Информационно-вычислительные системы в машиностроении CALS-технологии (Соломенцев, 2003)

• I • »

Wo Ф I i I Ь

т

Рис.2.27. Представление графа па решетке и диаграммой

Использование критерия: количество технологических баз. Эта задача сводится к нахождению порядковой функции графа (рис.2.27).

Задание графа, по Бержу, делается при помощи соответствия Г между элементами и подмножествами множества М.

Г(т\)={?П2,гП'^У,

Г(?П2)={?п^,?п^};

Г{т^) ={т1,тз};

Г{т^)={т^,т/^)] rirrij) -> образ ш^.

Граф можно рассматривать как пару G ={М,Г).

Граф G определяется с помощью обратного отображения

Г- 1(ш2) ={т2,т'^У,

Г- 1 ( ^ 3 ) ={1Щу7П^,7П^У

Г-\(т^)={т2,т^У

Г- 1 ( ^ 5 ) = {7/22,ШзЬ

Порядковая функция графа без контуров

Дан граф без контуров G = (М, Г), определим подмножества NQ , iV|, ..., М2У NQ ={Xi / Xi с М,Г~^ (Xj) =0} т.е. берутся те верши­ ны из М, от которых стрелки только уходят

в строке ЛО нули - это вершины, из которых дуги уходят. Уровень ЛГо ={10,20,30,40}

Уровень N\ ={11} Уровень N2 ={21,31,41} Уровень Л^з ={12} Уровень N4 = {22,32}.

Порядковая функция позволяет подсчитать количество ТБ и по­ рядок их смены.

Если граф содержит контур, то обязательно, появится строка без пулей. Поэтому мы строим граф G^ и G7, т.е. одновреметпю с поряд­ ковой функцией определяем совместимость структур G^ и G^.

2.2.5. Разложение графа на максимальные сильно связные подграфы (приложение к задаче сборки или разузлования)

В некоторых задачах структурного анализа, т.е. где физическая (предметная) область моделируется графами, возникает проблема разбиения или разложения множества элементов системы на сильно связные подмножества. Для решения этой задачи нам потребуются некоторые определения.

Г"^ (7?2| ) = {7723 }; Г~^ (т^ ) = Г~^ (7723 ) = {^2 » ^^4 } Г~^(772^) ={7721, 7722, 7723 }.

Очевидно, что Г^ (т^) и Г"'^ (772j) являются подмножествами тех вершин, в которые можно прийти из 772j, используя пути длины 72 (или меньше), и тех вершин, из которых можно прийти в 772^, исполь­ зуя пути длины 72 (или МСНЬШс).

Транзитивным замыканием ri^n^ называется многозначное ото­ бражение, определяемое формулой

т.е. rirrij)- множество вершин, в которое можно прийти из 772^ по не­ которому пути.

Приведенное условие эквивалентно условию: (V^j eM)r'Hmi)=M.

Разложение графа па максимальные сильно связные подграфы

Подграф G строится на подмножестве вершин графа G и включа­ ет все дуги, входящие и выходящие из этого подмножества.

Подграф называют максимальным сильно связным^ если не су­ ществует сильно связного графа G", строго содержащего G.

Метод разложения графа на максимальные сильно связные под­ графы

Если C{mi) - подграф, содержащий т^, то

СЫ{) = rinii) п Г~^ (mi).

Метод состоит в следующем:

Берем произвольную вершину т^ и находим Г{т()у Г (т^) и

Затем берем вершину /Wy 0 С(т) и действуем аналогично. Процесс продолжается до тех пор, пока это возможно. Рассмотрим алгоритм на примере схемы сборки:

Щ

узлы

В этом примере т-^, т^у т^ - базовые детали. Преобразуем схему сборки в граф.

Возникает четыре класса или четыре максимальные сильно связ­ ные подграфы:

С ( т | ) = {w?!, Ш2, ^ 3 , ;«4,т^, 1щ} С(ту)={т7}

C(ms)={ms}

Таким образом, имея конструкторскую информацию о базирова­ нии деталей в конструкции, мы можем получить технологическую ин­ формацию о схеме сборки.

2,2,6. Конечные автоматы (приложение к работе сборочного конвейера)

ПустьХ ={х\ ,X2,...,-^7W}H У ={у\ ,y2»-»i/w}~ Д^^пр^из^^-^ьных множества элементов, которые будем называть алфавитами, а их эле­ менты — буквами алфавита.

Конечную упорядоченную последовательность букв, будем на­ зывать словом в данном алфавите. а(Ю и ЫУ) соответственно, мно­ жества слов в алфавитах X и У. Тогда произвольное преобразование дискретной информации можно задавать как однозначное отображе­ ние f множества слов а(Х) в множестве слов G(Y). Отображение f обычно называют алфавитным отображением, или алфавитным опе­

ходное слово г =^уj\,y j2i---y Уji. Поэтому для каждого Р G а(Х) суще­ ствует г G (5(У), такое что г = f(p). В этом случае f есть функция, об­ ласть определения которой а(Х), а область значений сКУ).

Любой абстрактный автомат реализует некоторый оператор f или, как говорят, индуцирует некоторое отображение /*.

Отметим ряд допущений, связанных с понятием абстрактного ав­ томата.

1.Наличие произвольного числа отличных друг от друга состоя­ ний автомата и свойства мгновенного перехода из одного состояния в другое.

2.Переход из одного состояния в другое оказывается возможным не ранее, чем через некоторый промежуток времени А(А > 0) - интер­ вал дискретности.

3.Число различных входных и выходных сигналов конечно.

4.Входные сигналы - причина перехода автомата из одного со­ стояния в другое, а выходные сигналы - реакция автомата на

168 Глава 2. Математические модели в САЬЗ-техиологиях

входные сигналы - относятся к моментам времени, определяемым со­ ответствующими переходами автомата.

Учитывая эти обстоятельства, можно говорить, что абстрактный автомат функционирует в дискретном времени ^ = О, 1, 2, ... . На каж­ дый входной сигнал xit) t >0, автомат реагирует сигналом yit).

Различают два вида автоматов - синхронные и асинхронные. В синхронных автоматах переход из одних состояний в другие

осуществляется через равные промежутки времени, в то время как в асинхронных автоматах эти переходы совершаются через произволь­ ные промежутки времени.

Остановимся более подробно на законах функционирования ав­ томатов. Состояние q(t) автомата в момент времени t однозначно определяется предыдущим состоянием qit -\) и входным сигналом xit). Поэтому можно записать:

q(t) = (p(qit\),x(t)X

где ф - функция, определяющая последующее состояние автомата, которая обозначается просто ф(^, х) и называется функцией перехо­ дов.

Выходной сигнал y(t) реального автомата всегда появляется по­ сле входного сигнала x(t). Однако, относительно времени перехода t из состояния q(t -\)в состояние q(t) выходной сигнал y(t) может поя­ виться либо раньше, либо позже этого времени. Поэтому справедли­ вы выражения:

y(t)=\\f(q(t--\),x(OX y(t) = \\f(q(t),x(t)X

где \\f(q,x) - функция выходов обычная {q{t-\)) или сдвинутая

(qit)).

Различают: автомат первого рода

q(t)=^(q(t-\),x(t)) y(t)=\\f(q{t-\),x(t))

автомат второго рода q(t)=^(q(t-i),xit))

y(t) = \\f(q(t),x(t)), тдet=\, 2, 3, ... .

Способы задания автоматов. Существует несколько эквивален­ тных способов задания автоматов, по аналогии с графами их три: ана­ литический, геометрический, матричный.

Говорят, что задан абстрактный автомат, если задано: 1. X ={д:,}, г = 1,^2 - входной алфавит;

2.У ={г/у}, У = 1,г2 - выходной алфавит;

3.Q={q^},k = \,р - алфавит состояний;

4.F : X x Q - > Q ~ операция, переводящая декартово произведе­ ние F х Q в Q, или F ч- X х Q -> {Q,Y)\

5.q\ eQ - началыюе состояние автомата.

Другое задание:

1.X ={Xi}y i = \,m

2.У={г/Л, y = l,n

3.Q={qf,lk=\;^

4. q = f(x,q) - функция переходов.

5. г/ = \\i(Xjq) - функция выходов.

Перечисленные способы задания являются аналитическими. Они состоят из трех конечных множеств и двух функций, определен­ ных на множествах.

Множества X, У, Qявляются не только конечными, но и счетны­ ми, эквивалентными натуральному ряду. Поэтому матричное задание автомата состоит в табличном задании функций q = f(x,q), у = \^{x,q).

Геометрический способ задания автомата сводится к изображе­ нию ориентированного графа, вершинами которого являются состоя­ ния автомата, обозначаемые различными буквами: q eQ, з, около каждого ребра (qj^, qj \ ставится буква входного алфавита х^ е X, вы­ зывающая переход автомата из состояния q^^ в ^^, и буква выходного алфавита у^ е У, которая появляется на выходе автомата. Если