7.5.Способ выравнивания эмпирических рядов
Из всех способов выравнивания эмпирических рядов наиболее точен
способ наименьших квадратов. Его предложил К.Гаусе в 1806 г. на том основании, что сумма квадратов отклонений вариант от средней арифметической есть величина наименьшая. Это первая теорема о свойствах средней арифметической. А так как зависимость между переменными Х и У выражается обычно рядом колеблющихся величин, то указанное свойство используется для нахождения наиболее вероятных усредненных значений этих величин. В этом и заключается сущность метода наименьших квадратов, который в равной мере пригоден для выравнивания самых различных зависимостей между переменными величинами и нахождения параметров уравнений, характеризующих эти зависимости. Во всех случаях обработка эмпирических данных по способу наименьших квадратов производится следующим образом:
1. Исходя из геометрического места точек двух переменных У и Х, подбирают соответствующее уравнение, которое достаточно точности выражает зависимость между переменными величинами.
2. В исходное уравнение подставляют попарно эмпирические данные и получают систему нормальных уравнений.
3. Решают совместно полученные уравнения и определяют их параметры.
4. Подставив найденные значения параметров в общее уравнение функции, получают эмпирическое уравнение, выражающее зависимость между переменными Х и У.
5. Подставляя в эмпирическое уравнение значения одной из переменных Х или У, находят соответствующие средние значения другой переменной величины. Таким образом, получается усредненный, или выровненный, ряд значений, называемый также теоретическим рядом развития. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов к различным случаям зависимости между переменными величинами Х и У.
Прямолинейная зависимость
На рисунке 7.1приведена прямолинейная зависимость междупроизводительностьюи стоимостью продукции. Эта зависимость может быть описана формулой прямолинейной зависимостью
С = а*П+в (7.18)
где: С – себестоимость продукции;
П – производительность труда;
а,в – постоянные коэффициенты.
По данным приведенным в таблице.7.1 суммируем значения исходных
величин:
12= а•10+в
10= а•12+в
9= а•13+в
8= а•15+в
(7.19)
6= а*17+в
6= а*20+в
5= а*21+в
4= а*24+в
Сумма 67= а•148+в•9
Суммарное уравнение(7.19) имеет два неизвестных постоянных коэффициента. Для нахождения неизвестных надо еще одно уравнение. Для получения второго уравнения умножаем каждое уравнение(7.17) на соответствующее значение производительности, затем суммируем их и получим второе суммарное уравнение:
120=а•100+в•10
120=а•124+в•12
117=а•169+в•13
120=а•225+в•15
(7.20)
102=а*289+в*17
120=а*400+в*20
105=а*441+в*21
96=а*576+в*24
С
умма
1012=а•2580+в•148
П
осле
решения системы уравнений:
(7.21)
1012=а•2580+в•148
были получены значения постоянных коэффициентов:
а=-0,61 и в=17,52
и уравнение (7.18)принимает следующий вид:
С = 178,52 – 0,63П (7.22)
Рассчитанные по формуле(7.22) значения стоимостьпоказана на рисунке7.1(сплошная линия).
Криволинейная зависимость
Аналогичным образом, как и для прямолинейной зависимости, определяются постоянные коэффициенты для уравнений более высокого порядка. В качестве примера рассмотрим расчет постоянных коэффициентов для уравнения изменения стоимости продукции по годам – формула (6.26). Так как в этой формуле 3 постоянных коэффициентов должно быть составлена система из 3-хуравнений:
x=at2+bt+cn
(7.23)
x3= at2x2+btx2+cx2
Для удобства вычисления следует составить таблицу. По данным приведенным в таблице 6.9 (колонки 1и2) составлена следующая вспомогательная таблица(табл. 7.4)
Таблица 7.4. Расчет значений постоянных коэффициентов
|
Время (номер года) (t) |
Стоимость (х) |
Значения показателей | ||||||
|
t2 |
x2 |
x3 |
xt |
xt2 |
x2 t |
x2t2 | ||
|
1 |
4,0 |
1 |
16,00 |
64,00 |
4,0 |
4,0 |
16,0 |
16,0 |
|
2 |
5,2 |
4 |
27,04 |
140,61 |
10,4 |
20,8 |
54,1 |
108,2 |
|
3 |
6,0 |
9 |
36,00 |
216,00 |
18,0 |
54,0 |
108,0 |
324,0 |
|
4 |
8,5 |
16 |
72,25 |
614,12 |
34,0 |
136,0 |
289,0 |
1156,0 |
|
5 |
6,7 |
25 |
44,89 |
300,76 |
35,5 |
167,0 |
224,4 |
1120,0 |
|
Сумма 15 |
30,4 |
55 |
196,18 |
1335,5 |
99,9 |
382,3 |
691,5 |
2724,2 |
С учетом рассчитанных значений показателей (табл. 7.4) система уравнений (7.20) принимает следующий вид :
50,4=а•55+в•15+5с
196,18=а•382,3+в•99,9+50,4с (7.24)
1335,5=а•2724,4+в•691,5+196,18с
В результате решения системы уравнений (7.24) получаем следующие значения постоянных коэффициентов:
а=-0,16, в=2,26, с=1,04
и первое уравнение системы (7.23) принимает следующий вид:
х=-0,16t2+2.26t+1.04 (7.25)
Рассчитанные по формуле (7.25) значения стоимости продукции приведены в таблице 6.9 (колонка 5) и показаны на рисунке 6.5 (сплошная линия).
Степенная (показательная) зависимость
Степенные функции:
у=аbх(7.26)
или
у=аехb(7.27)
после их логарифмирования принимают следующий вид:
ln y=ln a+x ln b (7.28)
или
ln y=ln a+x b (7.29)
Зависимости (7.28) и (7.29) имеют вид уравнения первогопорядка и определение значений постоянных коэффициентов(lna,lnbиb)проводится по методике определение коэффициентов при прямолинейной зависимости.