помощь по matcad

Частное решение системы получится из базисного при конкретном значении

Решение.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как rang A = 2 ≠ 3 = rang B , то система несовместна (не имеет реше-

ний). Действительно, последней строке полученной расширенной матрицы соответствует уравнение 0 x1 +0 x2 +0 x3 = −19 , не имеющее решений. Таким

образом, система решений не имеет.

Пример 7 . 3 . Решить систему уравнений

3x +4y +2z =82x −4y −3z = −1.

x +5y + z = 0

Решение.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

50

матриц, то система совместна и имеет единственное решение. Из последней строки ступенчатой системы следует, что z = 3, следовательно:

y = −145 z +141 = −145 3 +141 = −1; x = −5y − z = −5 (−1) −3 = 2 .

Таким образом, единственное решение исходной системы имеет вид (2;-1;3). Замечание.

Метод Гаусса по сравнению с другими методами:

1)применим для исследования и решения любых систем;

2)позволяет однозначно установить, совместна ли система или нет, а в случае совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество);

3)дает возможность найти ранг матрицы системы.

2. Вычисления с помощью системы M a t h C A D

Приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором Mathcad обеспечивает встроенной функцией rref (A) , при этом последний

столбец полученной матрицы совпадает с искомым решением. Пример 7 . 4 . Решить системы уравнений

Решение. а) Составим основную матрицу A и столбец свободных членов C данной системы и сформируем расширенную матрицу системы с помощью команды B = augment(A,C) :

51

В данном примере использовалась операция нахождения элемента aij матрицы rref (B) : rref (B)i, j (см. лаб. раб. 1).

б) Для данной системы имеем:

Так как rang A = 2 ≠ 3 = rang B , то система несовместна (не имеет реше-

ний).

в) Аналогично находим ступенчатую систему:

52

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 8.

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. Теоретические сведения

Определение 8 . 1 . Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x1 = x2 =... = xn = 0 явля-

ется решением системы. Это решение называется нулевым, или тривиальным. Определение 8 . 2 . Однородная система (8.1), имеющая единственное решение (нулевое), называется тривиально совместной. Однородная система,

имеющая ненулевое решение, называется нетривиально совместной. Исследовать однородную систему – значит установить, является ли она

неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее

Решение.

а) Найдем ранг основной матрицы A :

54

Ранг матрицы r(A) = 2 , а число неизвестных n = 4 : r < n , следовательно,

система имеет бесконечное множество решений (теорема Кронекера-Капелли). В качестве базисных неизвестных можно выбрать только x1, x2 , свободные не-

известные – x3 , x4 . Полученной после преобразований матрице соответствует система

Из данной системы находим общее решение

(8x3 −7x4 ;−6x3 +5x4 ; x3 ; x4 ) , где x3 , x4 – произвольные числа. Частное решение системы при x3 = −1, x4 =1: (−15; 11; −1; 1) .

Таким образом, система нетривиально совместна, имеет бесконечное множество решений. Общее решение системы: (8x3 −7x4 ;−6x3 +5x4 ; x3 ; x4 ) ,

частное решение системы: (−15; 11; −1; 1) . б) Найдем ранг основной матрицы A :

Ранг матрицы равен числу неизвестных r(A) = 3 = n , следовательно, система тривиально совместна, то есть имеет только нулевое решение.

следовательно, система имеет единственное нулевое решение.

2. Вычисления с помощью системы M a t h C A D

Пример 8 . 2 . Исследовать и решить систему однородных уравнений:

55

За базисные неизвестные можно взять x1, x2 , а x3 – свободное неизвестное. Следовательно, при x3 =t : (2t; 3t; t)– базисное решение системы, где t – произвольное число. Частное решение: (2; 3;1) при t =1.

8.2. Проверьте полученные результаты в задании 8.1, выполнив данное задание на ПЭВМ.

57