помощь по matcad
.pdfСвойства определителей
1. При транспонировании величина определителя не изменится, то есть:
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
a11 |
a21 |
... |
an1 |
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
= |
a12 |
a22 |
... |
an2 |
. |
... ... ... ... |
|
... ... ... ... |
|
||||||
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
a1n |
a2n |
... |
ann |
|
2.Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна его умножению на −1.
3.Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен
нулю.
4.Умножение всех элементов одной строки (столбца) определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k .
5.Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то сам определитель равен нулю.
6.Если соответствующие элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
7.Если каждый элемент i -й строки (или j -го столбца) определителя
представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в i -й строке (или соответственно в j -м столбце) имеет первые слагаемые, а другой– вторые; эле-
менты, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же. Например,
a11 |
+c1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
c1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a21 |
+c2 |
a22 |
a23 |
|
= |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
+ |
|
c2 |
a22 |
a23 |
|
. |
a31 |
+c3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
c3 |
a32 |
a33 |
|
|
8. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель. Например,
a11 |
+ka12 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|||||||||
a21 |
+ka22 |
a22 |
a23 |
|
= |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
. |
a31 |
+ka32 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
Пример 4 . 4 .
а) Не раскрывая определителя, доказать справедливость равенства:
x2 + a2 |
ax 1 |
|
x2 |
x 1 |
|
y 2 + a2 |
ay 1 |
= a |
y 2 |
y 1 |
. |
z 2 + a2 |
az 1 |
|
z 2 |
z 1 |
|
б) Вычислить определитель матрицы, используя свойства определителей:
30
|
3 |
2 |
7 |
−3 |
|
||
|
−1 |
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
0 |
3 |
3 |
4 |
|
||
|
|||||||
|
|
|
|||||
|
1 |
5 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
Решение.
а) Так как 1-й столбец левого определителя можно представить в виде суммы двух столбцов, то по свойству 7 этот определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
x2 + a2 |
ax 1 |
|
x2 |
ax 1 |
|
a2 |
ax 1 |
|
y 2 + a2 |
ay 1 |
= |
y 2 |
ay 1 |
+ |
a2 |
ay 1 |
. |
z 2 + a2 |
az 1 |
|
z 2 |
az 1 |
|
a2 |
az 1 |
|
В правой части элементы 2-го столбца первого и второго определителей имеют общий множитель a , по свойству 4 общий множитель можно вынести за знак определителя. Кроме этого, элементы 1-го столбца второго определителя
имеют общий множитель a2 , поэтому
x2 + a2 |
ax 1 |
|
x2 |
ax 1 |
|
a2 |
ax 1 |
|
x2 |
x 1 |
|
|
1 |
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
y 2 + a2 |
ay 1 |
= |
y 2 |
ay 1 |
+ |
a2 |
ay 1 |
= a |
y 2 |
y 1 |
+ a2 a |
|
1 |
y 1. |
z 2 + a2 |
az 1 |
|
z 2 |
az 1 |
|
a2 |
az 1 |
|
z 2 |
z 1 |
|
|
1 |
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
1 |
|
Определитель |
1 |
y 1 |
= 0 , так как 1-й и 3-й столбцы совпадают (свойство 5). |
|
|
1 |
z |
1 |
|
Таким образом, получаем: |
x2 + a2 |
ax 1 |
|
x2 |
x 1 |
|
x2 |
x 1 |
, |
y 2 + a2 |
ay 1 |
= a |
y 2 |
y 1 |
+ a2 a 0 = a |
y 2 |
y 1 |
||
|
z 2 + a2 |
az 1 |
|
z 2 |
z 1 |
|
z 2 |
z 1 |
|
что и требовалось доказать.
б) Метод эффективного понижения порядка. Используя свойства опре-
делителей, вычисление определителя n -го порядка всегда можно свести к вычислению одного определителя (n −1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду (строке или столбце) определителя все элементы, кроме одного, равными нулю.
|
|
|
3 |
2 |
7 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
= |
−1 |
1 |
0 |
2 |
|
. |
|
||||||||
|
|
|
0 |
3 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
5 |
1 |
6 |
|
|
Получим нули, например, в 3-м столбце данного определителя. Для этого будем последовательно умножать 4-ю строку на 3, 7 и вычитать ее соответственно из 3-й и 1-й строки, после этого будем иметь (меняются последовательно 3-я и 1-я строки, а 4-я остается без изменения):
31
|
|
|
3 |
2 |
7 |
−3 |
|
3 |
2 |
7 |
−3 |
|
−4 |
−33 |
0 |
−45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A |
|
= |
−1 1 |
0 |
2 |
= |
−1 |
1 |
0 |
2 |
= |
−1 |
1 |
0 |
2 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
3 |
3 |
4 |
|
−3 |
−12 0 |
−14 |
|
−3 |
−12 0 |
−14 |
|
|
||
|
|
|
1 |
5 |
1 |
6 |
|
1 |
5 |
1 |
6 |
|
1 |
5 |
1 |
6 |
|
|
Теперь разложим определитель по 3-му столбцу: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−4 |
−33 |
0 |
−45 |
|
−4 |
−33 |
−45 |
|
−4 |
−33 |
−45 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
−1 |
1 |
0 |
2 |
=1 (−1)4+3 |
|
|
||||||
|
−1 |
1 |
2 |
= − |
−1 |
1 |
2 |
. |
|||||
|
−3 |
−12 |
0 |
−14 |
|
−3 |
−12 |
−14 |
|
−3 |
−12 |
−14 |
|
|
1 |
5 |
1 |
6 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим нули во 2-й строке. Для этого сложим 2-й столбец с 1-м, затем, умножив 2-й на 2, вычтем его из 3-го (второй столбец без изменений):
|
−4 |
−33 |
−45 |
|
|
|
−37 |
−33 |
−45 |
|
|
|
−37 |
−33 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
− |
−1 |
1 |
2 |
|
= − |
|
0 |
1 |
2 |
|
= − |
|
0 |
1 |
0 |
|
. |
|
−3 |
−12 |
−14 |
|
|
|
−15 |
−12 |
−14 |
|
|
|
−15 |
−12 |
10 |
|
|
Разложим по 2-й строке: |
|
|
|
|
|
|||
|
−37 |
−33 |
21 |
|
−37 |
21 |
|
= −(−370 + 21 15)= 370 −315 = 55. |
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
− |
0 |
1 |
0 |
= − |
|
|||
|
−15 |
−12 |
10 |
|
−15 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание
1. Если определитель квадратной матрицы An×n не равен нулю, то матри-
ца называется невырожденной, в обратном случае – вырожденной. 2. Определитель вводится только для квадратных матриц.
1 . 2 . Обратная матрица
Определение 4 . 3 . Матрица A−1 , удовлетворяющая соотношениям
A−1 A = A A−1 = E , где E – единичная матрица, называется обратной к матрице A .
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обрат-
ной матрицы). Обратная матрица A−1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица An×n невырожденная.
Обратная матрица A−1 вычисляется по формуле
A−1 = 1A A~T ,
~
где An×n – матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы An×n .
32
|
3 |
−1 |
2 |
|
|
2 |
0 |
1 |
|
Пример 4 . 5 . Найти матрицу, обратную к матрице A = |
. |
|||
|
5 |
2 |
0 |
|
|
|
Решение.
1) Найдем определитель матрицы A : A = −3 ≠ 0 , следовательно, обрат-
ная матрица существует.
2) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A :
A11 = M11 = −2 ; A12 = −M12 = 5; A13 = M 31 = 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
A21 = −M 21 = 4; A22 |
= M 22 |
= −10 ; A23 = −M 23 = −11; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
A31 = M 31 = −1; A32 = −M 32 =1; A33 = M 33 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Составим матрицу из алгебраических дополнений |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
A : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
− |
2 |
5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
−10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= |
|
|
−11 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
~T |
|
−2 |
4 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) Транспонируем матрицу |
|
|
|
|
5 |
|
|
−10 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
A : |
|
A |
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
−11 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4) Найдем матрицу A−1 по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−4 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
4 |
|
|
−1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
~T |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
−5 10 |
−1 |
. |
|||||||||||||||
A |
|
= |
|
|
|
|
|
A |
= |
|
|
|
|
|
5 −10 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
A |
|
−3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −11 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 11 |
−2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||
5) Проверим выполнения равенств A−1 A = A A−1 = E : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
−4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
−2 5 |
|
4 |
|
|
1 0 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
A−1 A = |
−5 10 |
|
−1 |
|
|
4 −10 |
|
−11 = |
|
0 1 0 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
−4 11 |
|
−2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−2 5 |
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
1 0 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
A A−1 = |
|
4 −10 −11 |
|
−5 10 |
|
−1 |
= |
0 1 0 |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 11 |
|
−2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
E ;
E .
33
2. Вычисления с помощью системы M a t h C A D
2 . 1 . Вычисление определителя матрицы
Символьный процессор системы M a t h C A D обеспечивает проведение операции вычисления определителя матриц, заданных в символьном виде и в числовом. Эта операция находится в меню Simbolics (Символьные вычисления): Simbolics Matrix Determinant. Также вычисление определителя можно произвести с помощью панели «Symbolic».
Вычислим определители матриц
|
|
|
|
|
3 |
2 |
7 |
−3 |
|
|
cos α |
−sin α |
; B = |
|
−1 |
1 |
0 |
2 |
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
3 |
4 |
|
|
sin α |
cos α |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
5 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ввод |
Описание действий |
|
|
Отображение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на экране |
Меню Simbolics Matrix
Determinant
Или
Меню Veiw Toolbars Symbolic кнопка
далее щелкаем курсором мышки вне рамки, ограничивающей выражение.
При вычислении определителя матрицы, заданной в символической форме, результат вычисления можно упростить с помощью команды simplify:
Меню View Toolbars Symbolic simplify
далее щелкаем курсором мышки вне рамки, ограничивающей выражение, и получаем ответ:
34
Если элементы матрицы – числа, то соответствующие операции выполняются в числовой форме:
Меню View Toolbars Symbolic
кнопка
2 . 2 . Нахождение обратной матрицы
Символьный процессор системы M a t h c a d обеспечивает проведение операции нахождения матрицы, обратной к данной матрице, заданной в символьном и в числовом видах. Эта операция находится в меню Simbolics (Сим-
вольные вычисления): Simbolics Matrix Determinant. Также вычис-
ление определителя можно произвести с помощью панели «Symbolic». Найдем матрицы, обратные к данным матрицам A и B :
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
7 |
−3 |
|
|
|
|
cos α |
−sin α |
|
|
−1 |
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
; B = |
|
|
. |
||||||
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
3 |
3 |
4 |
|
||
|
|
sin α |
cos α |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ввод |
Описание действий |
|
|
|
|
Отображение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на экране |
|
Меню Simbolics |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Matrix |
Determinant |
|
|
|
|
|
|
|
упростим полученное выражение:
Меню View Toolbars Symbolic simplify
35
Или |
Меню View |
Toolbars |
Symbolic кнопка далее щелкаем курсором мышки вне рамки, ограничиваю-
щей выражение:
и упрощаем выражение:
Если элементы матрицы – числа, то соответствующие операции выполняются в числовой форме:
Меню View |
Toolbars |
далее щелкаем курсором |
|
Symbolic |
кнопка |
|
|
|
мышки вне рамки, огра- |
||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ничивающей выражение: |
Ответ можно получить в виде десятичных дробей с помощью клавиши
«=»:
Задания для самостоятельной работы
4.1. Вычислить определители соответственно: а) по определению; б) с помощью правила треугольников:
36
|
k m −t |
|
|
|
3 |
k +t |
m |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
||||||||
а) d1 = |
; |
б) d2 = |
|
−6 |
m |
0 |
|
. |
|
|
3 m |
|
|
|
k |
t |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2. Вычислить определители соответственно: а) разложением по 2-й строке; б) по 3-му столбцу, а также с помощью метода эффективного понижения порядка:
|
|
t |
k −t |
k |
|
|
|
|
k |
t |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
12 −m |
−1 |
2 |
4 |
|
|||
а) D |
= |
−1 |
12 |
0 |
; |
б) D |
2 |
= |
; |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
m |
k −1 |
11 |
|
||
|
|
k +1 |
t |
−3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
−2 |
t |
−t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Найти обратные матрицы к матрицам:
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
m +6 |
|
|
|
|
2 |
t |
m +t |
7 |
|
|
t |
10 |
|
|
|
|
|
|
k |
0 |
1 |
|
|
|
|||||
; |
B = |
|
5 |
0 |
k |
|
; |
C = |
|
t + k |
. |
|||||||
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
−1 |
3 |
−8 |
|
||||
k m |
|
|
|
|
−1 |
t |
t −k |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
k |
0 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. Проверьте полученные результаты в заданиях 4.1.– 4.3, выполнив данные задания на ПЭВМ.
37
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ФОРМУЛАМ КРАМЕРА
1. Теоретические сведения
Определение 5 . 1 . Системой линейных алгебраических уравнений,
содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
a x |
+ a x |
2 |
+... + a |
x |
n |
= b |
|
|
||||||
11 1 |
12 |
|
1n |
|
|
1 |
|
|
||||||
a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn |
|
= b2 |
, |
(5.1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
....................................................... |
|
|||||||||||||
a |
x |
+ a |
m2 |
x |
2 |
+... + a |
mn |
x |
n |
= b |
m |
|
||
|
m1 1 |
|
|
|
|
|
|
где числа aij , i =1,..., m , j =1,..., n называются коэффициентами системы, чис-
ла bi – свободными членами, x j – неизвестные системы.
Определение 5 . 2 . Решением системы называется n значений неизвестных x1 = c1 , x2 = c2 , ..., xn = cn , при подстановке которых все уравнения сис-
темы обращаются в верные равенства.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Обозначим
a |
a |
... |
a |
|
|
a |
a |
... |
11 |
12 |
|
1n |
|
11 |
12 |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
, |
a21 |
a22 ... |
||
A = |
... |
... |
... |
|
B = |
... ... |
||
... |
|
|
... |
|||||
am1 |
am2 |
... |
amn |
|
am1 |
am2 ... |
A – матрица коэффициентов системы – основная матрица, матрица системы, дополненная столбцом свободных членов.
a1n b1 a2n b2
... ...
amn bm
B – расширенная
x |
|
|
|
b |
|
|
||
|
1 |
|
|
~ |
|
1 |
|
|
x2 |
|
– вектор-столбец из неизвестных |
b2 |
|
– вектор-столбец из |
|||
X = |
|
|
x j , B |
= |
|
|
||
... |
|
|
|
... |
|
|
||
x |
n |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
свободных членов bi .
По определению матричного умножения система (5.1) может быть запи-
сана в виде матричного уравнения
= ~
AX B .
38
Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными
a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn |
= b1 |
|
|
||||||||
a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn |
= b2 |
. |
(5.2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
................................................ |
|
|
|||||||||
a |
x + a |
n2 |
x |
2 |
+... + a |
nn |
x |
n |
= b |
|
|
|
n1 1 |
|
|
|
n |
|
|
Основная матрица A такой системы квадратная. Найдем решение данной системы уравнений в случае, когда определитель матрицы A ≠ 0 . Здесь
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
= |
|
|
A |
|
= |
|
a21 |
a22 |
... a2n |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
|
|
|
Теорема Крамера. Пусть |
|
|
– определитель матрицы системы A , а |
|||||||||||
j – определитель системы, получаемой из матрицы A заменой |
j – го столбца |
|||||||||||||
столбцом свободных членов. Тогда, если |
≠ 0 , то система имеет единственное |
|||||||||||||
решение, определяемое по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x j |
= |
|
|
j |
, |
j =1,...,n . |
|
|
|
(5.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Формулы (5.3) получили название формул Крамера. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
В случае, когда определитель основной матрицы A системы (5.2) равен |
||||||||||||||
нулю: = 0 и хотя бы один из определителей |
i ≠ 0 , где |
i =1,..., m , то система |
||||||||||||
(5.2) не имеет решений. Если |
= 0 и одновременно i |
= 0 , где |
i =1,..., n , то |
система (5.2) также может не иметь решений, но если система (5.2) при этих условиях имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.
2. Вычисления с помощью системы M a t h C A D
Пример 5 . 1 . Решить систему уравнений: |
|
|
|||||||
− x1 + 4x2 +5x3 −4x4 = −15 |
|
||||||||
x1 + 2x2 −2x3 + 4x4 |
= 3 |
. |
|||||||
2x |
+6x |
2 |
+ x |
3 |
= −6 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
3x |
+ x |
3 |
+ 2x |
4 |
=11 |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Решение.
Составим основную матрицу системы и найдем ее определитель:
39