История математики в 19 веке.

В начале 19в. происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоеденяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из которых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана еще в 18в. Д. Бернулли, Эйлером, Д΄Аламбером, Лагранжем. Быстро растут и математические запросы техники. В нач. 19в. – это вопросы термодинамики паровых машин, технической механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывается теория дифференйиальных уравнений с частными производными и особенно теория потенйиала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала и середины века – Гаус, Батист, Фурье, Пуассон, Коши, Дирихле, Остроградский.

М. В. Остроградский в работах по теории распространения тепла в твердых телах и жидкостях получил дифференциальное уравнение распространения тепла и одновременно пришел к ряду важнейших результатов в области математического анализа: нашел формулу преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности, ввел понятие сопряженного дифференциального оператора. Теория распространения тепла в жидкости впервые была построена Остроградским.

О Фурье прежде всего следует вспомнить как об авторе “Аналитической теории теплоты” (1822). Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности методов эта книга стала источником всех современных методов математической физики, относящихся к интегрированию уравнений в частных производных при заданных граничных условиях. Методом Фурье было применение тригонометрических рядов. Он установил тот факт, что “произвольную” функцию (функцию, которую можно изобразить дугой непрерывной кривой или сочетанием таких дуг) можно представить тригонометрическим рядом вида Несмотря на все то, что было указано Эйлером и Бернулли, эта идея была настолько нова и ошеломляюща во времени Фурье, что, согласно преданию, когда он впервые в 1807г. высказал свои соображения, он встретил энергичную аппозицию со стороны не кого иного, как Лагранжа. Ряды Фурье стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач.

Наибольшее число задач, выдвигаемых перед математикой естествозаннием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными производными (при изучении непрерывных сред и в квантовой физике). Поэтому все направления исследований дифференциальных уравнений в рассматриваемый период интенсивно культивируется. Для решения сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления. При исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применяеся метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналитическая терия обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре и др.). Однако наибольшее внимание вобласти теории дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы качественного исследования их решений: классификация особых точек (Пуанкаре и др.), вопросы устойчивости, особенно глубоко изученные Ляпуновым.

В 1812г. П. С. Лаплас издает книгу ”Аналитическая теория вероятностей”, где выводит основные формулы и свойства интегрального преобразования, получившего в последствии его имя.

Новый период в развитии геометрии открывается построением в 1826г. новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского. Источник, сущность и знание идей Лобачевского сводятся к следующему. В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: ”через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной”. Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии Евклида, но безуспешно. Лобачевский пришел к мысли, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, гласит: “через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ен одну, а по крайней мере две параллельные прямые”. Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоеденение этого положения к другим основным положениям геометрии приводит к логически безупречным выводам. Система этих выводов и образует новую, неевклидову геометрию. Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но и действительно построил и всесторонне развил новую геометрию, логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на ее несоответствие обычным обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою геометрию как возможную теорию пространственных отношений; однако она оставалась гипотетической, пока не был выяснен (в 1868г.) ее реальный смысл и тем самым было дано ее полное обоснование.

Центр тяжести алгебраических исследований переносится в ее новые области: теорию групп, полей, колец и т.д. Многие из этих отделов алгебры получают глубокие применения в естествознании: в частности теории групп – в кристаллографии, а позднее в вопросах квантовой физики.

На границе между алгеброй и геометрией Марлус Софис Ли создает (начиная с 1873г.) теорию непрерывных групп, методы которой позднее проникают во все новые области математики и естествознания.

На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. К. Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего не публиковал. Общие основы теории были заложены Огюстом Коши, теория эллиптических функций была развита И. Абелем и Якоби. Уже на этом этапе характерно, что в отличии от чисто алгебраического подхода 18в., сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрических закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой О. Коши).

В период увлечения теорией функций комплексного переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций в действительной области является П. Л. Чебышев. Наиболее ярким выражением этой тенденции явилось создание (начиная с 1854г.) Чебышевым, исходившим из запросов теории механизмов, теории наилучших приближений.

Несмотря на господствовавшее в естествознании начала 19в. механистическое убеждение в возможности описать все природные явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получает значительное дальнейшее развитие теория вероятностей. Лаплас и Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитический аппарат. Чебышев дает строгое определение элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорему (1867г.), объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы закона больших чисел.

Если в начале 19в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в конце 19в. и начале 20в. теория вероятностей получает много новых применений благодаря развитию статистической физики и механики и разработке аппарата математической статистики. Наиболее глубокие теоретические исследования по общим вопросам теории вероятностей в конце 19в. и начале 20в. принадлежат русской школе (Чебышев, Марков, Ляпунов).