Исследование электрических и магнитных полей
.pdf
3.Магнитное поле
3.1.Теоретическая часть
3.1.1.Закон Био-Савара
Магнитное поле действует на движущиеся электрические заряды. Величина этого действия на отдельный движущийся заряд определяется силой Лоренца. Сила Ампера является суммой сил Лоренца, действующих на движущиеся заряды в проводнике с током.
Движущиеся электрические заряды в свою очередь создают магнитное поле. Впервые это обнаружил в 1820 году датский физик Ханс Эрстед. Он заметил, что магнитная стрелка поворачивается при пропускании электрического тока через проводник, находящийся около нее. Вскоре после открытия Эрстеда в том же 1820 году французы Жан-Батист Био и Феликс Савар сформулировали законосозданиимагнитногополяэлектрическимтоком.
Закон Био-Савара в форме, предложенной Лапласом, записывается в виде
|
|
|
|
r |
μμ |
|
I (d |
|
× |
r |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
, |
(3.1) |
|||||||
|
|
|
|
dB = |
|
0 |
4πr3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
– магнитная индукция, созданная в точке A током силой I в коротком |
|||||||||||
где dB |
||||||||||||||
проводникедлиной dl (рис.3.1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
μ − магнитная проницаемость среды; |
|
|
|
|
|
|||||||||
μ0 |
= 4π 10−7 Гн/м − магнитнаяпостоянная; |
|
|
|||||||||||
|
|
r |
− вектор, равный по модулю длине dl бесконечно малого проводника и |
|||||||||||
dl |
||||||||||||||
направленный вдоль направления электрического тока (на рис. 3.1 ток на- |
||||||||||||||
правлен за чертеж); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rr |
|
− радиус-вектор точки А с началом на проводнике; |
|
|||||||||||
r |
|
− расстояние от проводника до точки А. |
|
|
||||||||||
Вектор dBr перпендикулярен плоскости, |
в которой лежат векторы dl |
и r . |
||||||||||||
Направление вектора dBr , согласно правилу правой руки, указывает большой ото-
гнутый палецr , если четыре согнутых пальца указывают направление поворота от
вектора dl к вектору rr (см. рис. 3.1). Вектор dB в точке А касателен к магнитной силовой линии, являющейся в данном случае окружностью с центром на оси проводника.
20
Рис. 3.1. Создание магнитного поля током в участке проводника
r
Закон Био-Савара (3.1) для магнитного поля участка тока Idl дает для модуля
dB = |
|
dBr |
|
выражение |
dB = |
μμ0 Idlsin α . |
(3.2) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4πr3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь α − угол между векторами dl и r |
(см. рис. 3.1). |
||||
3.1.2. Магнитное поле на оси кольца с током
Рассмотрим проводящее кольцо радиусом R , по которому течет ток силой I (см. рис. 3.2). Используя закон Био-Савара, найдем магнитную индукцию на оси кольца. Выберем начало координат O в центре кольца и направим ось Ox вдоль
оси кольца. Магнитная индукция В в любой точке на оси Ох ввиду симметрии |
||||||||||
направлена вдоль этой оси, и модуль B = |
|
B |
|
равен |
модулю проекции Br |
на ось |
||||
|
|
|||||||||
Ox |
|
|
||||||||
B = |
|
Bx |
|
. |
|
(3.3) |
||||
|
|
|
||||||||
Выделимr на кольце от точки M бесконечно малый участок длиной dl. Вектор dl направлен по касательной к окружности кольца, которая перпендику-
лярна плоскости,rпроходящей через точку M и ось кольца. Поэтому угол α ме- |
||
жду вектором dl и радиус-вектором r , идущим от выделенного участка с то- |
||
ком к точке A на оси Ox , равен 90° и sin α =1. |
|
|
ком I |
Следовательно, в точке A модуль магнитной индукции dBr , созданной то- |
|
в выделенном участке, равен, согласно (3.2), |
|
|
|
dB = μμ0 Idl, |
(3.4) |
|
4πr 2 |
|
где r |
– расстояние от выделенного участка с током до точки A. |
|
21
Рис. 3.2. Магнитное поле на оси кольца с током |
|
||||||||||
Проекция dBx вектора dBr |
на ось Ox равна |
|
|
|
|
|
|
||||
|
dBx = dBsin β = dB R . |
|
|
|
(3.5) |
||||||
Подставив (3.4) в (3.5), получаем |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dB = μμ0 Idl R . |
|
|
|
|
(3.6) |
|||||
|
4πr 2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
||
Интегрируя проекцию (3.6) по dl |
в пределах от 0 до длины окружности |
||||||||||
2πR , найдем проекцию Bx магнитной индукции B в точке |
A на оси кольца, |
||||||||||
равную, согласно(3.3), модулюмагнитнойиндукциивданнойточке |
|
||||||||||
l=2πR |
μμ |
I R |
2πR |
μμ |
IR2 |
. |
(3.7) |
||||
B = Bx = |
∫ dBx = |
|
0 |
2 |
r |
|
∫ dl = |
|
0 3 |
||
|
l=0 |
4πr |
|
|
0 |
2r |
|
|
|||
ПотеоремеПифагора(см. рис. 3.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
R2 + x2 . |
|
|
|
(3.8) |
|||||
После подстановки (3.8) в (3.7) получаем модуль магнитной индукции в точке |
|||||||||||
А на оси кольца с током |
|
μμ0 IR2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
B = |
|
3 . |
|
|
|
(3.9) |
||||
|
R2 |
+ x2 |
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
3.1.3. Магнитное поле на оси соленоида
Рассмотрим соленоид радиусом R и длиной L , по которому течет ток I (рис.3.3). Выделим на соленоиде на расстоянии x1 от его левого края бесконеч-
но узкое кольцо шириной dx1 . Число витков dN в этом кольце равно числу вит-
ков в единице длины соленоида w , умноженному на ширину кольца dx1 , |
|
dN = wdx1 . |
(3.10) |
22
Число w называется плотностью числа витков соленоида.
Сила тока dI ввыделенном кольце равна
dI = IdN = Iwdx1 . |
(3.11) |
|
|
|
|
Рис. 3.3. Магнитноеполенаосисоленоида
Направим ось Ox вдоль оси соленоида, выбрав начало координат O на левом краю соленоида. В точке A с координатой x , которая отстоит от выделен-
ного кольца на расстоянии (x − x1 ), модуль dB(x) магнитной индукции dB(x), созданной током dI в выделенном кольце, равен, согласно (3.9),
dB(x) = |
μμ0dIR2 |
3 . |
(3.12) |
|||
R2 +(x − x )2 |
||||||
2 |
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
Послеподстановки(3.11) в(3.12) получаем |
|
|
|
|
||
dB(x) = |
μμ Iwdx R2 |
3 . |
(3.13) |
|||
|
0 |
1 |
||||
|
|
|
|
|||
2 |
R2 +(x − x )2 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
Модуль B(x) магнитной индукции B(x) , созданной в точке A током во всем соленоиде, равен интегралу от выражения (3.13) при измене-
нии координаты выделенного кольца x1 |
от 0 до L : |
|
|
|
|
|||||||
B(x) = |
L |
|
|
μμ0 IwR2 |
dx1 . |
|
(3.14) |
|||||
∫ |
2 |
R2 +(x − x )2 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
После интегрирования в (3.14) получаем для модуля магнитной индукции |
||||||||||||
B(x) в точке A на оси соленоида выражение |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
+ |
L − x |
|
|
|
(3.15) |
B(x) = μμ0 Iw |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
2 |
|
x |
2 |
+ R |
2 |
2 |
+ R |
2 |
|
|
||
|
|
|
(L − x) |
|
|
|
||||||
23
Напряженность магнитного поля |
H связана с магнитной индукцией B |
||||||||||
формулой |
|
Hr = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B |
μμ0 |
. |
|
|
(3.16) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (3.15) следует выражение для модуля напряженности магнитного поля |
|||||||||||
H (x) в точке A на оси соленоида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
L − x |
|
(3.17) |
H (x) = Iw |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
x |
2 |
+ R |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(L − x) + R |
|
|
|||
В середине длинного соленоида, длина L которого много больше |
его ра- |
||||||||||
диуса R, из (3.17) имеем ( x = L |
2 |
и L >> R ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Н(L 2) = Iw |
|
|
|
|
(3.18) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
На рис. 3.4 представлен полученный с помощью (3.17) график зависимости напряженности H (x) на оси соленоида, длина L которого в 9 раз больше его радиу-
са R , вотносительныхединицах.
Награфикевиднаоднородность(одинаковостьповеличине) магнитногополяв середине длинного соленоида. При приближении к краю магнитное поле начинает постепенно уменьшаться, принимая на границе значение равное половине значения поля в центре соленоида. При удалении от края поле продолжает уменьшаться, постепенно стремясь к нулю.
Рис. 3.4. Графикнапряженностимагнитногополянаосисоленоида вотносительныхединицах
24
3.2.Экспериментальная часть
3.2.1.Исследование магнитного поля на оси длинной цилиндрической катушки (соленоида)
Задание. Измерить магнитную индукцию в различных точках на оси длинной катушки и построить график ее изменения вдоль оси. Проверить результаты измерения расчетом.
Порядок выполнения эксперимента
1. Электрическая и монтажная схемы установки представлены на рисун-
ках 3.5, а и 3.5, б.
Рис. 3.5, а. Электрическая схема установки
25
2. Установите исследуемую катушку на наборную панель, как показано на рис. 3.5, б, и подведите к ней питание от регулируемого источника постоянного напряжения 0…15 В через амперметр А1, на коннекторе выставьте предел измерения тока 500 мА.
Рис. 3.5, б. Монтажная схема установки
3.Установите на наборную панель миниблок для измерения магнитной индукции («Тесламетр»). Присоедините к выходу устройства вольтметр V1, на коннекторе установите предел напряжения 1 В.
4.Разомкните цепь питания катушки (выньте из гнезда наборной панели штырек провода от амперметра) и включите блок генераторов.
5.При выключенном питании катушки установите как можно точнее нулевое
показание вольтметра ручкой установки нуля (обычно удаётся получить Uвых
<20 мВ).
6.Включитепитаниекатушкииустановитемаксимальнодопустимыйток0,2 А регулятором напряжения источника. При меньшем токе погрешность измерения магнитнойиндукциивозрастаетиз-заслишкомслабогомагнитногополя.
7.Перемещая зонд с датчиком Холла вдоль оси катушки с шагом 5 мм, запи-
шите координаты и соответствующие им значения напряжения U (x)на выходе тесламетравтабл. 3.1. Координату x =0 удобно принять на краю катушки.
8.В ходе эксперимента время от времени отключайте питание катушки и корректируйте установку нуля тесламетра.
9.Вычислите экспериментальные значения магнитной индукции по фор-
муле
Вэксп [Тл] = 0,01U [В] |
(3.19) |
изапишитеэтизначениявтаблицу3.1.
26
10. Постройте график изменения Вэксп(x) для рассмотренного случая. Предварительно выберите удобные масштабы и нанесите шкалы с масштабными значениями по осям. Вычислите теоретические значения магнитной индукции Bтеор в точках с шагом 5 мм по формуле (3.15) для однослойной цилиндрической катушки, заносянайденныезначениявтабл. 3.1.
В расчетах принять R=0,00825 м, L =0,047 м, N=2000. Вычисления можно выполнить на компьютере, используя программы Excel или Mathcad. Нанесите все расчетные точки на графике.
Сделайте вывод о поведении магнитной индукции в середине длинной катушки, вблизи ее краев, а также вне катушки.
Таблица 3.1 Результаты измерений и вычислений распределения магнитного поля
в длинной катушке при I = …….А
x , мм |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
U , B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bэксп , Тл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bтеор ,Тл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
3.2.2. Исследование магнитного поля на оси кольцевых катушек
Задание. Измерить магнитную индукцию в различных точках на оси кольцевой катушки, или двух катушек, смещённых относительно друг друга, при их согласном или встречном включении. Построить график изменения магнитной индукции вдоль оси. Проверить результаты измерения расчётом попринципусуперпозицииполей.
Порядок выполнения эксперимента
1.Установите миниблок «Кольцевые катушки» на наборную панель, как показанонарис. 3.6. Есливыисследуетеполедвухкатушек, тосоединитекатушкимежду собой последовательно согласно (именно это соединение изображено на рис. 3.6). Подведите к катушкам питание от регулируемого источника постоянного напряжения 0…+15В через амперметр А1 , на коннекторепоставьтепредел500 мА. Токи
вкатушкахпритакомвключениитекут в одном направлении.
2.Установите на наборную панель миниблок для измерения магнитной индукции («Тесламетр»). К выходу миниблока подключите вольтметр V1 , на коннекторе
поставьте предел измерения напряжения 1 В.
3.Разомкните цепь питания катушек (выньте из гнезда наборной панели штырёкпроводаотамперметра) ивключитеблокгенераторов.
4.При выключенном питании катушек установите как можно точнее нулевое показание вольтметра ручкой установки нуля (обычно удаётся получить
Uвых < 20 мВ).
5.Включите питание и установите максимально допустимый ток 0.2 А регулятором напряжения источника. При меньшем токе погрешность измерения магнитнойиндукциивозрастаетиз-заслишкомслабогомагнитногополя.
6.Начинайте измерения магнитного поля с помощью датчика Холла с конца системы двух катушек. Постепенно вдвигайте зонд в отверстие. Координата х1
положения зонда датчика отсчитывается по рискам на датчике Холла. Расстояние междурисками5 мм. Перемещая зондсдатчикомХоллавдоль оси катушек сначала с шагом 5 мм, а после достижения расстояния от края 25 мм с шагом 2,5 мм, запи-
шите координаты и соответствующие им значения напряжения на вольтметре V1
втабл. 3.2. Значение магнитной индукции рассчитываются по формуле
Вэксп [Тл] = 0,01U [В].
Однако для дальнейших расчетов теоретического значения Втеор координату x нужно отсчитывать от центра смещенной кольцевой катушки. Поэтому во второй колонке табл. 3.2 необходимо произвести расчет нулевой точки отсчета координаты x , связав ее с первым максимумом значения. Необходимо рассчитать новыезначениякоординатыдлядругихизмерений.
28
7. Постройте график изменения Bэксп(x) для рассмотренного случая сим-
метрии в центре одной из катушек.
8. Рассчитайте для смещенной катушки (с координатой x = 0 ) индукцию поля B1 взависимостиотрасстояния x по формуле тонкой кольцевой катушки с
числом витков N
Рис. 3.6. Монтажнаясхемаустановкиприпоследовательномсогласном включениикатушек
B (x) = |
μ |
0 |
INR2 |
. |
|
(3.20) |
|
1 |
2 |
R2 + x2 3 |
|
|
|
||
9. Для несмещенной катушки (с координатой x = a ) рассчитайте индук- |
|||||||
циюполя B2 взависимостиотрасстояния x по формуле |
|
||||||
B2 (x) = |
|
μ0 INR2 |
|
. |
(3.21) |
||
2( |
R2 +(x −a)2 )3 |
||||||
В расчетах все величины должны быть в единицах СИ. Значения B1 |
и B2 |
||||||
запишите в табл. 3.2. |
|
|
|
|
|
|
|
29