РГР Механика

x x0 xt at2

2

А скорость изменяется по закону:

0 a t

Нахождение модулей неизвестных величин из векторных уравнений не совсем удобно, поэтому необходимо сделать проекции уравнений на оси прямоугольной системы координат, совмещая начало координат с положением точки в начальный момент времени, получив при этом скалярные уравнения для координаты для проекций скорости точки на оси координат. Таким образом, решая полученную систему уравнений, можно найти искомую величину.

Задачи такого плана решаются по следующему алгоритму:

1)Составляется чертеж, включающий систему координат, траекторию движения точки, направления векторов скорости и ускорения;

2)Отмечаются все координаты тела, векторы скорости и ускорения проецируются на оси;

3)Устанавливается связь между указанными величинами;

4)Записываются дополнительные условия задачи на языке формул;

5)Находятся искомые величины.

При решении задач на движение тел в гравитационном поле Земли, как по вертикали, так и брошенными под углом к горизонту, следует помнить некоторые особенные моменты: время подъема тела до максимальной высоты и время падения до исходного уровня одинаковы, начальная скорость полета равна скорости в момент достижения телом начального уровня, при достижении телом максимальной высоты подъема, вертикальная составляющая скорости равна нулю.

Рассматривая движение тел, брошенных под углом к горизонту, можно принимать его как результат наложения двух одновременных прямолинейных движений по осям Ох и Оу, направленных вдоль

30

поверхности Земли и по нормали к ней. На основе этого данные задачи

решаются по нижеприведенному алгоритму:

1)Составляется схематический чертеж движения тела;

2)Отображаются все величины и точки, указанные в условии;

3)Находятся проекции вектора начальной скорости по осям системы координат;

4)Составляются уравнения для вертикального и горизонтального направлений;

5)Решается полученная система уравнений;

Основные требования к задачам, требующим использования графиков, – это отличное знание графиков элементарных функций и умение проводить их анализ. Такая необходимость связана с тем, что уравнения прямой линии и параболы при равномерном и равнопеременном движениях геометрически отображают скалярные уравнения ускорения, скорости, пути и координаты.

Графические задачи, как правило, делятся на две группы. Первая представлена задачами, в которых дается график зависимости (обычно от времени) одних кинематических величин, а уже по нему необходимо построить график зависимости между какими-либо другими величинами.

Решение задач этой группы предполагает анализ исходного графика,

представление данной зависимости в виде уравнения, по которой определяется искомая зависимость, а уже исследовав ее, построить новый график. Имея определенный навык в решении подобных задач, можно,

исключив этап составления уравнений, сразу построить искомый график.

Ко второй группе относятся задачи, при решении которых, заданные аналитически условия, отображаются на графике. Затем на этом графике довольно просто находится та или иная величина. Особенность таких задач заключается в выборе наиболее подходящего графика, полностью отображающего исходные условия, что позволит легко найти искомую величину.

31

Основные принципы решения задач по динамике

Так как динамика изучает процессы взаимодействия тел, основной задачей динамики материальной точки является нахождение законов движения точки, зная приложенные к ней силы. С другой стороны, зная законы движения, возможно определить силы, действующие на материальную точку, под действием которых и произошло движение.

При решении задач механики на основе законов Ньютона, необходимо соблюдать следующую последовательность:

1)Составить чертеж с указанием кинематических характеристик движения, особенно ускорения;

2)Отобразить все силы, действующие на движущуюся материальную точку, при наличии связей (тела, нити, опоры, подставки и т. д,

ограничивающие свободу движения рассматриваемого тела.)

заменять их силами;

3)При расставлении сил, действующих на тело, обязательно руководствоваться третьим законом Ньютона, учитывая, что силы могут действовать на данное тело только со стороны каких-то других тел: сила тяжести, равная mg, –со стороны Земли, со стороны нити — сила натяжения Т, и т.п. К данному телу всегда приложено столько сил, сколько имеется других взаимодействующих с ним тел.

4)Затем составляется основное уравнение динамики в векторном виде,

которое является основной расчетной формулой:

n

ma Fi

i 1

5)Полученное уравнение проецируется на касательную и нормаль к траектории движения, при этом получится система уравнений в скалярном виде (при выборе направления осей стараться, чтобы направление оси Оx совпадало с направлением ускорения);

6)Если число неизвестных в полученной системе уравнений больше

числа уравнений, то, используя формулы кинематики, законов

32

сохранения импульса и энергии, необходимо составить соотношения

между известными величинами;

7)Перед вычислениями необходимо произвести проверку наименований физических величин;

8)Подставить числовые значения в итоговую формулу и получить

искомый результат.

При решении задач, в которых рассматривается движение системы связанных материальных точек (например, движение грузов на двойной наклонной плоскости) необходимо рассматривать тела системы отдельно,

свободными от связей. Все остальные этапы решения такие же, как и для отдельной материальной точки. При необходимости (если число неизвестных больше числа уравнений динамики) используются формулы кинематики.

Данный способ применяется для случаев, когда в задаче требуется найти действующие между отдельными телами системы силы, а также когда тела имеют разные ускорения.

33

Примеры решения задач

Пример 1. Законы движения двух материальных точек описываются

который скорости точек будут одинаковы, найти ускорения точек, построить

a1 d 2 x1 2 C1 ; dt2

Аналогичные уравнения запишем для второй материальной точки:

Приравнивая правые части уравнений для скоростей материальных точек, найдем момент времени, когда скорости будут одинаковы:

B1 2 C1 t B2 2 C2 t ;

34

Проверим правильность единиц измерения – в числителе мс , в

знаменателе мс2 , результатом будет секунда, следовательно, можно проводить числовые расчеты:

Ускорения материальных точек будут постоянны и равны: a1 2 0,05 0,1мс2 ;

a1 2 0,1 0,2 мс2

Для построения графиков целесообразно использовать шаблоны таблиц в виде:

После подстановки значений времени в уравнения движения и скоростей, получим 4 заполненные таблицы, по которым построим графики x t и t , графиками ускорений будут прямые линии, параллельные осям времени.

Пример 2. Тело брошено с поверхности Земли под углом 0 к горизонту с начальной скоростью 0 . Определить время движения тела и угол, при котором максимальная высота подъема будет равна горизонтальной дальности полета.

35

h

x

l

Рис. 8. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Из рисунка видно, что движение тела представляет собой суперпозицию горизонтального равномерного движения вдоль оси X со скоростью x и

движения тела, брошенного вертикально вверх со скоростью y , причем:

Решая данное уравнение, получим:

Нулевое значение времени соответствует точке бросания, т.е. началу отсчета, следовательно, время движения тела:

найдем время подъема тела на максимальную высоту:

0 sin g t 0 ,

откуда

Для определения дальности полета в уравнение (66) подставим время всего полета:

Решая данное уравнение получим:

37

sin2 2 sin 2 sin2 4 sin cos

sin 4 cos sin 0

sin 0 или 4 cos sin 0 ,

откуда искомый угол, при котором дальность полета и высота подъема равны, 76 (т.к. при 0 тело не оторвется от поверхности).

Ответ: tп 2 0 sin , 76 . g

Пример 3. С наклонной плоскости свободно скатывается брусок, масса которого 200 г. Определить расстояние, пройденное им по горизонтальной поверхности после скатывания до полной остановки и весь пройденный путь,

если угол наклона плоскости равен 30 , высота 60 см, а коэффициент трения бруска о плоскость 0,08. Найти ускорение и скорость бруска на середине

Рис. 9. Движение тела по наклонной плоскости

38

Когда тело находится в верхней точке, его потенциальная энергия определяется выражением:

(70)

При движении эта запасенная энергия расходуется на совершение работы против сил трения, действующих как на наклонной плоскости, так и на горизонтальном участке:

Для перехода к скалярному виду рассмотрим проекции данного уравнения на оси: Ох, направленную параллельно наклонной плоскости, и

Оу, перпендикулярную ей. При этом вектор силы тяжести раскладывается на две составляющие: m g и m g

Тогда уравнение (73) можно представить в виде системы:

Расстояние, пройденное телом по наклонной плоскости, определяется через определение синуса угла:

39