Глава 3. Парный регрессионный анализ взаимодействия уровня безработицы и ввп в Российской Федерации

3.1 Построение модели парной регрессии

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

или

Уравнение позволяет по заданным значениям фактораx иметь теоретические значения результативного признака подстановкой в него фактических значений фактора x.

Расчет параметров уравнения линейной регрессии.

Таблица 1. Исходные данные.

	t	Уровень безработицы, %	ВВП, в млрд.руб
		Y	Х
2000	1	10,6	7305,6
2001	2	9,0	8943,6
2002	3	7,9	10830,5
2003	4	8,2	13208,2
2004	5	7,8	17027,2
2005	6	7,1	21609,8
2006	7	7,1	26917,2
2007	8	6,0	33247,5
2008	9	6,2	41276,8
2009	10	8,3	38807,2
2010	11	7,3	46308,5
2011	12	6,5	55644,0
2012	13	5,5	61810,8
2013	14	5,5	66689,1

Примечание: Данные граф 3, 4 взяты из статистики Госкомстат и Статинфо.

С помощью табличного процессора Excel, вычислим коэффициенты модели парной регрессии и проверим значимость уравнения регрессии (таблица 2).

Таблица 2. Уравнение регрессии y = a + bx

Регрессионная статистика
Множественный R	0,79108027
R-квадрат	0,85994365
Нормированный R-квадрат	0,594625327
Стандартная ошибка	0,904808628
Наблюдения	14

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	16,43014187	16,43014187	20,06909769	0,000752611
Остаток	12	9,824143841	0,818678653
Итого	13	26,25428571

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	9,146954439	0,467008408	19,586273552	0,000000000178
Переменная X1	-0,000055729	0,000012440	-4,479854651	0,000752611

Примечание: режим регрессия, пакет анализа MicrosoftExcel

С помощью СТЬЮДРАСПОБР tкр, tкр= 2,144. Сравнивая значения t- статистики с рассчитанным критерием, получаем: значение всех переменных (X= -4,48) по модулю больше чем tкр= 2,144, а значит, фактор значим. Итоговое уравнение имеет вид:

Y= 9,14695 – 0,00006X.

Коэффициент этого уравнения показывает, что снижение ВВП способствует снижению уровня безработицы.

Далее следует выявить значимость выбранного фактора. Для этого следует определить адекватность построенной модели.

Рассмотрим коэффициент детерминации . Данный коэффициент показывает долю полной вариации объясняемой переменной, она детерминирована объясняющими переменными. Для полученной нами регрессии коэффициент детерминацииэто означает что модель примерно на 86% раскрывает степень влияния фактора, то есть модель имеет высокую значимость.

Коэффициент множественной регрессии R=0,93, он показывает тесноту связи зависимой переменной (уровень безработицы) с объясняющим фактором, входящим в модель регрессии.

Далее оценим адекватность модели по F-критерию Фишера. Для этого воспользуемся функциейFРАСПОБР в программеMicrosoftExcel. Получаем,=4,75. Получаем что табличное значение меньше, следовательно, модель адекватна и пригодна для использования.

Найдем среднюю ошибку аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации – это среднее отклонение расчетных значений от фактических. Для этого воспользуемся остатками модели

Таблица 3. Вывод остатков

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки
1	8,739815768	1,860184232	2,13983496
2	8,64853471	0,35146529	0,404302812
3	8,543376129	-0,643376129	-0,740098056
4	8,410868605	-0,210868605	-0,242569529
5	8,19804074	-0,39804074	-0,45788018
6	7,94265699	-0,84265699	-0,969337798
7	7,646877219	-0,546877219	-0,629091986
8	7,29409327	-1,29409327	-1,488640734
9	6,846623869	-0,646623869	-0,743834045
10	6,984254694	1,315745306	1,513547828
11	6,566211116	0,733788884	0,844103009
12	6,045951383	0,454048617	0,522307999
13	5,702278662	-0,202278662	-0,232688217
14	5,430416845	0,069583155	0,080043936

Примечание: режим регрессия, пакет анализа MicrosoftExcel

Таблица 4. Расчетная таблица для вычисления средней ошибки аппроксимации.

t	Уровень безработицы, %	ВВП, в млрд.руб
	Y	Х
1	10,6	7305,6	8,739816	1,9	1,9	0,179245
2	9,0	8943,6	8,648535	0,4	0,4	0,044444
3	7,9	10830,5	8,543376	-0,6	0,6	0,055949
4	8,2	13208,2	8,410869	0,2	0,2	0,02439
5	7,8	17027,2	8,198041	-0,4	0,4	0,051282
6	7,1	21609,8	7,942657	-0,8	0,8	0,012676
7	7,1	26917,2	7,646877	-0,5	0,5	0,070423
8	6,0	33247,5	7,294093	-1,3	1,3	0,016667
9	6,2	41276,8	6,846624	-0,6	0,6	0,096774
10	8,3	38807,2	6,984255	1,3	1,3	0,156627
11	7,3	46308,5	6,566211	0,7	0,7	0,09589
12	6,5	55644,0	6,045951	0,5	0,5	0,076923
13	5,5	61810,8	5,702279	-0,2	0,2	0,036364
14	5,5	66689,1	5,430417	0,1	0,1	0,018182

Примечание: данные графы 2, 3 взяты из статистики Госкомстат и Статинфо; данные графы 4 предсказанное Y из таблицы 3; данные графы 5 получены путем вычитания из графы 2 графу 5; данные графы 6 это данные графы 5 по модулю; данные графы 7 получены путем деления графы 6 на графу 2.

Таким образом, по формуле (2.22), получаем

Поскольку ошибка меньше 10%, то можно говорить о хорошем подборе модели к исходным данным.

Проанализируем уравнение регрессии полностью, то есть проверим выполняются ли предпосылки метода наименьших квадратов (МНК).

Исследование остатков предполагает проверку присутствие следующих пяти предпосылок МНК:

• случайный характер остатков;

• нулевая средняя величина остатков, не зависящая от ;

• гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений

• отсутствие автокорреляции остатков – значения распределены независимо друг от друга;

• остатки подчинены нормальному распределению.

Для анализа используем таблицу 3.

Остатки исследуемого тренда образуют S= 5 серии, уровень значимости равен 0,05. В таблице «Критерии значения для количества серий» находим критические значения (Таблицы, стр. 354). Получаем, что , следовательно, аналитическая форма модели выбрана удачно.

Определим случайный характер остатков. Построим график отклонений фактических значений от теоретических значений признака.

Рисунок 3.1. Фактические и теоретические значения уровня безработицы в Российской Федерации с 2000 по 2013 гг.

На рис. 3.1 показано как построенная модель парной регрессии аппроксимирует уровень безработицы в Российской Федерации с 2000 по 2013 года.

Рисунок 3.2 График остатков.

На рисунке 3.2 показан график остатков, получена горизонтальная полоса, которая показывает, что остатки представляют собой случайные величины и применение МНК оправдано.

Далее нужно определить присутствие зависимости остатков от . Рассмотрим нулевую величину остатков, которая не зависит от . В качестве критерия рассмотрим статистику:

где – среднее арифметическое остатков – стандартное отклонение.

Рассчитаем критерий t-теста Стьюдента дляm=n-1,m=14-1=13 степеней свободы и для уровня значимости 0,05. Определим с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР вMicrosoftExcel. ЕслиI*I, то математическое ожидание случайных отклонений несущественно отличается от 0, то есть отклонение признается несмещенным. В противно случае мат ожидание отличается от 0, значит отклонение признается смещенным. Так как модель линейная и построена по МНК, тозначит иIтоже равно 0. Получились такие результаты:I*= 2,160, значитI* является критическим значением. Получается, чтоI*I, то есть отклонение несмещенное.

Далее проверим отсутствие автокорреляции остатков с помощью критерия Дарбина – Уотсона в нашем случае.

Таблица 5. Вспомогательная таблица для вычисления критерия Дарбина-Уотсона

t	Y
1	10,6	8,739815768	1,860184	-	-	3,460285
2	9,0	8,64853471	0,351465	-1,50872	2,2762328	0,123528
3	7,9	8,543376129	-0,64338	-0,99484	0,9897094	0,413933
4	8,2	8,410868605	-0,21087	0,432508	0,1870628	0,044466
5	7,8	8,19804074	-0,39804	-0,18717	0,0350334	0,158436
6	7,1	7,94265699	-0,84266	-0,44462	0,1976836	0,710071
7	7,1	7,646877219	-0,54688	0,29578	0,0874857	0,299075
8	6,0	7,29409327	-1,29409	-0,74722	0,5583318	1,674677
9	6,2	6,846623869	-0,64662	0,647469	0,4192166	0,418122
10	8,3	6,984254694	1,315745	1,962369	3,8508928	1,731186
11	7,3	6,566211116	0,733789	-0,58196	0,3386733	0,538446
12	6,5	6,045951383	0,454049	-0,27974	0,0782546	0,20616
13	5,5	5,702278662	-0,20228	-0,65633	0,4307655	0,040917
14	5,5	5,430416845	0,069583	0,271862	0,0739088	0,004842
Итого					9,5232512	9,824144

Примечание: данные графы 2 взяты из статистики Госкомстат и Статинфо; данные графы 2 это предсказанное Y взяты из таблицы 3; данные графы 4 остатки взяты из таблицы 3; данные графы 5 получены путем вычитания из последующего значения предыдущего; данные графы 6 получены путем возведения в квадрат графы 5; данные графы 7 получены путем возведения в квадрат графы 4.

Таким образом, получаем из (2.27), что .

Из таблицы «Значения статистики Дарбина-Уотсона» [Елисеева стр. 566] определим критические значения критерия Дарбина-Уотсона 1,05 идля заданного числа наблюдений 14 и числа независимых переменных модели равного 1, уровня значимости α=0,05.

Получаем, что 1,34<0,97<-0,34, это говорит о том, что нет оснований отклонять гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках.

Проверим наличие гетероскедастичности в остатках регрессии с помощью рангового коэффициента Спирмена. Суть этой проверки заключается в том, что в случае гетероскедастичности абсолютные остатки коррелированы со значением фактора . В таблице 6 показан расчет рангового коэффициента Спирмена.

Таблица 6. Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмена.

№
1	1	14
2	2	13
3	3	4
4	4	2
5	5	5
6	6	12
7	7	7
8	8	3
9	10	9
10	9	11
11	11	6
12	12	8
13	13	10
14	14	1
Итого	105	105

Примечание: данные графы 2 получены путем ранжирования от большего к меньшему графы 4 таблицы 1; данные графы 3 получены путем ранжирования значений, взятых по модулю от меньшего к большему графы 4 таблицы 2.

После присвоения х рангов (табл. 6), нужно найти абсолютные разности между ними, возвести их в квадрат и просуммировать, затем полученные значения подставить в формулу (2.25) для расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена по каждому фактору.

Таблица 7. Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

№
1	13	169
2	11	121
3	1	1
4	-2	4
5	0	0
6	6	36
7	0	0
8	-5	25
9	-1	1
10	2	4
11	-5	25
12	-4	16
13	-3	9
14	-13	169
Итого	0	580

Примечание: данные графы 2 получены путем вычитания из графы 3 таблицы 6 графы 2 таблицы 6; данные графы 3 получены путем возведения в квадрат графы 2.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена для Х равен:

Статистическую значимость коэффициента можно определить с помощью t-критерия (2.26).

Таким образом, получаем:

Далее сравним эту величину с табличной величиной, рассчитанной с помощью функции в MicrosoftExelСТЬЮДРАСПОБР при α=0,05 и числе степеней свободыn=2=14-2=12;

Получается что, , тогда принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков.

Далее исследуем остатки на наличие нормальности распределения с помощью теста Шапиро-Уилка.

Таблица 8. Расчетная таблица для вычисления статистики W

№
1	1,8602	-1,2941	1,6747	0,7251	-1,7906	2,5157
2	0,3515	-0,8427	0,7101	1,3318	-0,5537	1,8855
3	-0,6434	-0,6466	0,4181	0,7460	1,0974	-0,3514
4	-0,2109	-0,6434	0,4139	0,1802	1,1318	-0,9516
5	-0,3980	-0,5469	0,2991	0,1240	1,7138	-1,5898
6	-0,8427	-0,3980	0,1584	0,9727	0,1960	0,7767
7	-0,5469	-0,2109	0,0445	0,0240	-0,7472	0,7712
8	-1,2941	-0,2023	0,0409
9	-0,6466	0,0696	0,0048
10	1,3157	0,3515	0,1235
11	0,7338	0,4540	0,2062
12	0,4540	0,7338	0,5384
13	-0,2023	1,3157	1,7312
14	0,0696	1,8602	3,4603
Итого			9,8241			3,0563

Примечание: данные графы 2 - это остатки из табл.2, данные графы 3 получены путем ранжирования от меньшего к большему графы 2, данные графы 4 получены путем возведения квадрат графы 3, данные графы 5 взяты из табл. [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title], данные графы 6 получены путем вычитания соответствующего, но номеру значения из графы 3, данные графы 7 получены путем умножения графы5 на графу 6.

Так как

Из таблицы выбираем критическое значение W*, дляn=14 и уровня значимости α = 0,05,W*= 0,874. Так какW>W*, то можно утверждать о том, что распределение случайных отклонений нормальное. Все предпосылки МНК выполнены, что говорит о качестве полученных оценок параметров эконометрической модели.

Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле (2.10):

Таким образом, ВВП является статистически значимым фактором, оказывающим влияние на уровень безработицы в Российской Федерации.