помощь по matcad
.pdf3.augment (A,B) формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы должны иметь одинаковое число строк);
4.stack (A,С) формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних– матрица С (матрицы А и С должны иметь одинаковое число столбцов);
5.diag(b) формирует диагональную матрицу, на главной диагонали которой стоят элементы вектора
b=СT ;
6.length(b) вычисляет количество компонент вектора b=СT ;
7.rows(А) вычисляет количество строк матрицы А;
8.cols(А) вычисляет количество столбцов матрицы А;
9.tr(A) вычисляет след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы А;
10.max(В) вычисляет наибольший элемент матрицы В (вектора В);
11.min(В) вычисляет наименьший элемент матрицы В (вектора В);
12.mean(A) вычисляет среднее значение элементов матрицы А (вектора
А).
Задание 2 . 3 . Составьте четыре матрицы А, В, С и D такие, чтобы существовала матрица
K = a11 max(B) C +cols(C) stack(B, A) −diag(D) rows(A)2 ,
где a11 – соответствующий элемент матрицы A . Вычислите матрицу К.
Задания для самостоятельной работы
2.1. Даны матрицы:
20
2 |
−5 |
− k |
|
0 |
15 |
6 |
||
|
|
|
|
|
m |
t |
0 |
|
A = k m |
−t |
; B = |
. |
|||||
|
−3 6 |
|
|
− k |
|
|
|
|
t |
|
|
− m −t |
Вычислите матрицы 6A + B ; AT + B 2 ; A B ; |
B A ; A3 . |
2.2. Найдите все существующие из |
произведений A B, B A, A C, |
A D, B C, B D, C D , если |
|
|
1 |
5 |
−1 |
6 |
|
|
|
−t |
0 |
m |
−m |
|
|
|
|
; B |
||||
A = |
k |
t |
2 t |
7 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
−k |
k |
1 |
|
|
m |
|
|
||||
|
|
|
D = (− k |
|
1 |
2
=−kmt
m −t).
0
−m
−t
5
−t
0 ; C
1
3
t −1 = 5 ;m
2.3. Проверьте полученные результаты в заданиях 2.1.– 2.2, выполнив данные задания на ПЭВМ.
21
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3.
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1 . Теоретические сведения
Рассмотрим матрицу A размера m ×n .
a |
11 |
a |
a |
|
12 |
13 |
|
a |
21 |
a22 |
a23 |
A = |
|
... |
... |
... |
|||
|
|
am2 |
am3 |
am1 |
|||
Выделим в ней k строк и k |
столбцов |
... |
a |
|
... |
1n |
|
a2n |
|
|
... |
... |
. |
|
||
... |
|
|
amn |
( k ≤ min{m;n}). Из элементов,
стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. Например, для матрицы
|
1 |
0 |
− 4 |
0 |
|
|
− 2 |
6 |
2 |
1 |
|
|
|
||||
|
3 |
2 |
7 |
3 |
|
|
|
при k = 2 определители |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
0 |
|
, |
|
2 |
1 |
|
, |
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−2 |
6 |
|
|
|
7 |
3 |
|
|
|
2 |
7 |
будут минорами данной матрицы. Заметим, что число миноров k -го порядка N
можно вычислить по формуле N = Cmk Cnk , где Cnk = |
n! |
|
– число сочета- |
|
k!(n −k)! |
||||
|
|
ний из n элементов по k .
Определение 3 . 1 . Рангом матрицы A (обозначается rang A ) назы-
вается наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля. Из определения следует, что:
а) ранг матрицы Am×n rang A ≤ min{m;n};
б) rang A = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны
нулю, т. е. A = O ;
в) ранг квадратной матрицы An×n rang A = n тогда и только тогда, когда матрица An×n – невырожденная.
Определение 3 . 2 . Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Теорема 3 . 1 . Ранг матрицы не изменится, если:
1) поменять местами любые две строки (два столбца) матрицы;
22
2)умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же множитель λ ≠ 0;
3)прибавить к элементам строки (столбца) соответствующие элементы любой другой строки (другого столбца), умноженные на один и тот же множитель.
Преобразования 1–3 называются элементарными.
Определение 3 . 3 . Две матрицы называются эквивалентными, если одна матрица получена из другой матрицы с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц A и B обозначается A ~ B .
Пример 3 . 1 . Найти ранг матрицы
|
1 |
2 |
3 |
6 |
|
|
− 2 |
−1 2 |
1 |
|
|
A = |
. |
||||
|
1 |
3 |
5 |
2 |
|
|
|
Решение. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, когда каждый ее ряд (строка или столбец) будет состоять только из нулей или из нулей и одной единицы. Тогда число оставшихся единиц и определит ранг исходной матрицы, так как полученная матрица будет эквивалентна исходной.
Приведем данную матрицу A к такому виду. Для этого 1-ую строку вы-
чтем из 3-й строки, затем, умножив ее на 2, |
сложим со 2-й строкой. Имеем |
|||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
6 |
|
|
|
2 |
|
1 2 |
3 |
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
A ~ |
− 2 |
−1 2 |
1 |
|
|
|
|
~ |
0 |
−5 |
−4 |
−11 . |
||||
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
3 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
−4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Далее умножая 1-й столбец на –2, –3 и на –6, складываем его соответст-
венно со 2-м, 3-м и 4-м столбцами, имеем: |
|
|
|
||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
−5 |
−4 |
|
|
A ~ |
−11 . |
||||
|
0 |
1 |
2 |
−4 |
|
|
|
Теперь, умножив 3-ю строку на 5, складываем ее со 2-й строкой, после, умножим 2-й столбец на –2 и на 4, складываем его соответственно с 3-м и 4-м
столбцами: |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 0 0 |
0 |
|
|
1 0 0 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A ~ |
|
0 |
−5 |
−4 |
−11 |
5 |
|
~ |
|
0 |
0 |
6 |
−31 |
~ |
|
0 |
0 |
6 |
−31 . |
||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
−4 |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
− 4 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Умножив 3-й столбец на |
31 |
, складываем его с 4-м столбцом и последнее |
|||||||||||||||||||||
6 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
действие – разделим 2-ю строку на 6, чтобы получить 1 в этой строке:
23
1 0 0 |
0 |
|
1 0 0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
||||||||
|
0 |
0 |
6 |
|
|
|
0 |
0 |
6 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
A ~ |
−31 |
~ |
|
~ |
. |
||||||||||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
В результате получили три единицы. Следовательно, rang A = 3.
За базисный минор можно взять, например, определитель 3-го порядка, который находится на пересечении 1-й, 2-й, 3-й строк и 1-го, 2-го и 3-го столбцов (там, где стоят единицы). Так как перестановки рядов не было, то один из
базисных миноров матрицы A следующий: |
|
|
|||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
−2 |
−1 |
2 |
≠ 0 . |
|
|
1 |
3 |
5 |
|
Теорема 3 . 2 ( Кронекера– |
Капелли) . |
Для того чтобы система |
|||||||||||
m линейных уравнений относительно n неизвестных x1 , x2 , ..., xn |
|
||||||||||||
a x |
+ a x |
|
+... + a x |
|
= b |
|
|
||||||
11 1 |
12 2 |
|
|
1n n |
|
1 |
|
|
|||||
a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn |
= b2 |
, |
(3.1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
....................................................... |
|
||||||||||||
a |
x |
+ a |
m2 |
x |
2 |
+... + a |
mn |
x |
n |
= b |
|
||
|
m1 1 |
|
|
|
|
|
|
m |
|
была совместной (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы (3.1)
a |
11 |
a |
a |
... |
a |
|
|
|
12 |
13 |
|
1n |
|
||
a |
21 |
a22 |
a23 ... |
a2n |
|
||
A = |
|
... |
... ... |
... |
|
||
... |
|
||||||
|
|
am2 |
am3 ... |
|
|
|
|
am1 |
amn |
||||||
и ранг расширенной матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
... |
a |
b |
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
1 |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
b2 |
|
|
|
B = |
|
|
... ... |
... |
|
|
|
... ... |
|
|
|||||
a |
a |
... |
a |
b |
|
|
|
|
m1 |
m2 |
|
mn |
m |
|
|
системы (3.1) были равны, то есть rang A = rang B = r . Далее, если
1)rang A = rang B и r = n , то система (1) имеет единственное решение;
2)rang A = rang B и r < n , то система (1) имеет бесконечное множество
решений, зависящих от n −r произвольных параметров.
В случае, когда r < n r переменных x1 , x2 , ..., xr называются основными
(или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т. е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n −r называются не основными
(или свободными).
24
2. Вычисления с помощью системы M a t h C A D
Пример 3 . 2 . Выяснить, совместны ли системы уравнений:
|
− x1 +4x2 +5x3 −4x4 = −15 |
4x1 +3x2 −3x3 − x4 = 4 |
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
+ x −2x +4x = 3 |
|
|
− |
x |
+ |
3x |
− |
2x |
|
= |
1 |
|
||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
; |
|||||
|
|
+6x2 + x3 = −3 |
; б) |
|
+ x2 − x4 = 0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
2x1 |
3x1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3x |
1 |
+ x |
3 |
+2x |
4 |
=1 |
|
5x |
+4x |
|
−2x |
+ x |
4 |
= 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
x1 −6x2 +5x3 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
4x |
|
−4x |
+3x |
|
= 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
−2x3 = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3x1 +2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
а) Составим основную и расширенную матрицы данной системы и найдем их ранги с помощью команды rank(A) :
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−1 |
4 |
5 |
−4 |
|
|
Основная матрица системы |
|
|
|
−1 |
1 |
−2 |
4 |
|
|
|
|
A := |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
6 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−1 |
4 |
5 |
−4 |
−15 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
−2 |
4 |
3 |
|
Расширенная матрица системы |
|
B := |
|
|
|||||||
|
2 |
6 |
1 |
0 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определим ранги матриц |
|
rank ( A) → 4 |
rank ( B ) → 4 |
Так как rang A = rang B = 4 и
единственное решение.
б) Для данной системы имеем:
|
4 |
3 |
−3 |
−1 |
|
|
3 |
−1 |
3 |
−2 |
|
|
|
||||
A := |
3 |
1 |
0 |
−1 |
|
|
5 |
4 |
−2 |
1 |
|
|
|
n=r =4, то система совместна и имеет
Основная матрица системы
25
|
4 |
3 |
−3 |
−1 |
4 |
|
|
|
|
3 |
−1 |
3 |
−2 |
1 |
|
Расширенная матрица системы |
|
|
|
|||||||
|
||||||||
B := |
3 |
1 |
0 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
5 |
4 |
−2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Так как rang A ≠ rang B , то система уравнений несовместна (не имеет
решений).
в) Аналогично:
Обозначим |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
−6 |
5 |
|
|
|
A := |
|
4 |
−4 |
3 |
|
|
Основная матрица системы |
|
|
|
|||||
|
|
3 |
2 |
−2 |
|
|
|
|
|
1 |
−6 |
5 |
2 |
|
|
B := |
|
4 |
−4 |
3 |
5 |
|
Расширенная матрица системы |
|
|
||||||
|
|
3 |
2 |
−2 |
3 |
|
|
Определим ранги матриц |
rank (A) → 2 rank (B) → 2 |
Так как rang A = rang B = 4 и n = 3, то система имеет бесконечное множество решений.
Задания для самостоятельной работы
3.1. Найти ранги следующих матриц методом элементарных преобразований:
k + m |
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
−t |
4 |
−1 1 |
|
; |
|
а) A = |
|
|||||
|
m |
3 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
3.2. Исследовать системы уравнений:
|
tx + |
|
|
2x |
|
−3x |
+3x = 5 |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
а) (k −m)x1 + 4x2 −2x3 +6x4 = 7 ; |
||||||||||||
|
3x |
+ |
|
|
kx |
−4x |
+5x |
= −3 |
||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
x1 − x2 + x3 + 2x4 +3x5 =1 |
|||||||||||
−tx |
|
+ 2x |
− x |
|
+ |
3x |
|
+ x = −2 |
||||
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|||
в) x −kx |
|
−3x |
+ 4x |
|
+6x = 5 . |
|||||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
x |
+ mx |
|
+tx |
|
+ x |
−3x = 0 |
|||||
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
5 |
||
|
|
|
|
|
|
+ 2x3 +5x4 − x5 = 3 |
||||||
kx1 −3x2 |
|
k |
|
|
2 |
|
1 |
4 |
|
|
||
|
|
−1 |
−3 |
|
m |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
б) B = |
|
|
|
4 |
|
k |
2 |
. |
|
||
|
m |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
t |
|
|
2 |
−t |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8x |
−2x |
2 |
+tx |
|
−6x |
|
= −1 |
|
||
|
1 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
б) |
3x1 + kx2 + 2x3 + x4 = 4 |
; |
|||||||||
|
−2x |
−mx |
|
+3x |
−7x |
4 |
= −2 |
||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
||||
|
x |
+5x |
|
+ 2x |
|
−4x |
|
= 0 |
|
||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
3.3. Проверьте полученные результаты в заданиях 3.1.– 3.2, выполнив данные задания на ПЭВМ.
26
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
1. Теоретические сведения
1.1. Определители
a |
a |
... |
a |
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
можно |
|
Каждой квадратной матрице n -го порядка A = |
|
... |
... |
|
|
... ... |
|
|
|||
|
an2 |
... |
|
|
|
an1 |
ann |
|
поставить в соответствие число, которое называется определителем (детер-
минантом) матрицы A :
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
A |
|
= |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
или det A , или . |
|
|||||||
|
|
|
... ... ... ... |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
Определитель 1-го порядка задается равенством
A= a11 = a11 .
Определитель 2-го порядка задается равенством
|
|
|
|
|
|
A |
|
= |
a11 |
a12 |
= a a |
22 |
−a |
21 |
a . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определитель 3-го порядка задается равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 |
− |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
A |
|
= |
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
(4.1) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
= −(a |
|
a |
|
|
a |
+a |
a |
|
a |
|
|
+a |
|
a a |
|
) |
|||||||||||
|
|
|
|
31 |
22 |
23 |
32 |
21 |
33 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
13 |
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (4.1) записана по правилу «треугольников» (правилу Саррюса).
Схематическая запись этого правила выглядит следующим образом:
• |
• |
• |
|
• |
• |
• |
|
• |
• |
• |
|
|
|||||||||
• • • |
= |
• • • |
− |
• • • |
||||||
• |
• |
• |
|
• |
• |
• |
|
• |
• |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произведения элементов матрицы, стоящих на главной диагонали, а также образующих равнобедренные треугольники, основания которых параллельны глав-
ной диагонали
произведения элементов матрицы, стоящих на побочной диагонали, а также образующих равнобедренные треугольники, основания которых параллельны
побочной диагонали
27
а)
б)
Пример 4 . 1 . Вычислить определители следующих матриц:
cos α |
sin α |
|
|
|
3 |
−1 |
0 |
|
|
|
; |
б) |
|
0 |
1 |
1 |
|
. |
|||
а) |
|
|
|
|
||||||
|
−sin α |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cos α |
|
|
|
− 2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
||||||
|
A |
|
= |
|
cos α |
sin α |
|
= cos α cos α−(−sin α) sin α = cos2 α +sin 2 α =1. |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−sin α |
cos α |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A |
|
|
|
|
3 |
−1 0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
0 |
1 |
1 |
|
= 3 1 3 +(−1) 1 (−2) + 0 0 4 −(0 1 (−2) +0 (−1) 3 +3 1 4) = −1. |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
−2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
Рассмотрим определитель n –го порядка, то есть определитель вида:
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
A |
|
= |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
... ... ... ... |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
Определение 4 . 1 . Минором M ij |
элемента aij квадратной матрицы |
A называется определитель (n −1) –го порядка, полученный из определителя n - го порядка вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.
Определение |
4 . 2 . Алгебраическим дополнением |
Aij к элементу aij |
|||||
квадратной матрицы A называется число, определяемое равенством |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Aij = (−1)i+ j M ij |
(4.2). |
Пример 4 . 2 . Найти минор и алгебраическое дополнение к элементу |
|||||||
|
|
3 |
2 |
7 |
−3 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
2 |
|
|
a21 матрицы |
|
|
|
||||
A = |
0 |
3 |
3 |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
5 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Минором M 21 является определитель, составленный из эле-
ментов данной матрицы, оставшихся после вычеркивания 2-й строки и 1-го столбца:
|
3 |
|
2 |
7 |
−3 |
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
, |
||||
|
0 |
|
3 |
3 |
4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
5 |
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
28 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
поэтому M 21 = |
|
2 |
7 |
−3 |
|
= 2 3 6 +7 4 5 +1 3 (−3)− (5 3 (−3)+1 4 2 + 7 3 6)= 78 . |
|
|
|||||
|
3 |
3 |
4 |
|
||
|
|
5 |
1 |
6 |
|
|
Соответственно алгебраическим дополнением будет число
A21 = (−1)2+1 M 21 = (−1)3 78 = −78.
Справедлива формула разложения определителя n -го порядка по i -й строке:
A |
|
= ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +... + aik Aik +... + ain Ain , |
(4.3) |
|
а также формула разложения определителя n -го порядка по j -му столбцу:
A = a1 j A1 j + a2 j A2 j +... + akj Akj
где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij . Пример 4 . 3 . Вычислить определители матриц:
|
|
3 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
3 |
2 |
7 |
|
|
|
|
−1 |
1 |
0 |
|||||
а) |
|
0 |
1 |
1 |
|
; |
б) |
|
|||
|
|
|
0 |
3 |
3 |
||||||
|
|
− 2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+... + anj Anj , |
(4.4) |
−3
2 .
4
6
Решение.
а) Для разложения определителя обычно выбирают ту строку или тот столбец, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю. Разложим определитель по элементам 3-го столбца:
|
|
|
|
|
A |
|
= |
|
3 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
= 0 (−1)1+3 |
|
|
0 |
1 |
|
+1 (−1)2+3 |
|
3 −1 |
|
+ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 4 |
|
|
−2 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
+3 (−1)3+3 |
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
= −1 (12 |
−2)+3 (3 −0)= −10 +9 = −1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) Разложим определитель, например, по элементам 2-й строки: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
7 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
|
−3 |
|
|
|
3 |
7 |
−3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
1 |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
=(−1) (−1)2+1 |
|
+1 (−1)2+2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
= |
|
|
|
|
|
3 3 4 |
0 3 4 |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 3 3 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
6 |
|
|
|
1 |
1 |
6 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ 0 (−1)2+3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
−3 |
|
+ 2 (−1)2+4 |
|
3 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
0 |
3 |
|
3 |
|
= 78 + 79 − 2 51 =55. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29