Исследование электрических и магнитных полей
.pdf
Вопросы к коллоквиуму:
1.Связь между напряженностью поля и его потенциалом.
2.Изображение линий напряженности поля по известным эквипотенциальным поверхностям.
10
2. Исследование процесса разряда конденсатора
2.1.Теоретическая часть
2.1.1.Электроемкость конденсатора
Для накопления электрической энергии используют устройства, состоящие из двух проводников (обкладок), которые разделены прослойкой диэлектрика (рис. 2.1). Эти устройства в электротехнике называются конденсаторами. В зависимости от формы обкладок конденсаторы бывают плоские, цилиндрические и сферические. Приближая вторую обкладку к первой и помещая между ними вещество с высокой диэлектрической проницаемостью ε, можно создать конденсаторы большой емкости и накапливать на их обкладках большие заряды.
При приложении к конденсатору некоторой разности потенциалов, его обкладки заряжаются равными по величине зарядами q противоположных зна-
ков.
Рис. 2.1. Электрическое поле плоского конденсатора
Электрическое поле конденсатора сосредотачивается почти целиком в узком зазоре между его обкладками, поэтому его электроемкость не зависит от наличия других проводников и диэлектриков вне конденсатора.
Под электроемкостью конденсатора Cк понимается отношение заряда одной из его обкладок к разности потенциалов между обкладками
C = |
q |
(2.1) |
к U
11
В плоском конденсаторе (рис. 2.1) электрическое поле между пластинами практически однородно, а напряженность, согласно теореме Гаусса
|
q |
ES = |
, равна |
|
ε0ε |
E = |
q |
, |
(2.2) |
|
Sε0ε |
||||
|
|
|
где S −площадьоднойизпластинконденсатора.
Напряженностьэлектрическогополяконденсаторатакжеможноопределитьпо формуле
E = U . |
(2.3) |
d |
|
Сравниваядвапоследнихсоотношения, получаем
U = qd .
Sε0ε
Подставляя выражение (2.4) для U в определение емкости Cк = q чаем формулу для электроемкости плоского конденсатора
C |
= |
Sε0ε |
. |
|
|||
к |
|
d |
|
|
|
||
(2.4)
U , полу-
(2.5)
Из последней формулы следует, что электроемкость плоского конденсатора зависит от размеровконденсатора(отплощади пластин S и расстояния между обкладками d ) и от диэлектрической проницаемостидиэлектрика. ε.
Таким образом, проверка теоремы Гаусса для электрического поля в плоском конденсаторе сводится к проверке справедливости формулы (2.1) q =CU .
Увеличивать электроемкость плоского конденсатора можно путем уменьшения расстояния между пластинами. Это ведет к возрастанию напряженности элек-
трического поля E =U d в диэлектрической прослойке.
Воченьсильныхполях (порядка 107 В/м) возникает пробой диэлектрика иконденсатор разрушается. Для предотвращения пробоя расстояние между пластинами при выбранном диэлектрике не следует делать меньше некоторого минимального
значения d min =U Eпробой.
При заданном расстоянии d между пластинами к конденсатору нельзя прикладывать разность потенциалов, превышающую некоторое максимальное значение
Umax = Eпробойd
12
2.1.2.Разряд конденсатора через активное сопротивление
Влабораторной работе используется электрическая цепь, принципиальная схема которой изображена на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Принципиальная схема
Генератор подает в цепь однонаправленные прямоугольные колебания. При положительном полупериоде генератора прямоугольных колебаний конденсатор заряжаетсядонапряжения U .
По окончании положительного полупериода конденсатор начинает разряжаться через сопротивление R . В цепи, состоящей из конденсатора емкостью C и со-
противления R , потечет ток I = dqdt . СогласнозаконуКирхгофа, сумманапряжений научасткахцепивэтомслучаеравнанулю:
U R +UC |
= 0 |
или |
dq R + |
q |
= 0 . |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
dt |
|
C |
|
|||
Разделяявэтомуравнениипеременныеиинтегрируя, получим |
(2.6) |
||||||||
dq = − 1 |
dt, |
q = q e−RC , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
q |
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где q0 − первоначальный заряд обкладок конденсатора. |
|
|
|
|
|
|
|||
Из последнего уравнения следует, |
что заряд q , |
накопленный на обкладках |
|||||||
конденсатора, с течением времени убывает по экспоненциальному закону. Скорость убывания заряда характеризуется временем релаксации τ − временем, в течение которого заряд уменьшается в e раз (e = 2,72). Из (2.6) следует, что τ = RC или, если выразить C через первоначальные значения напряжения и заряда на обкладкахконденсатора, то
τ = R |
q0 |
. |
(2.7) |
|
|||
U0 |
|
||
По вертикальной оси Y осциллографа измеряется напряжение на конденсаторе, по горизонтальной − время разряда. Так как напряжение на конденсаторе про-
13
порциональноегозаряду, товсоответствиисформулой(2.6) можно написать зависи-
мость напряжения от времени U (t) =U0e− tτ и определить время релаксации по формуле
|
τ = |
t2 −t1 |
|
, |
|
(2.8) |
|
U (t ) |
|
|
|||
|
|
lnU (t2 ) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
где U (t1) , U (t2 ) − напряжение на конденсаторе в моменты времени t1 |
и t2 соот- |
|||||
ветственно (рис. 2.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис2.3. Зависимость2.2напряжения. ЭкспериментальнаяU конденсатореотчастьвремени t
2.2. Экспериментальная часть
Задание 1. Проверить теорему Гаусса в электростатике на примере плоского конденсатора: определить заряд, протекающий в цепи с резистором и конденсатором, двумя способами:
1)интегрированием силы тока по заданному промежутку времени;
2)использованием разности потенциалов на концах промежутка и определения емкости
14
Порядок выполнения эксперимента:
1. Установите на блок набора напряжений конденсатор C , резистор R , (C ≥ 0,47 мкф, R ≥100Ом). Подключитесь к генератору прямоугольных колеба-
ний (рис. 2.2). Через коннектор свяжитесь с виртуальными приборами А1 и V1. Установитепределыизмерения: 20 мАдляамперметраА1 и20 Вдлявольтметра V1.
2. Проверив правильность соединений (рис. 2.4), включите блок генераторов напряжения. Установитенаименьшуючастотугенератора ν = 0,22кГц.
3.Включитекомпьютер.
4.Вызовите комплекс«ВПФизика».
5.Наблокевиртуальныхприборов«Приборы1» включитеV1 иА1, отключив остальные (Откл). В качестве измеряемого значения установите «Амплитуду» в обоих случаях.
Рис. 2.4. Монтажная схема
6.Вызовитевиртуальныйосциллограф. Дляэтогонажмите(спомощьюкурсора
илевой клавиши мыши) «Меню» на блоке «Приборы 1» и затем «Осциллограф». На появившемся виртуальном осциллографе выберите «Фон белый». В левой части осциллографаотключите(х) всененужныеприборы, кромеА1 (20 мА) иV1 (20 В). Наблюдайте «живую» картину колебаний силы тока через сопротивление (зеленая линия) и напряжения на конденсаторе (красная линия). Чтобы сигналы тока и напряжения были стабильными, нажмите кнопку «Вход синхр.» на панели осциллографа, поставьте в положение «U1». Запишите цены делений для тока (I/дел) и напряжения (V/дел).
Треугольник «Развертка» (сдвигается нажатием левой кнопки) передвинуть в такое положение, чтобы на экране сигнал разряда конденсатора укладывался на весь
экран. При необходимости провести плавную регулировку развертки осциллографа, сдвигаязначок« ». Еслисигналнапряжения разряда находится не по центру эк-
15
рана, сдвинуть его по горизонтали можно, изменяячастоту сигналавращениемручки «Частота генератора». Получив стабильный во весь экран сигнал разряда конденсатора, запишите величину развертки по оси времени (мс/дел).
7.Для сохранения графика колебаний: щелкните левой клавишей мыши в любой точке экрана осциллографа и в появившемся меню нажмите кнопку «Copy Data» (ваш замороженный в определенный момент график запишется в буфер компьютера). Чтобы увидеть этот график, вызовите редактор Excel и в меню «Правка» нажмите «Вставить». В ячейках ниже появившегося графика наберите свои фамилии, группу, дату, все численные данные вашего опыта. Для правильного сохранения вашего файла в меню «Файл» нажмите «Сохранить как». Впоявившемся окневстроке «Имя файла» наберите сокращенно фамилии, группу и нажмите справа кнопку «Сохранить».
8.Для распечатки графика (при отсутствии принтера) вставьте дискету в компьютер, вызовите «Диск 3,5 (А)» и перенесите ваш файл из папки «Стенд 9Z» на «Диск 3,5». Выньте дискету и на компьютере с принтером распечатайте ваш файл с графиком.
9.На распечатке графика: укажите ось времени t , кривую силы тока надпишите I (t) , кривую напряжения − U (t) .
10. Через каждую половину деления ( t ) на оси времени t измерьте (с уче-
том цены деления развертки осциллографа) 10 значений напряжения U (ti ) и со- |
|||||||||
ответствующих значений силы тока I (ti ) |
(i=1,2,…,10) (рис. 2.5). Измеренные |
||||||||
данныезанеситевтабл. 2.1. |
|
|
Таблица 2.1 |
||||||
Результаты измерения силы тока I (t) и напряжения U (t) |
|||||||||
в цепи |
|
|
|||||||
в зависимости от времени t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
U (t ) , В |
|
|
|
|
|
i |
|
ti , мкс |
|
|
I(t |
i |
) , мА |
||
|
|
|
|
i |
|
|
|
||
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
……. |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
(N −1) t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
11. Определите изменение заряда |
Qk ( k = 5,6,7,8,9,10) на обкладках |
|||||||
конденсатора, исходяизопределенияемкости, |
|
|
|
||||||
|
|
Qk = qk − q1 = C(Uk −U1) |
|
|
(2.9) |
||||
Вычислите изменение заряда q вторым способом, интегрированием силы тока(интегралможетбытьпримернозамененсуммой) поформуле
t |
k |
|
qk = qk −q1 = ∫Idt ∑Ii t |
(2.10) |
|
0 |
i=1 |
|
16
Все вычисления проводить в СИ. Вычисленные значения занесите в табл. 2.2.
Рис. 2.5. Зависимость силы тока в конденсаторе от времени
Таблица 2.2
Результаты вычислений методом наименьших квадратов
C=……. R=…….
k |
qk |
Q |
qk Qk |
( q |
)2 |
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
…….. |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
10
Суммы ∑
k=5
12.Для сравнения изменений заряда, вычисленных разными способами,
постройте график зависимости |
Q от |
q и вычислите угловой коэффициент a |
|||||||
этой зависимости по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
10 |
|
10 |
|
|
|
a = |
|
6∑ Qk qk − ∑ Qk ∑ qk |
. |
(2.11) |
|||||
|
k =5 |
|
|
k =5 |
k =5 |
||||
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
10 |
( qk ) |
2 |
|
10 |
|
|
||
|
|
6∑ |
|
− |
∑ |
qk |
|
|
|
|
|
k =5 |
|
|
k =5 |
|
|
|
|
17
Сравнитеполученноезначение a стеоретическимзначением aтеор = 1. 13. Сделать выводы о выполнении теоремы Гаусса.
Задание 2. Определить экспериментально время релаксации разряда конденсатора, его погрешность и сравнить с теоретическим значением.
Порядок выполнения эксперимента
1.Повторите пункты задания 1.
2.По графику зависимости напряжения на конденсаторе от времени (рис. 2.3) определите значения напряжения U (t1 ),U (t2 ) в моменты времени t1 и t2 .
3.Так как напряжение на конденсаторе пропорционально его заряду, то в соответствии с формулой (2.6), можно написать зависимость напряжения от време-
ни U (t) =U0e |
− |
t |
|
|
|
|
τ иопределитьвремярелаксациипоформуле |
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|
τ = |
t2 −t1 |
, |
(2.12) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
U (t ) |
|
|
|
|
|
|
ln U (t2 ) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
где U (t1) и U (t2 ) − напряжения на конденсаторе в моменты времени t1 и t2 |
соот- |
|||||
ветственно.
4. Определите по вертикальной шкале графика значения напряжения U (t1) и U (t2 ) в моменты времени t1 и t2 . Результаты измерений запишите в табл. 2.3.
Результаты измерений и вычислений времени релаксации |
Таблица 2.3 |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
С=…….мкф, R=………Ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ |
t1, |
t2 , |
U (t1) |
, |
U (t2 ) , |
U (t ) |
τi = |
τт, |
τ |
−τi , |
|
(τ |
−τi )2 |
||
мкс |
мкс |
В |
|
В |
=τ |
э |
, |
мкс |
мкс |
|
2 |
||||
i |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
мкс |
||
|
|
|
|
|
|
ln U (t2 ) |
мкс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
5. Вычислите среднее значение |
τ = |
∑τi |
. Значения τi , |
τ −τi и (τ −τi )2 за- |
|
i=1 |
|||||
N |
|||||
|
|
|
|
пишите втабл. 2.3. Определитеслучайную погрешность измеренияпоформуле
18
|
N |
|
|
|
τсл =tN −1 |
∑(τ−τi )2 |
, |
(2.13) |
|
i=1 |
||||
N(N −1) |
||||
|
|
|
где tN −1 = 2.8 – коэффициент Стьюдента, соответствующий 95 %-й доверитель-
ной вероятности при числе измерений N = 5.
6. Запишите окончательный результат для экспериментального значения временирелаксации
τэ = τ± τ. |
(2.14) |
7. Рассчитайте теоретическое значение τт по формуле τт = CR и сравните с экспериментальнымзначением τэ.
8. Проделайте аналогичные измерения времени релаксации, изменяя величины емкости и сопротивления цепи. Постройте графики зависимости времени релаксации отемкостииотсопротивления. Сделайтевыводыпоработе.
Вопросы к коллоквиуму
1.Определениеемкостиконденсатора.
2.Электроемкостьплоскогоконденсатора.
3.Времярелаксацииразрядаконденсатора(выводформулы).
4.Методикаизмерениявременирелаксацииприразрядеконденсатора.
5.Погрешностиизмерениявременирелаксации.
6.Методикавычисленияизменениязарядаконденсатораприегоразряде.
7.Выводдифференциальногоуравненияразрядаконденсатора.
19