В. Уравнение Слуцкого

Строгое математическое изложение эффектов замены и эффектов дохода требует использования достаточно сложного математического аппарата. Его применение демонстрируется в учебниках экономики более высокого уровня. Здесь же мы просто представим конечный результат математического анализа этих эффектов – само уравнение Слуцкого.

, (3.В.1)

где Q_D – это знакомый нам спрос, вбирающий в себя как эффект замены, так и эффект дохода (соответствующая ему кривая спроса иногда называется маршаллианской кривой спроса, по имени одного из основателей современной экономической теории – английского экономиста Маршалла),  так называемый компенсированный спрос (за вычетом эффекта дохода, и, следовательно, отражающий только эффект замены). Графически соответствующую ему линию спроса (так называемую хиксианскую кривую спроса) мы могли бы получить, если бы строили ее не по точкам оптимума на бюджетных линиях (как это делалось на рис. 3.14), а по точкам оптимума на вспомогательных бюджетных линиях (подобных линии ) на рис. 3.15.X – некое благо, на которое предъявляется спрос.

Из (3.В.1) видно, что спрос на благо складывается из двух эффектов – эффекта замены , который является наклоном компенсированной кривой спроса, и эффекта дохода.

Эффект замены всегда  0. Это значит, что компенсированная кривая спроса всегда имеет отрицательный наклон, даже если речь идет о товаре Гиффена.

Таким образом все зависит от эффекта дохода. Если > 0, то действие эффекта замены усиливается, кривая спроса имеет крутой отрицательный наклон. Если< 0, то эффект дохода работает против эффекта замены. И здесь все зависит от соотношения абсолютных величин двух эффектов.

Если эффект замены превосходит эффект дохода по абсолютной величине, то тогда положительный эффект дохода лишь ослабляет действие эффекта замены, кривая спроса имеет по-прежнему отрицательный наклон, хотя и более пологий. Однако если же положительный эффект дохода по абсолютной величине больше отрицательного эффекта замены, то здесь мы сталкиваемя с товаром Гиффена, кривая спроса приобретает положительный наклон.

1 Для упрощения задачи мы игнорируем два обстоятельства: во-первых, возможные возрастающие темпы прироста общей полезности для некоторого количества первых единиц потребляемого блага, во-вторых, убывание общей полезности от потребления. Первое допустимо потому, что всегда наступает такой момент, когда эти темпы становятся убывающими, а второе в силу того факта, что рациональный потребитель, скорее всего, прекратит потребление до того, как общая полезность от наращивания потребления конкретного блага начнет падать.

1 Или в дифференциальной форме какMU=dTU/dQ. Обратите внимание на то, что в этом случае условно допускается бесконечная делимость блага. Тогда, например, функция общей полезности может быть задана какTU = 30Q2Q². В этом случаеMU = 304Q. Элементарное знание математики позволяет легко заметить, что общая полезность достигает максимума там, где предельная полезность обращается в 0, т.е приQ= 7,5 (второе условие неограниченного максимума функции одной переменной также удовлетворяется, так какdMU/dQ0). В данном случае график функцииMUбудет линейной функцией с отрицательным наклоном. Если же мы, например, зададимTU= 1005Q²+Q³, то график предельной полезности будет убывающая кривая. Для тренировки можно вывести здесь функцию предельной полезности и построить графики функций общей и предельной полезностей.

1Можно возразить, чтоTUдостигает максимума уже при потреблении 5 кружек пива. Однако ясно, что не прибегая к использованию бесконечно малых величин в качестве приростов потребления пива, точно показать графически максимизациюTU в точке, где MU = 0, невозможно.

2В главе 6 мы увидим, что при некоторых условиях продавец может устанавливать разные цены на одну и ту же единицу одного и того же блага для различных потребителей, т.е. проводить так называемую «ценовую дискриминацию». Пока же такие случаи нами не рассматриваются.

1 Для подсчета площади треугольника перевернем функцию спроса, т.е. запишем ее как обратную функцию (функцию цены от количества блага). У нас получитсяР= 40 –Q. Отсюда получаем, что приQ= 0Р= 40. В этой точке наша функция спроса соединяется с осью ординат. Теперь подставим в уравнениеQ= 60 – 1,5Р значениеР_е= 20, получаем, чтоQ_е= 30. Теперь мы имеем всю необходимую информацию для определения площади треугольника, являющегося излишком потребителя.

1При этом, естественно, допускается, что на приобретение благ расходуется весь доход без остатка, сбережения отсутствуют.

1Математический анализ оптимума потребителя и выведение на его основе значений спроса на благо приводится в математическом приложении А.

1 Если подходить к проблеме измерения предельной нормы замещения более строго, то ее нужно определить для любой точки кривой. Тогда MRS= .Графически она может быть тогда представлена как тангенс угла между касательной к кривой безразличия и осью абсцисс (tg на рис. 3.3 показывает MRS в точке с на кривой безразличия).

2 Для тех, кто знаком с основами математического анализа, все рассуждения об убывающей MRS легко заменить просто утверждением о том, что кривые безразличия выпуклы вниз. Иначе говоря,  0, т.е. вторая производная положительна. Посмотрев на рис. 3.3 нетрудно заметить, что любая возможная касательная к кривой безразличия лежит не выше нее. Это является графическим условием выпуклости вниз. Выпуклые вниз функции у зарубежных математиков называются просто выпуклыми (а выпуклые вверх – вогнутыми). Поэтому экономисты часто употребляют термин «выпуклость предпочтений», что относится к описываемому свойству кривой безразличия. Экономический его смысл состоит в том, что принцип убывающей предельной полезности принимается в качестве универсального.

1 Это свойство в теории поведения потребителя получило название «аксиома ненасыщаемости».

1 Логическая непротиворечивость выбора потребителя в теории поведения потребителя называется «аксиома транзитивности».

1 Если точку а представить как , гдеВ  бюджет потребителя, а точку d как , то тангенс угла наклона бюджетной линии (tg) равен :=, т.е. соотношению цен благ х и y.

1 Способность потребителя делать такие суждения в отношении наборов благ называется аксиомой упорядоченности.

2Тождественность максимизации уровня полезности минимизации затрат на ее достижение показана в математическом приложении Б.

1 Эрнст Энгель (1821-1896) – немецкий статистик, который исследовал влияния изменений в семейных бюджетах на семейные расходы.

1 Эффект замены и эффект дохода нередко называют эффектом Слуцкого-Хикса. Е.Слуцкий (1880-1948) – русский экономист и математик. Первооткрыватель этих эффектов (1915 г.). Дж.Хикс (1906-1989) – английский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике (1972 г.). Вместе с другим известным английским экономистом – Р.Алленом, завершил развитие теории порядковой полезности и представил эффект дохода и эффект замены в несколько иной интерпретации по сравнению с Е.Слуцким.

1 Р.Гиффен (1837-1910) – английский статистик, исследовал потребление очень бедных семей в Ирландии в ХIX веке.

1Математическое приложени В дает представление об уравнении Слуцкого, наглядно демонстрирующего совокупное действие эффекта замены и эффекта дохода на спрос.

1Условия второго порядка базируются на сложных математической технике и ничего дополнительно изучающему начальный курс экономики не дают.

106