Математика
.pdf
2. |
lim sin x =1– первый замечательный предел. |
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
+ |
1 |
x |
|
– второй замечательный предел. |
|
|
|||||||||
lim 1 |
x |
= e |
|
|
||||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Примеры |
|
|
|
3x +5 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1. |
Найти предел lim |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Решение |
|
|
x→7 |
x −5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim( 3x +5 ) |
3 |
lim x + |
5 |
|
|||||
|
Вычислим его: lim |
3x +5 |
|
|
||||||||||||||
|
x |
−5 |
|
= |
x→7 |
= |
|
x→7 |
|
=13 |
||||||||
|
|
lim( x −5 ) |
|
lim x −5 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→7 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→7 |
|
|
x→7 |
|
|
|
2. |
Найти lim |
2x2 − x −1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
2 + 2x |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение
Так как, при x →1 предел числителя и знаменателя равен 0, то непосредственное применение теоремы о пределе дроби невозможно. Вычисление этого предела сво-
дится к раскрытию неопределенности вида 0 . Для
⎩0
этого преобразуем дробь, разложив числитель и знаме-
натель на множители: |
|
2x2 − x −1 |
|
== |
2( x −1)( x + 0,5 ) |
. |
|
x2 + 2x − 3 |
( x −1)( x + 3) |
||||
|
|
|
|
|||
Разделим числитель и |
знаменатель на |
(х −1). Это со- |
||||
кращение допустимо, так как x →1, но х ≠1 . Поэтому,
для всех х ≠1 |
имеем: |
|
2x2 |
− x −1 |
|
= |
2x +1 |
, |
и пределы |
|||||||
|
x2 |
+ 2x − 3 |
x + 3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
этих |
функций |
равны |
|
между |
|
собой. |
Значит, |
|||||||||
lim |
2x2 |
− x −1 |
|
= lim |
2x +1 |
= 0,75 . |
|
|
|
|
|
|||||
x2 + 2x −3 |
x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→1 |
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
41
15x2 + 7x − 4
3. Найти lim 2 .
x→+∞ 3x − 2x + 3
Решение
Здесь применить непосредственно теорему о пределе дроби тоже нельзя, так как числитель и знаменатель дроби не имеют предела при x → +∞, одновременно стремясь к + ∞ . В этом примере мы имеем дело с неоп-
ределенностью вида |
|
∞ |
. Чтобы найти предел дроби, |
|
|
||
|
|
∞ |
|
преобразуем ее, разделив числитель и знаменатель на x2 . После такого преобразования, уже легко найти пре-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
4 |
|
|
|
||||||
|
|
15x2 |
+ 7x − 4 |
|
15 + |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||
дел: lim |
|
= lim |
x |
x2 |
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
3x2 |
− 2x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
x→∞ |
2 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − |
|
|
+ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
7 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim 15 |
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
= 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
lim 3 |
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Найти lim |
1 − cos 6x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
tg2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение
Числитель и знаменатель дроби при x → 0 одновременно стремятся к нулю. Имеет место неопределенность
вида 0 . Преобразуем дробь, используя формулы три-
⎩0
гонометрии:
42
lim |
1 − cos 6x |
= lim |
2 sin2 3x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
tg2 |
2x |
tg 2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
2 |
|
|
|
|
cos |
2 2x |
|
|
|
|
|
||||||||
= lim |
|
2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
sin 3x |
2 |
lim cos2 2x |
|
|
9 |
|
|
||||||||||||||
= |
|
lim |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= 4,5 . |
|||||||
2 |
|
3x |
sin 2x |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 3 |
x−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
|
Найти предел |
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
x→∞ x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
При |
|
x → ∞ основание |
|
|
стремится к 1, а показа- |
||||||||||||||||||||
|
|
x +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тель степени – к бесконечности. Поэтому имеем неопределенность вида {1∞ }. Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел.
x − 3 |
=1 + |
|
x − 3 |
−1 |
=1 + |
|
− 4 |
|
. Тогда |
|
|
||||||||||
|
|
x +1 |
|
x +1 |
|
|
|||||||||||||||
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
− 3 x−1 |
|
|
|
|
− 4 x−1 |
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→∞ x |
+1 |
x→∞ |
|
|
+1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4( x−1 ) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
− 4 |
|
x+1 |
x+1 |
|
|
|
|
|
−4( x−1 ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
− |
4 . |
||||||||
= lim |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ex→∞ |
x+1 |
= e |
|||||||||
|
x +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
3. Непрерывность функции
Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена в этой точке и некоторой ее окре-
стности и lim f ( x ) = f ( x0 ) . |
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
Если значения функции y = f (x) неограниченно при- |
|||
ближаются |
к некоторому числу А при x → x0 , но при этом |
||
х принимает |
значения, строго меньшие x0 (x0 < x), то число |
||
А1 называют пределом функции y = f (x) в точке x0 |
слева и |
||
обозначают |
lim f ( x ) = A1 . Аналогично |
введем |
понятие |
|
x→x0 −0 |
|
|
предела функции y=f(x) справа в точке |
x0 при |
x → x0 |
|
иx > x0 |
. В этом случае пишут lim f ( x ) = A2 . Число А2 |
|
x→x0 +0 |
называется пределом функции справа. Такие пределы назы-
ваются односторонними пределами.
Теперь дадим второе определение непрерывности функции в точке. Функция y = f (x) называется непрерыв-
ной в точке x0 , если она определена в этой точке и некото-
рой ее окрестности и |
lim |
f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) . |
|
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
Если функция |
y = f (x) определена в некоторой окре- |
|
стности точки x= x0 |
и не является непрерывной в точке |
|
x = x0 , то функция |
называется разрывной в этой точке, а |
|
точка x = x0 называется точкой разрыва. Точки разрыва
можно разделить на два типа.
1. Точка x0 называется точкой разрыва 1 рода, если
существуют оба односторонних предела.
2.Точка x0 называется точкой разрыва 2 рода, если
хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.
44
Имеет место утверждение: всякая элементарная функция непрерывна во всех точках, принадлежащих ее области определения.
Рассмотрим два примера.
Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность и
построить ее график |
x −1, |
x ≤1 |
. |
|
y = |
x >1 |
|||
Решение |
x +1, |
|
||
точки x0 |
=1 , функция непрерывна. |
|||
Везде, кроме |
||||
Найдем односторонние пределы функции в этой точке.
lim f ( x ) = lim ( x −1) = 0 ,
x→1−0 x→1−0
lim |
f ( x ) = lim ( x +1) = 2 . |
Следовательно, |
точка |
x→1+0 |
x→1+0 |
|
|
x0 =1 является точкой разрыва |
1 рода. При переходе через |
||
нее функция делает скачок, |
величина которого |
равна |
|
lim f ( x ) − lim f ( x ) =2. |
|
|
|
x→1+0 |
x→1−0 |
|
|
Приведем график данной функции. y
4
3
2
1 2
-3 -2 -1 0
-1 -2 -3 -4
1 |
2 |
3 |
4 |
x |
Рис.8
45
1
2. Исследовать на непрерывность функцию y = 2 x−2 в точке x0 = 2 . Построить схематичный график функции.
Решение
Данная функция определена и непрерывна во всех точках, кроме точкиx0 = 2 . Исследуем характер разрыва
функции в этой точке. Для этого найдем односторонние пределы в точке x0 = 2 .
1 |
|
1 |
|
||
lim 2 |
x−2 |
= 0 , |
lim 2 |
x−2 |
= +∞. Следовательно, в дан- |
x→2−0 |
x→2+0 |
||||
ной точке функция имеет разрыв второго рода.
Для построения графика исследуем поведение функ-
1
ции на бесконечности. lim 2 x−2 =1 . На основе полученных
x→±∞
данных строим график функции (рис. 9).
Рис. 9
46
Задания для контрольной работы № 2
61-70. Вычислить значения данных функций и решить
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
61. |
Дана |
функция |
f (x) = lg(x − 4) . Найти |
|
f (5) , |
f (14) , |
|||||||||
|
f (1 x) . Решить уравнение |
|
f (x + 4) + f (x) = f (16) . |
|
|||||||||||
62. |
Дана |
функция |
f (x) = |
|
|
x2 |
|
|
. Найти |
f (4) , |
f (−1) , |
||||
x2 −9 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−108 |
|
|||||
|
f ( x) . Доказать, что f ( x |
+ 3) − f ( x − 3) |
= |
|
. |
||||||||||
|
|
x( x2 |
− 36 ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
63. |
Дана |
функция |
f (x) = 4x + |
1 . Найти |
|
f (1) , |
f (1 x) , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
f ( x |
− 2 ) . Решить уравнение |
|
|
f 2 (x) = 5 . |
|
|
|
|
|
|||||
64. |
Дана |
функция |
f (x) = x2 + 2x . Найти |
|
f (1) , |
f (−2) , |
|||||||||
|
f (1 x) . Решить уравнение |
|
f (x − 2) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
65. |
Дана функция |
f (x) = x2 |
+ 4 . |
|
Найти |
f ( |
3) , |
f (x +1) , |
|||||||
|
f (x3 ) . Решить уравнение |
|
f ( f (x)) =16 . |
|
|
|
|
|
|||||||
66. |
Дана функция |
f ( x ) = x2 |
+ 2 |
. Найти |
f ( |
3 ) , |
f ( −1) , |
||||||||
|
f ( x +1) . Решить уравнение |
f |
|
[f ( x )]=11. |
|
|
|||||||||
67. |
Дана |
функция |
f (x) = lg |
1+ x |
|
. Найти |
f (0) , |
f (0,5) , |
|||||||
1− x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (1 x) . Решить уравнение |
|
f (x |
|
) − f (−x) = 2 . |
|
|
||||||||
68. |
Дана |
функция |
f (x) = x2 |
|
−5x . Найти |
|
f (1) , |
f (x −1) , |
|||||||
|
f (x 2) . Решить уравнение f (x2 ) = f (1) . |
|
|
|
|
|
|||||||||
47
69. |
Дана функция |
f (x) = |
3x −1 |
. |
Найти f (−1) , |
f (0,5) , |
|
||||||
|
|
|
9x2 −1 |
|
|
|
|
f (1 x) . Решить уравнение f (sin x) = f (0) . |
|
||||
70. |
Дана функция |
f (x) = 3x . Найти |
f (1) , f (log3 7) , |
f (1 x) . |
||
|
Решить уравнение f (2x +1) − f (x)( f (3) +1) = − f (2) . |
|||||
71-80. Найти области определения функций.
71. |
y = |
4x − x |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y = arccos |
1 + 2x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
+ x −1 ; |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
72. |
y = arcsin 2x −1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
x |
|
|
|
|
|
+ ln(1 − x ). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 + 2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
73. |
y = |
5x −6 − x2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = log |
2 |
9 − x2 |
+ |
|
|
|
1 |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ 4 |
|
x |
−1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
74. |
y = arccos 1 + 2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
y = x2 −5x + |
6 + |
|
1 |
|
. |
||||||||||||||||||
75. |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
6 |
|
y = |
x2 |
− 7x + |
12 + |
|
1 |
|
; |
y = arcsin 5x −1 . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
76. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y = arccos |
|
x +1 |
|
|
|
|||||||||
y = |
x |
|
− 4x −5 + x + 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
77. |
y = |
x − 2 |
+ |
x |
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
y = arcsin(2x − 3). |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x + 3 |
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
78. |
y = |
x |
2 |
− 4x + |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
y = arccos(2x − 3). |
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 + x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
79. |
y = log2 |
2x + 4 |
− |
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
y = arcsin |
x −3 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x − 3 |
|
x −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
80. |
y = |
|
x |
|
+ |
1 |
|
1 |
; |
|
|
|
|
y = arccos |
2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 − x2 |
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
48
81-90. С помощью преобразований построить графики элементарных функций.
81.y = sin 2x +1;
82.y = 2 cos x − π ;
4
83. |
y = |
2x +1 |
; |
||
x +1 |
|
||||
|
|
|
|||
84.y = cos 2x +1;
85.y = 2xx+−11 ;
86.y = 3x+1 + 2 ;
87.y = cos 2x +1;
88.y = lg(5 + x);
89.y =1+ cos x − π
2
90.y = log4 (x −5);
y = log2 (x −3);
y = xx +−33 ;
y = 2 sin x −1; y = x x−1 ;
y = sin 2x +1; y = −cos 3x ;
y = log3 (4 − x);
y = 2xx++11 ;
y = 13−xx
y = xx +−32 ;
y = x x+1 .
y = 2x+1 −1.
y = log2 (x − 2).
y = lg(1 − x).
y = log2 (x + 3).
y = xx −+41 . y = xx −+43 .
y= sin x − π +1.
3
y = 2x+4 −1
y = −cos 2x .
49
91-100. Решить графически уравнение.
91. |
4x |
− x2 − log2 x = 0 . |
96. |
x2 − x +1 = 0. |
92. |
x2 |
− 1 +1 = 0 . |
97. |
lg x + x − 3 = 0 . |
|
|
x |
|
|
93. |
x 3x − 2 = 0 . |
98. |
2 sin x + x −1 = 0 . |
|
94. |
x +1 − 1 = 0 . |
99. |
2 cos x − x −5 = 0 . |
|
|
|
x |
|
|
95. |
(x − 2)2 −log2 x = 0 . |
100. |
x − 2 sin x −1 = 0 . |
|
101-110. Вычислить пределы.
101. |
lim |
x sin 3x |
; |
|
1 − cos 4x |
||||
|
x→0 |
|
lim 3x2 −5x − 2 ; x→2 2x2 −3x − 2
102. lim |
x2 − 4 |
; |
|
|
x2 − x −6 |
|
|||
x→−2 |
|
|
||
lim |
sin 2x − 2 sin x |
; |
||
|
||||
x→0 |
x3 |
|
|
|
103. lim 3x2 + x − 4 ;
x→1 6x2 − x −5
lim 1 − cos 4x ; x→0 xtgx
lim x2 − x −1 ;
x→∞ 1 −3x2 + x
lim x x . x→∞ x −1
x4 −3x2 + x lim x2 + 4 −5x4 ;
x→∞
lim x +1 x . x→∞ x + 3
1 − x −3x2 lim 2x2 +5x ;
x→∞
lim 2 + x x .
x→∞ x
50