Математическое приложение а. Оптимум потребителя

Выведем оптимум потребителя при покупке им двух благ X и Y (при необходимости число благ можно расширить до сколь угодно большого количества). Тогда наша задача состоит в том, чтобы максимизировать функцию полезности потребителя от этих двух благ – U (X, Y). Однако наш потребитель ограничен своим доходом (бюджетом), который он тратит без остатка на приобретение этих благ. В результате бюджет потребителя можно представить как I = P_XX + P_YY.

Затем мы решаем задачу на условный локальный максимум (максимум с ограничением) методом множителей Лагранжа. Составляем следующее уравнение

L = U (X, Y) + (I  P_XX  P_YY), (3.A.1)

где  - так называемый «множитель Лагранжа». Его экономический смысл станет нам ясен несколько позже. Первое условие максимума с ограничениями получается в результате наождения частных производных первого порядка по X, Y и  из уравнения (3.А.1) и приавнивания их к нулю.¹ Получаем систему уравнений (3.А.2)

(3.А.2)

Последнее уравнение из (3.А.2) говорит нам о том, что доход (бюджет) потребителя расходуется на блага X и Y без остатка. Однако нас больше интересуют первые два уравнения из (3.А.2). Из них следует, что

(3.А.3)

Правые части в (3.А.3) есть ни что иное, как MU_X и MU_Y, то есть предельные полезности благ X и Y . Отсюда получаем сформулированное в основном тексте главы 2 условие оптимума потребителя.

, (3.А.4)

где  может быть интерпретирована как предельная полезность денежной единицы. Ведь для любого блага n MU_n/P_n может трактоваться как темп возрастания полезности по мере увеличения затрат денег на покупку этого блага.

Для того, чтобы найти точки оптимума (или, что тоже самое, спрос на блага X и Y), надо знать функцию полезности. Допустим, U = XY. Тогда по методу Лагранжа получаем

(3.A.5)

Решая систему уравнений (3.А.5) относительно X и Y получаем

,

Пусть, например, доход потребителя равен 100 д.е, P_X = 2 д.е, P_Y = 5 д.е. Тогда X* = 25, Y* = 10. Если предположить, что P_X стало равно 5 д.е., а P_Y снизилось до 4 д.е., то новые значения спроса на эти блага X* = 10, а Y* = 12,5.

Заметим, что в нашем случае функции спроса достаточно простые. Спрос зависят только от цены благ и дохода потребителя. В то же время они позволяют заметить, что

а) каждому значению цены блага и дохода отвечает одно значение спроса;

б) если все цены и доходы меняются в одной и той же пропорции, то спрос на блага не меняется.

Б. Минимизация расходов потребителя: обратная задача

В предыдущем разделе математического приложения ставилась задача максимизировать полезность потребителя при ограниченном доходе. Теперь ставится обратная задача: как минимизировать расходы потребителя при постоянном значении функции полезности.

Эта проблема не является какой-то искусственно созданной математической задачей. Ей можно дать экономическое толкование. Представим данную кривую безразличия и соответствующее ей значение функции полезности как задающие определенный уровень жизни или уровень реального дохода потребителя. Тогда есть смысл спросить: каковы минимальные расходы, позволяющие достичь данный уровня жизни при некоторых фиксированных ценах? Такой подход также позволяет анализировать эффект ценовых изменений на эти расходы.

Теперь мы минимизируем I = P_XX + P_YY при ограничении U (X, Y) = , где опеделенный фиксированный уровень полезности. Составляем уравнение Лагранжа для этого случая

L = ( P_XX + P_YY)   U (X, Y)  

Тогда имеем

(3.Б.1)

Возьмем первые два уравнения из (3.Б.1). Из них получаем

, (3.Б.2)

где  - величина обратная предельной полезности денежной единицы, то есть равна 1/. Если заменить в (3.Б.2)  на 1/ и возвести уравнение в степень  1, то получим знакомое нам условие оптимума потребителя, совпадающее с (3.А.4).