющих практическое общее направление с с большой обстоятельностью и научностью .

Одним из первых западноевроп. математич. работ являются книги Леонардо Пизанского ( Фибоначчи ) ( 1170-1228 ) “Книга об абаке” ( 1202 г.) и “ Практика геометрии ”( 1220), излагающие арифметику , коммерческую арифметику , алгебру и геометрию . Эти книги имели большой успех . К концу рассматриваемой эпохи ( с изобретением книгопечатания) учебники получают еще более широкое распространение .

16 век был первым веком превосходства Зап. Европы над древним миром и востоком .Так было с астрономией ( открытие Н.Коперника ) и в механике ( к концу 16 в. уже появляются первые исследования Г.Галлилея) , так в целом обстоит дело и в математике .

В алгебре находятся алгебраические решения уравнений третьей степени ( Суипон де Ферро (1515) и позднее и независимо Н.Тартальей , ок. 1530). В 1545 выходит книга Иеронима Кардано “ Великое искусство” , в которой публикуются эти формулы . Сейчас эти формулы называются формулами Кардано.

Для уравнения x³+px+q=0 ( к которому можно привести всякое уравнение третьей степени ) оно дается формулой:

.

Тарталья с возмущением обнаружил , что в книге полностью раскрыт его метод , с должным признанием заслуг автора , но тем не менее уворованный . Завязалась ожесточенная полемика , с обеих сторон сыпались оскорбления .

Метод решения уравнений 4-й степени открыл Людовико Феррари в 1545 г. Этот метод также вошел в книгу Кардано . Дж. Кардано исследовал уравнение 3-й степени, открыв т.н. неприводимый случай , в котором действительные корни уравнения выражаются комплексно .

В 1572 г. выходит “ Алгебра ” болонского математика Рафаеле Бамбелли , где он вводит последовательную теорию мнимых и комплексных чисел .Он записывает 3iкак . Однако долгое время к комплексным числам относились как к чему-то сверхъестественному . Так , Лейбниц в 1702 писал“ Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа , почти что амфибия бытия с небытием ”. Термин “ комплесное число ” был предложен Гауссом в 1831 [ БСЭ“ комплесное числа ”].

После выхода книги Кардано начались настойчивые поиски формул , которые решали бы уравнения и высших степеней подобным образом , т.е. сводили бы решение к извлечениям корней ( “решение в радикалах ” ) . Эти поиски продолжались около трех столетий и лишь в 19 в. Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа доказали , что уравнения выше 4-й степени в общем случае в радикалах не решаются : оказалось , что существуют неразрешимые в радикалах уравненияn-й степени для любогоn, больше или равного 5.

Крупный ученый того времени – Иоган Мюллер из Кениксберга , вычислитель , мастер инструментов , печатник . Переводил и публиковал доступные ему математические рукописи классиков .Его главное оригинальное произведение – книга “ О различных треугольниках ” ( 1464г. напечатана лишь в 1533 ) , полное введение в тригонометрию , отличается от наших нынешних учебников главным образом отсутствием современных удобных обозначений .Отныне тригонометрия становится наукой , не зависящей от астрономии . Много труда положил Мюллер на вычисление тригонометрических таблиц . Он составил таблицу синусов с интервалом через 1 минуту с точностью до 7 знаков .