6.3. Средние величины и способы их вычисления

Любые признаки, если они выражаются при помощи счета или меры, приобретают значение математических величин. Чтобы получить более или менее точную и объективную характеристику варьирующей величины, прибегают наряду с построением статистических таблиц, графиков и диаграмм к различного рода суммарным числовым показателям. Наиболее часто и широко как и в практической деятельности человека, так и в научных исследованиях используется средняя величина. Она дает суммарную характеристику любого признака, указывая на то типичное и устойчивое в явлении, что наиболее полно выражает его содержание. Так, например, принято говорить о средней производительности, о средней зарплате, о средней численности работников.

Существует несколько видов средних, которые используются в статистике: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя кубическая, средняя геометрическая, а также вспомогательные средние показатели: мода и медиана.

Значение средней арифметической, которую принято обозначать через (икс малое с черточкой наверху) есть не что иное, как частное от деления суммы всех вариант совокупности на их число, т.е.

(6.3.)

где: обозначают варианты, входящие в состав данной совокупности;

- знак суммирования;

n–общее число вариант, или объем выборочной совокупности.

Средняя арифметическая выражается теми же единицами меры или счета, что и характеризуемый ею признак. Возьмем пример:

= (8+10+7+9+10+11+13+9+12+11):10=10.

Анализируя данный пример замечаем, что отдельные варианты повторяются.

Нетрудно понять, что при повторяемости отдельных вариант среднюю арифметическую можно представить как сумму произведений отдельных вариант на их частоты, отнесенную к общему числу всех вариант данной совокупности, т.е. как

(6.4.)

Так, для указанного примера средняя арифметическая определяется следующим образом.

Расчет значений х-р приведен в таблице 6.4

Таблица 6.4 Расчет значений произведений х-р.

Среднее значение классов (х)	7	8	9	10	11	12	13
Частота (р)	1	1	2	2	2	1	1
х-р	7	8	18	20	22	12	13

Значение средней арифметической, вычисляемое по формуле (6.3), называется взвешенной средней на том основании, что отдельные варианты с разной частотой встречающиеся в совокупности по разному определяют значение средней величины.

Иногда признаки, с которыми приходится иметь дело, выражаются либо мерами объема, либо мерой площади. Например, средний объем загрязненного воздуха, выбрасываемого предприятием в атмосферу за определенный промежуток времени, или средняя площадь загрязнения вокруг предприятия в следствии вредных выбросов.

Средняя площадь загрязнения рассчитывается по величине средней квадратической.

Средняя квадратическая равна:

(6.5.)

Эта характеристика применяется при определении среднего размера какой-либо поверхности. Например, вблизи предприятия замечено отложение вредных веществ пятнами различного диаметра (в метрах) (табл.6.5)

Таблица 6.5 Число пятен загрязнения поверхности.

Размер пятна (х),м2		8	11	13	15	16
Число случаев(р)		1	1	2	3	2

Нужно определить средний размер этих пятен.

Средняя квадратическая пятен равна:

==13,9 м

Средняя кубическая равна

(6.6.)

Средняя кубическая используется при определении средних объемов различных величин. Например, для определения сорта куриных яиц были проведены измерения средних диаметров 18 куриных яиц. Полученные результаты приведены в таблице 6.6.

Таблица 6.6.Число яиц разного диаметра

Диаметр яиц (см)	4,7	4,8	5,0	5,4	5,6	6,0
Число случаев (р)	2	4	6	3	2	1

Нужно определить средний размер яиц по их диаметру. Вычисляем среднюю кубическую этих данных:

Если вычислить среднюю арифметическую этого признака, она оказывается несколько меньшей по сравнению со средней кубической:

В вариационных рядах средние величины характеризуются медианой и модой.

Медиана- показатель описательного характера – не зависит от параметрических характеристик ряда. Она служит серединой вариационного ряда, по обе стороны одинаковое число вариант. Например, для следующего распределения:

х:		3		6		7	9		10	12	13
р:		1		1		1	1		1	1	1

Медиана равна 10: в обе стороны от этой величины расположено по четыре варианты. Значение 10 занимает центральное положение в этом ряду, является его медианой.

Модой называется наиболее часто встречающая величина. В непрерывных вариационных рядах мода находится обычно в том классе, который имеет наибольшее число вариант. Этот класс называется модальным классом. Например, в распределении, показанном на рисунке 6.1. мода равна 16.5 и находится в классе 12. Мода, как и медиана, - величина довольно близкая к средней арифметической и совпадает с ней при полной симметрии распределения вариант по классам вариационного ряда.