Информационно-вычислительные системы в машиностроении CALS-технологии (Соломенцев, 2003)
.pdf170 |
Глава 2. Математические модели в CALS-технологиях |
автомат первого рода, то выходная буква определяется парой (^^ д:^), а если второго рода, то парой (^^ х^). Началыюе состояние автомата обозначается буквой q\ eQ.
Таким образом, ориентированный граф, ребра которого нагру жены буквами входного и выходного алфавитов, однозначно задает некоторый абстрактный автомат. Графы с нагруженными ребрами (весовыми функциями на ребрах) обычно называют графоидами. По этому ориентированный графоид - геометрическая интерпретация абстрактного автомата.
Пример способов задания абстрактиого автомата.
Пусть задан абстрактный автомат (аналитическое задание):
А = (X, У, Q, Г7 = fix, q),y=\\)(x, q)),
Х={Х^,Х2УХ2}, ¥={уиУ2}^ Q={?1>72>?3>^4}
Функции /* и vj/ удобнее задавать таблично, отсюда табличный способ задания автомата:
x\q |
|
|
|
|
x\q |
|
|
\\к |
|
71 |
7? |
73 |
74 |
71 |
7? |
73 |
74 |
||
х\ |
71 |
7?. |
74 |
7з |
х\ |
У\ |
Уг |
У\ |
Уг |
Х2 |
7? |
73 |
71 |
74 |
Х2 |
У-} |
У\ |
Уг |
У\ |
^3 |
73 |
,74 |
72 |
71 |
^3 |
У\ |
У\ |
Уг |
У\ |
Геометрический способ задания автомата:
Х\/Ух
Х2/У\
^\/У\
2.2. Моделирование технологических процессов |
171 |
Предположим, что автомат является автоматом первого рода. Подача на вход автомата А, установленного в начальное состояние q^ входного слова Р| = х^х^Х2Х^Х2Х^ вызывает на выходе слово
П =У\У\У2У2У2У\' |
|
|
Пример описания реального |
автомата |
абстрактным. |
Из цехов AVLB идут детали Л и В в некоторой беспорядочной по |
||
следовательности ААВАВВААВА... |
Требуется образовать тройки для |
|
последующей сборки (рис.2.29). |
|
|
ЛАВABB А... |
ABA |
ABA ABA |
t_-
Рис.2.29. Схема сборочного автомата
X={xi =Дд:2 =В}] У ={^1 =Ау2 =В,у^ =0}; Q ={д^,д2.дз}- |
|
q^ - автомат ждет деталь А-х^; |
|
(72 ~ автомат А ждет В =Х2] |
|
б/з - автомат после АВ ждет |
А=Х\. |
|
д:, |
-2 |
У\ |
Уг |
Я1 |
Ъ |
9, |
Ух |
0 |
ъ |
Яг |
Яъ |
0 |
У2 |
ъ |
Ях |
Яз |
^1 |
0 |
|
Матрица переходов и выходов
2.2.7. Непрерывные модели
Представление технологической системы (ТС) в виде ориенти рован?юго объекта. Рассмотрим, от чего зависит погрешность каждо го составляющего звена технологической размерной цепи. Для этого представим ТС в виде ориентированного объекта (рис.2.30).
XT/гВХ - входное положение элемента формы заготовки, относите льно технологической базы, свойства материала заготовки.
172 |
Глава 2. Математические модели в САLS-технологиях |
Рис.2.30. Технологическая система
д:гг"-вых - выходное положение элемента формы заготовки, относи
тельно технологической базы, переменные ТП. Уп ~ управляющие переменные ТП.
е критерии оптимальности. Йример: токарная обработка (рис.2.31).
Обрабатываемая деталь
Инструмент (резец)
Рис.2.31. Схема токарной обработки
Здесь:
Лс - размер статической настройки, Лд - размер динамической настройки, Лд - технологический размер, Лд = Л^ + Ад.
В рассматриваемом примере переменные, описывающие ТП, сле дующие:
^^-^ =(Лд,/?«,Азад);:с»=^ ={2,H);Y={V,S),
где R^ - шероховатость поверхности детали, Азад ~ износ инструмен та, г - припуск на обработку, Н - твердость материала заготовки, V - скорость резания, S - подача.
2.2. Моделирование технологических процессов |
173 |
Отдельного рассмотрения заслуживает критерий 9. Одним из возможных критериев является себестоимость работы ТС по преобра зованию заготовки в готовую деталь. Она слагается из двух частей:
6 = E^t^ + ^и — ,
где Ef. - стоимость станкоминуты, Eyi - стоимость работы инструмен та за Г, t^ - машинное время, Т - период стойкости инструмента.
t |
/ _ I ^ ndl , |
^So-n 5м \OOOVS'
|
ЮООУ ^ |
ndl „ ^„ |
ndl |
Со |
_ |
п = |
Э = |
Ef, + Eyi |
|
= —— при Т = const; |
|
|
nd |
1000У5 |
\OOOVST |
VS |
|
"lOOOl^ "" Т J
где SQ - подача на оборот детали, S^ - минутная подача.
Таким образом, можно описать ТС следующими зависимостями: ^вых ^р(^вху) или Лд =/1(У,5,2,Я),
е = Ф(х^^,у) или е = ф(у,л
Подобные модели в отличие от графовых называются непрерыв ными, или параметрическими.
Задачи статистического моделирования {применительно к мо делям ТС). Под моделированием или выяснением механизма явле ний мы будем понимать следующую задачу. Имеется некоторый объ ект Л, обладающий входом х и выходом у. Объект А переводит мно жество входных величин X в множество выходных У. Элементы мно жеств X и У могут быть скалярами, векторами, функциями. Требует ся определить структуру объекта А на всем множестве X, или вид преобразования.
Возможно два различных подхода: аналитический и статиче ский. ТП - есть пример сложной диффузной системы. Будем рас
сматривать вход - |
вектор, выход - |
скаляр, т.е. у =/*(x| ,X2,...,^7j). |
При этом математическое описание - отрезок ряда Тейлора. |
||
п |
п |
п |
г=1 |
i<\ |
1=1 |
174 |
|
Глава 2. Математрпеские модели в CALS-технологиях |
||
|
- _ ^ . |
Ьи = • ^f -А.. - ^ V |
||
ГДеЬо =У{)\ |
bi = Эх,- |
dx^dxj |
; ^ г г = |
•дх: |
Вводя |
новые переменные |
типа: |
х^^^ ^Х\Х2\ ^«+2 =-^1-^3> |
|
^п-^г -^\ и т.п., приходим к искусственной линейной форме вида:
у =Ь^х^ +Ь\Х\ + 62-^2+'+bjfe-^j^> где дго =1.
Задача: определить коэффициенты Ьо» bj, . . . Ь^^ по результатам эксперимента.
(д:21л:22...Д:2;^)-^У2; ^2 =^0^0 + bi^21+ -+Ь)^-^2^ +^2
Вводим матричные обозначения:
|
|
(Ьо^ |
|
Л ]0 |
ЛГ]! |
4fe |
|
У2 |
|
|
|
|
|
|
|
= Y; |
= в; |
= Е; |
•^20 |
^21 |
'2k |
= X, |
|
|
|
|
|
|
|
||
КУы |
|
'kj |
VN ) |
. ^ N 0 |
-^^Wl |
^ATfe j |
|
X - матрица плана эксперимента, Xy- - точки факторного пространст ва (точки пространства эксперимента).
Тогда Y = XB |
+ E. |
Вспомним матричные операции. |
|
Произведение |
|
АхВ=С::^С^1^ |
= AiBf^ - скалярное произведение строки на |
столбец. Количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.
блхлА =рх q, dimS = qx s, dimC =px s.
В скалярной форме
7»
/=1
С , C90
гтттп ^
dimA =3X4 |
dim^=4x5 |
dim^ =3x5 |
|
|
2.2. Моделирование технологических процессов |
175 |
||
Произведение матриц некоммутативно. Скалярное произведение |
|||
векторов коммутативно: |
|
|
|
^1^1 =^2^2 =h^\ |
+b2t/2. |
|
|
Транспонирование - |
замена строк столбцами, и наоборот. |
||
Ам А\ Свойство {АВУ = В' А. |
|
||
Доказательство: |
|
|
|
|
стр. столб. |
|
|
C'ik-Cki=A^ |
Bi |
= В, А, =B'i |
А', . |
стр. столб. столб. стр. стр. столб.
А. Свойство обратной матрицы. Обратная матрица
АА =АА |
= \- |
единичная матрица. |
|
|||
|
Скалярное нроизведепие |
|
|
|
||
|
|
|
Ге,\ |
|
|
|
|
ЕЕ |
=(e^e2...ejsj)x ^2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
е^ |
|
|
|
- |
скалярный квадрат вектора. Выражение для скалярного квадрата |
|||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
Y = XB + E=>E = Y-XB;E' |
=Y' |
-В'Х'; |
|||
|
Е'Е = ( Г - В'Х') (У -XB) |
= Y'Y- |
В'Х'У - У'ХВ + В'Х'ХВ = |
|||
|
= Y'Y |
-2B'X'Y |
+ B'X'XN |
= SR |
|
|
- |
остаточная сумма квадратов. |
|
|
|
||
Здесь мы использовали свойство В' X'Y = У ХВ, так как А'В=В'А
Таким образом, S^ =f(B). Чтобы найти min, надо
Sbo
dSдВR = 0=1 Sbi 1 = 0.
dSR
To есть нам надо продифференцировать выражение для SR .
176 |
|
|
|
|
|
Глава 2. Математические модели в СALS-технологиях |
|||||||
Вспомним элементы векторного дифференцирования. |
|||||||||||||
дВ |
|
|
дВ |
|
|
|
|
|
|
\^2) |
|
||
fi'^=(bobi)x| |
.02) |
=bo«l |
+^1^2; |
—— |
К^2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
SB |
|
||||
дВ'Х'ХВ |
= 2Х'ХВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X' X - |
симметрическая матрица, так как (X' X)' = X' X; |
||||||||||||
Х'У = Л = | ' ^ " |
|
^^Ч; Причем Д12 = «21 ^ = |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
I, п |
и ч е |
«15 |
—"2 |
" —\ |
|
||
|
|
|
.«21 |
|
^^22, |
|
|
|
|
|
1^1 |
||
(Ьо |
^1) X |
^21 |
|
^22 |
|
= (Ьо |
bi)x |
^21^0 |
+«22^1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
^11^0 |
+^12^0^1 |
+«21^0^1 |
+^22^1^ |
|
|
|
|
||||||
- квадратичная форма вектора В |
|
|
|
|
|
||||||||
Дифференцируем по Ьо и bj. |
|
|
|
|
|
||||||||
.^21^0 +^22^1 J |
|
^11 |
^12 l ^ lЬг^^ O = 2ЛВ. |
|
|
||||||||
|
«12 |
«22 v' |
^^ |
|
|
|
|
||||||
Отсюда SSRдВ _ 2Х'У + 2Х'ХВ=>Х'ХВ=Х'У;
(X' Х)"^ (X' Х)5 = (X' Х)"^ X' УВ = (X Х)"^ X У.
Проведенные преобразования носят название метода наимень ших квадратов - М.Н.К.
Свойства оцепоКу получегшых М.Н.К. \. В - являются линейными оценками.
2. В - являются несмещенными оценками. Доказательство: M[Y] = ХР;
М[В] = М[ (X' ХУ^ X" У] = (X Х)-^ X M[Y] =
=(X' Х)"^ X Хр = р; М[Е] = 0.
3.В классе линейных несмещенных оценок оценки, полученные методом М.Н.К., обладают минимальной дисперсией (теорема Гаус са-Маркова).
2.2. Моделирование технологических процессов |
177 |
Планирование экспериментов. М.Н.К. минимизирует диспер сию на множестве методов вычисления оценок. Дисперсия также за висит от расположения точек в факторном пространстве. Минимум дисперсии доставляет ортогональный план, задаваемый ортогональ ной матрицей (теорема Бокса).
Рассмотрим на примере получение ортогонального плана и рас чет коэффициентов В.
Конкретизируем вид зависимости Ад =f(V,SyZ). Выдвинем гипотезу, что Ад =Ро^ ^^ ^^ •
Степенная зависимость выдвинута из следующих соображений для степенной функции у =сх^ при различных а получаем следую щие различные графики:
У ^ |
yf |
д=0
а<0
Переменные меняются в некоторой области, задаваемой неравен ствами:
^min ^ ^ - ^max
параллелепипед в пространстве факторов V, 5, Z. Логарифмированием выражение для Ад приводится к линейно
му относительно логарифмов. Введем обозначения:
Х^ =
^2 =
21gy-lgF^ax |
+ 1; |
21g5-lg5n,ax |
+ t; |
^3 = 21gZ-lgZ^ax + 1
178 |
Глава 2. Математические модели в CALS-технологиях |
Принцип получения формул поясняется графиком:
О IgVn^in о' IgKnax
Ипоследовательностью действий.
1.Перенос начала координат в точку (У:
х\ =lgy -(У, посередине между min и max;
0' = lgVn |
^ё *^max |
^ё *^min __ |
|
|
|
|
|
|
|
1 тг |
^У |
, |
1 тг 1 тг |
^У |
= lg^max |
- ^ = > ^ l = l g ^ ~ l g ^ m a x |
+ - ^ • |
||
2. Сжатие шкалы, т.е. преобразование подобия, х^ -Кх'\, при |
||||
чем К находим из условия х^ |
=\ при Ig F = Ig V^^^. |
|||
:Ar„y-l,V„.,...^1.21g^-lgy.
* А У Г '' •"'" 2 J IgV^ax-Ig^min
Перейдем от переменных V, 5, Z к переменным х^, Х2, х^. lgA(7=i/=lgpo+Pilg^ + P2lg-^ + P3lg2.
Выразим переменные Ig V, Ig S, Ig Z через л;^, X2, ^з:
(Igl^max - I g ^ m i n b l = 2 1 g y - 2 1 g F „ „ ^ H-lgV^max |
"IgV^min; |
||||||
|
Ig^max |
-Ig^min „ |
, Ig^max + l g ^ n |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
•g^max -Ig^min |
^ |
^ o |
Ig ^max +lg^mm |
||
j/=lgP0+Pi'^'"'^''/^''"'":Cj |
+Pi |
|
|
||||
^P |
Ig-S'max |
-Ig-S'min ^. |
^ g |
Ig-S'max |
+^g-S'min |
, |
|
^n |
Ig^max |
-Ig^min ^ |
^ R |
'g ^max |
+ 'g ^min . |
|
|
y=bQXQ_b^Xx +b2X2+b2X^; X(f=\.
2.2. Моделирование технологических |
процессов |
179 |
,и ^§*^тах ^§^min |
, j^ 'S-^max |
' § ^ n |
bi=Pi Ig^max |
- lg^„ |
|
b2=h |
Ig-S-n |
•Ig-^n |
b3=h |
^S-^max |
^8^n |
Мы установили однозначное соответствие между переменными У, S,ZHX^,X2,X^,II между параметрами Ро > Pi»Р2»Рз ^^0 > ^ »^2 > ^3 • В пространстве переменных Х\, Х2, х^ параллелепипед перехо
дит в куб с центром в начале координат и ребром, равным двум.
Фигура, образованная точками 1,2,3,4 называется симплексом. В данном случае имеем правильный симплекс.
Если эксперимент ставить в вершинах куба, то мы имеем так на зываемый полный факторный эксперимент (ПФЭ) типа 2^, где п - число факторов.
ПФЭ реализует все возможные комбинации уровней независи мых переменных, каждая из которых варьируется па двух уровнях. Матрица координат вершин куба называется матрицей плана экспе римента.
При линейном росте числа факторов число опытов растет по по казательной функции. Если при решении задачи моделирования можно ограничиться линейным приближением, то ПФЭ неэффекти вен. Применяется дробный факторный эксперимент. Половина фак торного эксперимента называется полурепликой и т.д.
Для нахождения оценок В последовательно находим матрицы:
X', Х'Х, {ХХУ\{ХХ)-^Х\ |
(Х'Х)^'^ =В. |