4.7. Тема 7. Частные методики обучения математике: формирование умений решать задачи у детей с тяжелыми нарушениями речи

Каких бы образовательных концепций учитель ни придерживался, по каким бы программам и учебникам ни работал, чему бы ни учил, он не может обойтись без применения задач как средства обучения, не может не ставить перед собой цель научить детей решать задачи. Но лишь в учебных дисциплинах образовательной области «Математика» предполагается специальная работа по формированию понятия «задача», а обучение через задачи является традиционным и эффективным.

Педагогические подходы к использованию задач в обучении, в том числе к обучению решению задач, определяются тем, как понимает учитель ключевые понятия, характеризующие процессы решения и процессы обучения решению задач: (1) задача, (2) решение задачи, (3) решить (решать) задачу, методы, и способы решения задач, (4) умение решать задачи, (5) использование задач в обучении: (5-а) обучение решению задач; (5-б) обучение математике с помощью задач, , (5-в) воспитание и развитие с помощью задач.

Понятия (1) – (3) относятся к теории решения задач. Они представляют задачи и процессы решения задач как в связи с проблемами обучения, так и вне такой связи. Понятие (4) характеризует человека. Достижение определенного уровня и качества умения решать задачи учащимися – цель обучения. Следующие понятия (5: 5-а, 5-б и 5-в) характеризуют процесс обучения с помощью задач.

В психологии, методике обучения математике, математике и «метаматематике», в ряде других наук разработаны основные положения теории решения задач, дана их конкретизация применительно к соответствующим областям знания. В психологии эти положения можно найти в работах Г. А. Балла, Л. Л. Гуровой, Е. И. Машбица, Л. М. Фридмана и др, в методике математики – в работах С.И. Шохор-Троцкого, Л.Н. Скаткина, Д. Пойа, Ю. М. Колягина, В. И. Крупича и др. Представлены они в вузовских учебных пособиях, в публикациях, в частности, статьях журналов «Начальная школа», «Математика в школе». Ввиду значимости положений теории решения задач в методической подготовке будущего учителя рассмотрим их с позиций методики обучения математике.

Понятие задача относится к числу самых широких общенаучных понятий. Слово задача является достаточно частотным в русском языке. Оно имеет несколько значений³⁹ и используется в речи в повседневном и профессиональном общении в самых разных отраслях науки, производства, культуры, образования, управления. Уже в дошкольном возрасте дети могут слышать это слово, употреблять в речи. Понятие «задача» присутствует во всех науках и сферах деятельности. Однако лишь в психологии и методике обучения математике специально ставятся и обсуждаются вопросы: Что такое задача? Что такое решение задачи? Что значит решать задачу? Что значит решить задачу?

Ввиду свой широты, понятию задача нельзя дать строгое определение. Его можно охарактеризовать через некоторые общие признаки соответствующих объектов. Вспомните несколько задач, которые вы когда-либо решали. Мне вспомнилась задача, которую я привела в качестве примера задачи, решаемую взрослыми, чтобы изменить убеждение первоклассников в том, что задачи решают только дети в школе⁴⁰: «До школы я могу доехать на автобусе или маршрутном такси. Сегодня мне нужно было решить, на чем ехать. Времени до урока оставалось 30 мин, автобус едет 25 мин, маршрутное такси – 15 мин, идти от остановки до школы 5 мин.»

Вот еще несколько задач: «Представьте себе, что вы машинист электропоезда. Поезд идет от Москвы до Иваново, делая 5 остановок по 2 мин. Скорость 60 км/ч, время в пути – 2 часа. Сколько лет машинисту?»; «Для поступления в вуз необходимо сдать вступительные экзамены по математике и русскому языку. Что делать, чтобы хорошо подготовиться к экзаменам?»; «Верно ли, что точки, симметричные точке пересечения высот относительно сторон треугольника, лежат на окружности, описанной около этого треугольника?»; «Решите уравнение 7 + х = 10».

Вы можете продолжить этот «список» еще не одним десятком задач из разных областей знания и сфер жизни. Что общего во всех задачах? Чем они похожи друг на друга? Что есть в каждой, в любой задаче? Сформулируйте ваши выводы. Сопоставьте их (как с одним из вариантов выводов) с приведенными ниже.

Любая задача, реально возникшая у человека, зафиксированная в тексте или представленная другим образом (наличной ситуацией, рисунком, таблицей и т.д.), содержит в себе некоторую информацию о какой-либо области действительности и ситуации и требование получить новую информацию об определенных компонентах той же области действительности и ситуации, либо построить на основе данной информации новый объект или способ действия; либо установить, подтвердить или опровергнуть истинность некоторого утверждения.

Часть задачи, в которой задана информация, принято называть условием задачи, а часть, в которой указывается, что требуется найти, узнать, построить, сделать, доказать, называют требованием задачи.

Условие задачи обязательно содержит информацию о том, о чем спрашивается в требовании задачи. Информация может быть представлена в задаче явно и (или) неявно благодаря контексту и явлению эллипсиса⁴¹. Условие содержит данные, может содержать также неизвестные; в требовании характеризуется искомое, требуемое.

Требование задачи может быть выражено побудительным или вопросительным предложением: «Найти площадь квадрата», «Чему равна площадь квадрата?»; «Найти бракованную деталь», «Какая деталь бракованная?», «Как найти бракованную деталь?»; «Найти эффективное средство лечения», «Какое средство лечения эффективно?» Вопросительную форму называют вопросом задачи. В начальной школе это основная форма требования. Вопрос считается более понятным детям. Вопрос побуждает к мыслительной деятельности. Поэтому в начальной школе говорят: задача состоит из условия и вопроса.

В тексте задачи условие и вопрос могут находиться в разных предложениях или в одном. Обычно требование расположено в конце текста задачи. Однако оно может находиться и в начале, и в середине текста. Умения устанавливать сходство и различие условий и требований задач, выделять условие и требование – компоненты умения решать задачи.

Наличие условия и требования является необходимым условием отнесения текста к задачам, но недостаточным. Чтобы оно было и достаточным, должны быть выполнены еще некоторые требования: одно требование, если текст рассматривается без учета восприятия субъектом, и два – с учетом такого восприятия.

Первое требование – соотнесенность условия и требования (вопроса) задачи, отражено в данном выше описании задачи. Так, текст: «Покупатель приобрел два пирожных по 10 руб. каждое. Какова температура воздуха в магазине?» не является задачей, так как часть текста, претендующая быть условием задачи, не несет информации о том, что требуется узнать. Следует отметить, что не в каждой задаче соотнесенность условия и требования очевидна. Самые трудные задачи потому и трудны, что связь условия и требования непрямая, скрытая.

Второе требование связано с психологическим смыслом понятия задача: чтобы некоторый текст или ситуация, содержащие условие и вопрос, были задачей для воспринимающего субъекта ответ на вопрос должен быть неизвестен ему заранее, ответ не должен быть данным.

Задача в психологическом смысле⁴² – это текст (или ситуация), содержащий информацию и соответствующее требование (вопрос), которое воспринимающий задачу субъект не может «сходу» выполнить (не знает ответа на вопрос). Если же по ходу восприятия текста или ситуации субъект без усилий выполняет требование, «видит» ответ на вопрос, то такой текст или ситуация задачей для него не является, хотя может признаваться задачей по форме.

Понимание различий психологического и формального смыслов очень важно для тех, кто учит дошкольников и младших школьников решению задач. Дети все воспринимают психологически. У них еще нет опыта формальных договоренностей. Если задача представлена так, что ответ на вопрос виден ученику, то задачи для него нет. Для дошкольников, как впрочем, во многих ситуациях для школьников и взрослых – «вижу» означает «знаю». Дошкольный опыт детей богат ситуациями, когда показ принимался как ответ на вопрос. Так, на вопрос «Сколько тебе лет?», ребенок показывает, например, три пальца; на вопрос «Сколько у тебя машинок?» – показывает машинки и эти ответы принимаются. Если не учитывать это обстоятельство, то у детей будут сформированы неверные представления о задаче и даже нанесена психологическая травма.

Например, на уроке в первом классе впервые рассматривается как предмет изучения понятие «задача». В качестве первой задачи дан текст, где информация, о которой спрашивается в вопросе, дана наглядно, например, так:

У Оли , у Саши. Сколько грибов у Оли и Саши вместе?

Для старших дошкольников и первоклассников этот текст не является задачей. Любой первоклассник может ответить на вопрос, показав все грибы, а большинство детей шести-семи лет (особенно после обучения счету) могут дать и словесное обозначение количества грибов: «У Оли и у Саши вместе было пять грибов». Если взрослые не принимают «увиденный» ребенком ответ на вопрос задачи, а объясняют, что общее число грибов неизвестно, что задачу нужно «решать» – выполнять действия, то дети перестают понимать смысл происходящего. Ведь они много раз отвечали на вопросы «Сколько у тебя машинок? Кукол? Конфет?» и т.п., показывая соответствующие предметы или называя их число. Все понимали и принимали их ответы. А теперь обнаруживается, что так отвечать нельзя, что то, что они видят и знают – это неизвестное, которое надо найти, а для ответа нужно вначале сделать все, что показывает учитель. Школьные знания становятся отчужденными от субъектного опыта детей, и дети неосознанно начинают делить знания на «нешкольные» и школьные, которые нужны только на уроках.

Иногда широкое понятие «задача» подменяется в начальной школе узким его толкованием. Чаще всего в общее понятие «задача» вкладывается смысл понятия «арифметическая задача» (задача, ответ на вопрос которой должен и может быть найден с помощью арифметических действий). Такая подмена также не безобидна. Она, значительно затрудняет перенос знаний о задачах и процессе решения на задачи без числовых данных, на задачи из других областей знания, на практические задачи. Сужение понятия одна из причин того, что часть выпускников начальной школы считает: решить задачу (текстовую, сюжетную) – это выполнить арифметические действия с числами, данными в условии. Такое убеждение очень мешает формированию умения решать задачи.

Имеет место еще одна ошибка в характеристике понятия задачи, к сожалению встречающаяся в учебниках, методической литературе, практике и искажающая истинный смысл понятий, относящихся к задаче и процессу решения. Ошибка заключается в том, что в число структурных компонентов задачи включают элементы процесса решения задачи. Нередко можно услышать: «Задача состоит из условия, вопроса, решения и ответа». В одном из учебников обнаружено даже шесть «элементов задачи»: условие, вопрос, схема, выражение, решение, ответ. Из этого следует, что решение является частью задачи, что схема и выражение (математическое, числовое) – обязательные компоненты самой задачи. Такое смешение понятий «задача» и «процесс решения задачи» вредит формированию умения решать задачи, лишает смысла деятельность детей по решению задачи. Напомним: структурными компонентами задачи являются условие и требование (вопрос); условие содержит данные, может содержать также неизвестные, требование – искомое, требуемое.

ЗАДАЧА

Условие Требование

данные неизвестные искомое, требуемое

Отметим еще один аспект рассматриваемых понятий. Любое понятие только тогда «работает», когда мы видим не только общие свойства объединенных в нем объектов, но и вариативные, позволяющие различать представителей понятия – элементы объема понятия, и образовывать новые, видовые, понятия. Ответим поэтому на вопросы: «Чем может отличаться одна задача от другой? Какие задачи возможны («бывают», существуют)?»

Задачи могут отличаться друг от друга содержанием. Их можно разделить по этому признаку на задачи математические, лингвистические, психологические, химические, кулинарные, педагогические, задачи общения и т.п.

ЗАДАЧИ

математические нематематические

«чисто математические» прикладные психологические химические физичкские …

вычислительные «невычислительные»

на выполнение преобразование уравнения и геометрические

одного действия выражений неравенства задачи

на нахождение …

значений выражений в

два и более действий

Математические задачи делятся на две большие группы: прикладные и собственно математические. Текстовые сюжетные задачи по этой классификации можно было бы отнести к прикладным, хотя современная прикладная математика рассматривает в качестве прикладных более сложные задачи из различных сфер производства и науки. Задачи могут отличаться характером требования. По этому признаку выделяют задачи на нахождение искомого; на построение, конструирование (материального или идеального объекта, способа действия и т.д.); на доказательство; на сравнение – на установление сходства и различий, вида отношения. Существует классификация по предпочтительным методам и способам решения. В этой классификации задачи делят на арифметические, алгебраические, геометрические, логические, практические; на нахождение четвертого пропорционального, на "части", на «приведение к единице» и т.п.. Возможны классификации и по многим другим основаниям.

Приведите свои классификации и примеры задач из разных классов, относящихся к обучению младших школьников математике.

Перейдем к характеристике других, понятий, относящихся к задачам.

Термин решение задачи употребляется в научно-методической литературе в четырех разных значениях²: 1. Процесс перехода от условия к выполнению требования задачи (к ответу на вопрос задачи) или процесс выполнения плана решения. 2. Запись результата процесса решения, описание решения (Покажи мне свое решение. Представь мне свое решение.). 3. Ответ на вопрос задачи или вывод о выполнении требования (Назови свое решение). 4. Способ, метод перехода от условия к выполнению требования задачи (Какое красивое решение найдено!). Значение термина обычно ясно из контекста. Чтобы исключить разные толкования, нужно употреблять термин так, чтобы его смысл был ясен.

Процесс решения задачи – это переход от ее условия к выполнению требования (к ответу на вопрос). Ответ на вопрос задачи, вывод о выполнении требования или о невозможности его выполнения – результат процесса решения задачи.

Процесс решения может проходить развернуто с обоснованием каждого шага или свернуто, вербально (со словесным оформлением) или невербально (без словесного выражения), путем последовательного логического вывода или на основе интуиции, когда ответ на вопрос возникает в результате озарения, догадки. Невербальное решение осуществляется через конструирование зрительных, слуховых, осязательных или кинестетических образов. В этом случае человек не всегда и не сразу может описать, как он решал. Именно это происходит тогда, когда ученик быстро находит верный ответ на вопрос задачи, но не может объяснить, как его получил. Вероятно, он "увидел" задачную ситуацию и ответ на вопрос задачи. И такое решение нужно признавать. А затем учить осознавать это внутреннее решение, находить средства его выражения в слове, рисунке, в математической записи, а также находить другие решения, которые легче поддаются представлению на естественном языке.

Задача решена, если в результате некоторых операций с информацией, данной в ней вербально (словесно) или в других знаковых формах, сформулирован ответ на вопрос (вывод о выполнении требования задачи), соответствующий условию задачи. Если задача такова, что допускает несколько или много разных ответов, удовлетворяющих задаче, то задача считается решенной, когда найдены все ее решения. Если найдены не все решения, то задачу можно считать частично решенной. Пример. Задача: «Какой улов мог быть у Коли, если он был больше чем у Димы, но меньше чем у Олега, каждый из которых поймал соответственно 5 рыб и 9 рыб?» Полный ответ: «Улов Коли мог составить 6, 7 или 8 рыб. Частичное решение: «Улов Коли мог составить 7 рыб».

Ответ на вопрос задачи (вывод о выполнении требования задачи) считается соответствующим условию задачи, если информация или построенный объект, содержащаяся в нем, не противоречит информации, данной в условии задачи.

В понимании процесса решения задачи важную роль играет различение вопросов «Что значит решить (решать) задачу?» и «Как можно решить (решать) задачу?» и ответов на них.

Ответ на первый вопрос характеризует смысл решения (процесса решения) задачи. Этот смысл выкристаллизовался в процессе развития русского языка и деятельности людей в областях знания, для которых обсуждаемые термины являются значимыми. Он остается неизменным для любого вида задач и не зависит от способа решения.

Решить задачу — на основе информации из условия задачи и требования дать ответ на вопрос задачи, соответствующий условию (выполнить требование задачи в соответствии с ее условием). Если ответ конкретным «решателем» найден без записи задачи, без записи решения, без обоснования решения, без объяснения решения, то названные действия не входят в процесс решения этой задачи данным «решателем».

Решать задачу — это значит выполнять действия — умственные, предметные, графические, речевые и т.д., направленные на достижение цели: найти ответ на вопрос задачи, соответствующий условию (выполнить требование задачи в соответствии с условием).

На вопрос "Как решить (решать) задачу?" однозначного ответа нет и быть не может. Путей, методов, способов, приемов перехода от условия к вопросу, к выполнению требования любой задачи существует бесконечное множество. Процессы решения одной и той же задачи разными людьми и одним и тем же человеком в разное время различны. Они зависят от многих причин, в том числе и от того, для чего решается задача, и от причин, побудивших взяться за решение. Эти различия могут быть более или менее значительными, приводить к одинаковым или различным способам внешнего выражения процесса решения. Даже когда задача решается одним и тем же методом с одной и той же целью, реальное решение разными людьми различно, ибо каждый человек имеет свой неповторимый жизненный опыт, внутренний мир, свои особенности эмоционального восприятия, свой характер и темп мыслительных процессов, уровень и характер понимания слов, понятий, терминов, ситуаций.

В процессах решения задач разными людьми есть и общее. Это общее позволило выделить средства, методы и способы, приемы решения задач, которые используются разными людьми, приводят к сходным результатам и могут передаваться от одного человека к другому. При этом существует много методов и способов, с помощью которых можно решить ту или иную задачу.

Представленная позиция впротивоположна той, согласно которой существует лишь несколько способов решения задачи, причем учитель точно знает, какие способы «хорошие» и именно им он должен обучать детей. Учитель с такой позицией, заранее знает, как должна быть решена задача детьми. Любое отклонение от этого пути в лучшем случае мягко и доброжелательно исправляется. Узкое понимание учителем понятий задача, решение задачи неизбежно приводит к подавлению инициативы, мыследеятельности, самостоятельности детей. Что делать ученику, который знает, что решение возможно только способом, показанным учителем, а он забыл его? Если вспомнить не удастся, то отказаться от решения.

Учитель, допускающий многообразие путей, способов и форм решения, всегда заметит и поддержит неординарный поворот мысли ребенка и тогда на каждом уроке возможны открытия. У такого учителя дети опираются на свою мысль, а не только на память. Если знаешь, что существует множество путей решения, стоит ли огорчаться, что забыл один путь? Что значит один забытый путь в сравнении с бесконечным числом других возможных! Это очень сильная мотивационная посылка. Дети, принявшие ее, чувствуют силу своего ума, не боятся вносить предложения по ходу решения. Им открыта возможность ощутить радость познания и понимания, удовольствие от умственной работы.

Обращаем внимание еще на одну сторону понятий решение задачи, решить задачу. Данные выше характеристики относятся к сущности этих понятий и не отражают требований к процессу решения задач в разных областях знания и с разными целями. Математика представляет собой ту сферу деятельности, где разрабатывают способы решения. Здесь задачу зачастую считают решенной не тогда, когда известен ответ на ее вопрос, соответствующий условию, а когда описан путь получения ответа. Это не меняет содержания названных выше понятий, но говорит о том, что форма представления процесса решения решающим субъектом зависит от цели решения и цели представления.

Важными понятиями теории решения задач являются методы, способы, формы представления решения задач. Исходя из значений слов «метод» и «способ»⁴³, сложившихся традиций их использования в методике обучения математике, описание соответствующих понятий построим на различиях в решениях задач. Эти различия могут проявляться на нескольких уровнях⁴⁴. В данном пункте дадим только краткое толкование основных понятий, а более детально рассмотрим их в 7.4.

Методами решения задач назовем системы действий решения задач, отличающиеся друг от друга средствами решения, в роли которых могут выступать разделы знаний, составляющие теоретический базис решения или некоторые способы представления информации, используемые в одном или нескольких разделах знаний.

В методике обучения математике выделяют методы: арифметический; алгебраический; геометрический, логический, графический (с помощью графиков в декартовой системе координат), координатный, с помощью графов, табличный и др.

Способами решения задач назовем системы действий решения задач, относящиеся к одному методу (т.е. выполняемые с помощью одних и тех же средств), но отличающиеся отношениями (связями) между данными, данными и неизвестными, данными и искомым, положенными в основу решений или (и) условиями использования этих отношений, что проявляется через различие в содержании и последовательности операций, выполнение которых приводит к получению ответа на вопрос задачи (к выполнению её требования). Можно говорить об арифметических, алгебраических, и др. способах решения математических задач. Различия следующих уровней обозначим терминами формы выполнения решения, формы устного решения, формы записи решения.

Понятием, характеризующим человека в связи с задачами и их решением, является понятие умение решать задачи (4).

Любое умение – это качество человека, его готовность осуществлять определенные действия. Взаимодействие учителя и учащихся, направленное на формирование умения решать задачи меняет должно повысить уровень этого умения.

В методической литературе принято выделять два основных типа умения решать задачи: общее умение решать задачи и умение решать задачи определенного вида или частное умение решать задачи.

Общее умение решать задачи складывается из:

— знаний о задачах, структуре задач, процессе решения, этапах решения (действиях по решению), методах, способах и приемах решения;

— умений применять названные знания в процессе решения конкретной задачи, выполняя каждый из этапов решения любым из методов и способов решения, используя любой из приемов, помогающих решению, доводя этот процесс до выполнения требования задачи или доказательства невозможности решения или до обнаружения препятствия, которое данному решающему не позволяет решить задачу.

Умение решать задачи определенных видов (частное умение решать задачи) состоит из: знаний о видах задач, способах решения задач каждого вида; умений "узнавать" задачу данного вида, выбирать соответствующий ей способ(ы) решения и реализовать его(их) при решении конкретной задачи "узнанного" вида.

Общее умение решать задачи проявляется при решении человеком незнакомой задачи – задачи, способ решения которой ему неизвестен. Всех людей, назовем их испытуемыми, по характеру поведения при встрече с незнакомой задачей можно разделить на две группы.

Испытуемые первой группы после осознания того, что способ решения им неизвестен, никаких действий не совершают на том основании, что «мы таких задач не решали и поэтому решить эту задачу я не смогу». Общее умение решать задачи у них находится на нулевом уровне, хотя они могут при этом владеть некоторыми его компонентами.

Испытуемые второй группы, зная, что они такие задачи не решали, начинают анализировать, преобразовывать задачу и либо доводят решение до выполнения требования, либо отказываются от продолжения решения после выполнения некоторой его части и осознания причин невозможности решения: «Я не могу решить эту задачу, так как не знаю, что такое «...», «Я не могу решить эту задачу, так как для ее решения нужно 7 разделить на 4, а я не умею это делать» и т.п. Испытуемые второй группы владеют общим умением решать задачи. Показателем уровня умения является как уровень сложности решаемых задач, так и характер действий испытуемого в процессе решения задач.

Чтобы выяснить наличие и уровень умения решать задачи определенного вида, учащимся можно предложить несколько задач, среди которых есть задачи требуемого вида. Примеры заданий: «Выбрать те задачи, которые знаете, как решать, и решить их», «Выбрать задачи на движение и решить их». Если ученик выполняет задание, значит, он владеет соответствующим умением. Уровень и качество этого умения определяются сложностью решенных задач и тем, насколько осознан и обоснован выбранный учеником способ решения.

Группа понятий (5) характеризует использование задач в обучении математике младших школьников, которое реализуется в обучении решению задач и в обучении математике с помощью задач.

Отметим вначале существенные различия между понятиями обучение решению задач и решение задач. Необходимость такого различения вызвана тем, что в методической литературе и в практике обучения эти понятия часто отождествляются, вопрос "Как научить решать задачи?" подменяется вопросом "Как решать задачи на уроке?", а обучение решению задач сводится к решению задач на уроках и дома. Такое отождествление приводит к ориентации и работы учителя и деятельности учащихся на получение ответов на вопросы задач, а не на формирование умения решать задачи или формирование других математических понятий и способов действий. При такой подмене и учащиеся лишаются возможности осуществлять учебную деятельность (в психологическом смысле⁴⁵). Ведь и их целью становится «решить задачу», а не цель «учиться решать задачи» и ее подцели. Поэтому до сих пор не используются должным образом богатые резервы формирования умения решать задачи, имеющиеся в разнообразных видах работы с задачами⁴⁶, отличных от решения задач (подробнее они будут представлены в следующих пунктах данной главы).

Таблица 1.

Сравнительная характеристика деятельности учащегося при решении задачи и при осуществлении учебной деятельности по овладению умением решать задачи

	Вид деятельности учащегося
Характеристики деятельности	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ	УЧЕБНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ОВЛАДЕНИЯ УМЕНИЕМ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ
Субъект (кто выполняет)	Учащийся	Учащийся
Предмет (на что направлена)	Конкретная задача	Учащийся
Цель	Выполнить требование задачи: получить ответ на вопрос задачи, найти требуемое значение величины, требуемый объект, вывод, утверждение. Цель вне субъекта.	Изменить себя (изменить свои внутренние качества): приобрести новые знания о задачах и процессе решения задач, овладеть новыми способами действий, обеспечивающих возможность успешно решать задачи новых видов и и (или) большей сложности чем те, которые учащийся мог решать до выполнения данной деятельности, или усовершенствовать, увеличить степень владения уже присвоенными способами действий. Цель внутри субъекта:
Возможные действия	Восприятие и осмысление задачи, поиск и составление плана решения, выполнение решения, проверка правильности решения и т.д. с развернутым выполнением всех или некоторых этапов. Подбор ответа, его угадывание. Поиск готового ответа и описания решения. Использование ответа, полученного другими.	Решение задач: развернутое, логически упорядоченное, и свернутое, интуитивное; методом проб и ошибок с последующим соотнесением с условием задачи, самостоятельное, групповое; решение с использованием заданных средств и способов и без ограничения выбора средств и способов. Сравнение и анализ текстов задач. Упражнения в представлении информации разными способами и разными средствами. Выполнение части решения. Изучение и анализ готовых решений задач. Сравнение готовых решений задач. Составление задач. Выявление зависимости между изменением содержания задачи и способа решения. Наблюдения за решением задачи – своим и решением других людей. Изучение литературы о задачах и их решении. …
Условия полного прекращения действий	Получение ответа на вопрос задачи, получение требуемого объекта, вывода, отношения, независимо от способа его получения.	Не существует, так как нет пределов совершенствования умения решать задачи. Временное прекращение деятельности может происходить по причине: истечения времени, выделенного на эту деятельность; усталости; потери интереса, в частности, вследствие переживаемого неуспеха; внешних обстоятельств; принятия решения о прекращении данной деятельности ввиду признания достаточности приобретенного уровня умения решать задачи на данный период.
Результат деятельности	Заявленный в требовании задачи объект, ответ на вопрос задачи – повествовательное предложение с соответствующей информацией, представленной в какой-либо форме.	Внутренние новообразования: появление в арсенале субъекта новых способов действий, новых умений и навыков, интеллектуальное и эмоциональное развитие и др.
Предмет контроля (что подвергается контролю)	Выраженное в знаковой форме решение задачи.	Внутреннее состояние субъекта, уровень умения решать задачи.
Предмет оценки (что оценивается)	Качество решения, выраженного в знаковой форме.	Уровень умения решать задачи субъекта – внутренние качества субъекта.
Возможность и признаки полного и абсолютного достижения цели	Представленный в знаковой форме – устно или письменно требуемый объект, ответ на вопрос задачи, относительно которого доказано, что полученный объект, ответ соответствует задаче.	Не существует: пределов совершенствования и развития умения решать задачи нет. Кроме того, при длительном отсутствии опыта решения и опыта учебной деятельности с целью научиться решать задачи уровень умения решать задачи снижается.

Решение задачи – действие человека или машины, направленное на задачу. Цель этого действия – выполнение требования задачи.

Обучение решению задач – взаимодействие учителя и учащихся в учебном процессе для формирования у учащихся умения решать задачи.

Обучение общему умению решать задачи это:

– формирование знаний о задачах, методах и способах решения, приемах, помогающих решению, о процессе решения задачи, этапах (действиях) этого процесса, назначении и содержании каждого этапа;

– выработка умения расчленять задачи на составные части, использовать различные методы решения, адекватно применять приемы, помогающие понять задачу, составить план решения, выполнить его, проверить решение, умения выполнять каждый из этапов решения.

При формировании общего умения решать задачи предметом и содержанием обучения являются задачи (в широком смысле слова), процесс решения задач, методы и способы решения задач, приемы, помогающие осуществлению каждого этапа и процесса решения в целом.

Обучение умению решать задачи определенных видов (обучение частному умению решать задачи) – это

– формирование знаний о видах задач, об особенностях задач конкретного вида и особенностях процессов их решения, о методах и способах решения, приемах, наиболее подходящих для задач каждого вида;

– выработка умения узнавать (распознавать) задачи конкретного вида, применять различные методы, способы, приемы решения адекватно особенностям конкретной задачи данного вида.

Предметом изучения и основным содержанием обучения при формировании умения решать задачи конкретных видов являются виды задач, методы, способы, приемы и образцы решения задач каждого вида.

В истории методики математики издавна идет спор – учить ли детей решать задачи определенных видов или учить решать любые задачи. Положительный ответ давался то на первый, то на второй вопросы. С начала 30-х и до конца 60-х годов прошлого столетия в отечественной методике приоритет отдавался обучению решению задач определенных видов (типов). С 70-х годов главной целью провозглашено формирование общего умения решать задачи. Истина, как всегда, «посредине»: необходимо формировать оба умения. Такое формирование эффективно при сочетании в процессе обучения трех линий:

1) накопление опыта решения разнообразных задач как с осознанием процесса и способа решения, так и на интуитивной основе;

2) овладение всеми компонентами общего умения решать задачи в специально организованной деятельности, в которой компоненты общего умения являются предметом изучения и усвоения;

3) овладение всеми компонентами умения решать все виды простейших базовых математических задач курса математики – вычислительных задач (выполнение сложения, вычитания, умножения и деления целых неотрицательных чисел), текстовых задач, называемых в методике задачами на «нахождение суммы, разности двух и более чисел», «движение», «куплю-продажу», «нахождение дроби от числа и числа по его дроби», «вычисление площади прямоугольника и нахождение стороны прямоугольника по известной площади и другой стороне», и др.

Обучение математике с помощью задач. Учитель может обратиться к задачам на разных этапах процесса обучения для привлечения внимания к изучаемым математическим понятиям и способам действий, для «открытия» свойств математических понятий, например, свойств арифметических действий; для закрепления вычислительных навыков, освоения свойств геометрических форм и фигур и т.п. Задачи здесь выступают средством обучения математике и можно говорить, что обучение математике происходит с помощью задач.

Воспитание и развитие с помощью задач. Задачи представляют собой определенный способ организации информации, задающий формы и способы деятельности, характерные для многих сфер жизнедеятельности. Поэтому решение задач, обучение решению задач, несомненно, оказывают воздействие на становление определенных черт характера и качеств личности, на отношение к себе и к миру, т.е. воспитывают. Направленность воспитания, его реальные результаты зависят от многих факторов и, в первую очередь, от профессионализма и педагогических позиций учителя. Так как математические задачи – это такая форма представления информации, которая побуждает к деятельности, прежде всего к деятельности интеллектуальной, то задачи могут служить средством интеллектуального развития учащихся. В этом заключается содержание понятия воспитание и развитие с помощью задач. Однако воспитывающее и развивающее воздействие содержится в задачах как возможность, реализация которой зависит от участников образовательного процесса – учителя, учащегося, авторов учебников и учебных материалов, и, прежде всего, от содержания и способа взаимодействия названных участников, организуемого учителем.

Таким образом, понятие использование задач в процессе обучения математике обозначает все случаи включения задач в процесс обучения математике для достижения целей обучения, воспитания и развития.

В заключение еще раз подчеркнем: характер понимания ключевых понятий, представляющих задачи, процессы их решения и включения задач в обучение школьников, задает педагогические, в частности, методические позиции учителя, определяющие эффективность использования задач в обучении как для формирования умений учащихся решать задачи, так и для других целей обучения, воспитания и развития.